Классическое определение вероятности. Комбинаторика. Основные формулы комбинаторики и правила для решения задач.

Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев, т.е.

Комбинаторика

1) то же, что математический Комбинаторный анализ.

2) Раздел элементарной математики, связанный с изучением количества комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, которые можно составить из заданного конечного множества объектов (безразлично, какой природы; это могут быть буквы, цифры, какие-либо предметы и т.п.).Наиболее употребительные формулы К.:

Число размещений. Пусть имеется n различных предметов. Сколькими способами можно выбрать из них т предметов (учитывая порядок, в котором выбираются предметы)? Число способов равно Anm = Anm называют числом размещений из n элементов по m.

Число перестановок. Рассмотрим задачу: сколькими способами можно установить порядок следования друг за другом n различных предметов? Число способов равно

Pn = 1․ 2․ 3... n= n! (знак n! читается: «n факториал»; оказывается удобным рассматривать также 0!, полагая его равным 1). Pn называют числом перестановок n элементов.

Число сочетаний. Пусть имеется n различных предметов. Сколькими способами можно выбрать из них т предметов (безразлично, в каком порядке выбираются предметы)? Число способов такого выбора равно

Cnm =

Cnm называют числом сочетаний из n элементов по m. Числа Cnm получаются как коэффициенты разложения n-й степени двучлена (бинома, см. Ньютона бином):

(a+b) n=Cn0 an + Cn1 an-1b +Cn2an-2b2 +... + Cnn-1abn-1 + Cnn bn,

и поэтому они называются также биномиальными коэффициентами. Основные соотношения для биномиальных коэффициентов: Cnm=Cnn-m, Cnm + Cnm+1 = Cn+1m+1

Cn0 + Cn1 + Cn2 +...+ Cnn-1 + Cnn =2n,

Cn0 — Cn1 + Cn2 —...+ (—1) nCnn = 0.

Числа Anm, Pm и Cnm связаны соотношением:

Anm=Pm Cnm.

Рассматриваются также размещения с повторением (т. е. всевозможные наборы из m предметов n различных видов, порядок в наборе существен) и сочетания с повторением (то же, но порядок в наборе не существен). Число размещений с повторением даётся формулой nm, число сочетаний с повторением — формулой Cmn+m-1.

Основные правила при решении задач К.: Правило суммы. Пусть некоторый предмет А может быть выбран из совокупности предметов m способами, а другой предмет В можно выбрать n способами. Тогда имеется т + n возможностей выбрать либо предмет A, либо предмет В.

Правило произведения. Пусть предмет А можно выбрать m способами и после каждого такого выбора предмет В можно выбрать n способами; тогда выбор пары (А, В) в указанном порядке можно осуществить m + n способами.

Принцип включения и исключения. Пусть имеется N предметов, которые могут обладать n свойствами α 1, α 2,..., α n. Обозначим через N (α i, α j,..., α k) число предметов, обладающих свойствами α i, α j,..., α k и, быть может, какими-либо другими свойствами. Тогда число N' предметов, не обладающих ни одним из свойств, α 1, α 2,..., α n, даётся формулой

N' = N—N (α 1) — N (α 2) —... —N (α n) + N (α 1, α 2) + N (α 1, α 3) +... + N (α n-1, α n) — N (α 1, α 2, α 3) —... — N (α n-2, α n-1, α n) +... +(—1) n N (α 1,..., α n)

31Операции над случайными событиями. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Случайное событие может представляться через другие случайные события в виде суммы событий, произведения и дополнения.

Суммой или объединением событий А и В, являющихся подмножествами пространства элементарных событий Е, является подмножество Е, состоящее из элементов А или В или из элементов А и В. Если элементарное событие входит как в А, так и в В, то в их сумму оно включается один раз.

Объединение А и В обозначается .

Произведением или пересечением случайных событий А и В является подмножество пространства элементарных событий Е, которое состоит из элементов, принадлежащих как А, так и В.

Пересечение А и В обозначается .

Дополнением или противоположным событием случайного события А является подмножество пространства элементарных событий Е, состоящее из элементов, которые не входят в А.

Дополнение А обозначается .

Объединение , пересечение и дополнение наглядно изображаются в виде диаграмм Вьенна.

В этом случае выборочное пространство изображается в виде прямоугольника, события изображаются областью с замкнутой границей внутри прямоугольника. На рис. 1.1 изображены соответственно дополнение (рис. 1.1, а), объединение (рис. 1.1, б), пересечение (рис. 1.1, в) событий А и В.

Рис. 1.1. Диаграммы Вьенна

На рис. 1.2 изображены специальные взаимоотношения между событиями. Определение. Несовместные события (рис. 1.2, а) А и В - такие события, которые не имеют общих элементов или которые не могут одновременно появиться. Для несовместных событий, где обозначает пустое множество.

На рис. 1.2, б изображены события А и В в случае, когда А содержится в В, и это обозначается .

Рис. 1.2. Диаграммы, изображающие специальные

взаимоотношения между случайными событиями:

а - А содержится в В; б - А и B несовместны

Теорема умножения вероятностей.

Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

События А и В называются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого.

Условной вероятностью Рa(В) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло.

Теорема1: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое уже произошло, т.е. Р(АВ)= Р(А)РА(В).

Доказательство:

Пусть в результате опыта возможны N исходов, из них М благоприятствуют появлению события А, их этихМ- К исходов благоприятствуют событию В. Одновременному появлению событий А и В благоприятствуют L исходов из К.. По классической формуле имеем: Р(АВ)=L/N. Умножим и разделим на М:

Первая дробь- вероятность наступления события А, вторая- вероятность события В, при условии, что А уже произошло, т.е. условная вероятность события В, что и требовалось доказать.

Теорема2: Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Доказательство:

Т.к. события независимые, то верно равенство РА(В)=Р(В), тогда получим Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Справедлива обратная теорема:

Если для событий А и В выполняется равенство Р(АВ)=Р(А)Р(В), то эти события независимы.

Теорема сложения вероятностей.

Рассмотрим теоремы, позволяющие вычислить вероятность появления события А или В в результате одного испытания, т.е. вероятность суммы этих событий А+В. Возможны два случая: события совместны и несовместны.

Теорема1: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Доказательство:

Число всех исходов N, число исходов благоприятствующих событию А- К, событию В- L. Так как А и В несовместны, то ни один из этих исходов не может благоприятствовать А и В одновременно, т.е. А и В взаимно исключающие, следовательно число благоприятствующих исходов для события А+В равно К+L. Тогда вероятность равна

Теорема2: Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Доказательство:

Всего исходов N, благоприятствующих событию А- К, событию В- L, совместному появлению А и В- М. Следовательно, благоприятных исходов для события А+В: K+L-M. Откуда вероятность события А+В:

1 2 3 45