Тема: «Алгебраические выражения»

Тема: «Алгебраические выражения»

Алгебраическое выражение называется рациональным, если оно содержит только операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень. Алгебраическое выражение, содержащее операции извлечения корня из переменной или возведение переменной в рациональную степень, не являющуюся целым числом, называется иррациональным относительно этой переменной.

Значения переменных, при которых алгебраическое выражение имеет смысл называют допустимыми значениями переменных. Множество всех допустимых значений переменных называют областью определения алгебраического выражения.

Замена одного арифметического выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения на этом множестве.

При решении многих алгебраических задач бывает необходимо разложить выражение на множители, применяя различные приемы: вынесение общего множителя за скобки, группировка, использование формул сокращенного умножения и др.

Напомним основные формулы сокращенного умножения

a² – b² = (a – b) (a + b) – разность квадратов,

(a – b)² = a² – 2ab + b² – квадрат разности,

(a + b)² = a² + 2ab + b² – квадрат суммы,

a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²) – разность кубов

a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²) – сумма кубов

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3аb² – b³ – куб разности,

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3аb² + b³ – куб суммы.

Следует отметить, что наибольшую сложность разложение на множители вызывает, если встречается нецелая, рациональная степень.

Пример №1. Разложить выражение на множители:

Сначала вынесем за скобку общий множитель

и применив формулу квадрата суммы, получим .

Пример №2. Упростить выражение: .

Разложим на множители числитель дроби, дополним двучлен до полного квадрата, т.е. , а тогда

= и пользуясь формулой разности квадратов, получим .

Пример №3. Сократить дробь: .

Т.к. и , то рассматривая числитель представленной дроби как разность квадратов, имеем .

Пример №4. Упростить выражение:

.

Преобразуем первую дробь. В числителе вынесем за скобку , для знаменателя применим формулу квадрата разности, получим .

Числитель второй дроби будем рассматривать как сумму кубов, т.е. , а знаменатель как разность квадратов: . И тогда все выражение примет вид . Приведя подобные слагаемые в числителе, и свернув по формуле квадрата разности, получим: .

Прежде чем перейти к следующему примеру, напомним определение арифметического корня. Если и , причем n > 1, то существует только одно неотрицательное число такое, что выполняется равенство . Число называется арифметическим корнем -ой степени из неотрицательного числа , т.е. . Если - нечетное, > 1 и < 0, то под понимают такое отрицательное число , что . Если п – четное п = 2k, то имеет место тождество , т.е. .

Пример №5. Упростить: .

При выполнении подобных заданий оказывается полезным раскладывать составные числа на простые множители. Воспользуемся этим указанием и преобразуем . Представим как удвоенное произведение двух чисел , а сумма их квадратов равна . Таким образом, подкоренное выражение представляет собой квадрат разности и т.к. > 0, то = .

Решение уравнений.

Уравнением с одним неизвестным (переменной ) называется равенство, содержащее эту переменную. Значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство, называется корнем (или решением). Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что их нет.

При решении алгебраических уравнений основными методами являются: разложение на множители и введение новой переменной.

Пример №6. Решить уравнение методом разложения на множители: .

Для этого левую часть уравнения представим в следующем виде:

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами и вынесем за скобку общий множитель:

,

откуда

Применяя тот же прием для второй скобки, получим:

т.е. имеем . Разложив квадратный трех член 2х² – 15х – 25 на множители, получим

, откуда и .

Рассмотрим другой способ решения такого уравнения. Чтобы найти рациональные корни уравнения, надо взять все целые (положительные и отрицательные) делители свободного члена (в нашем случае это 1; 2; 5; 10; 25; 50) и разделить на натуральные делители коэффициента при старшем члене 2 (у нас это 1 и 2), получим 1; 2; 5; 10; 25; 50; ; ; . Остается из найденных чисел отобрать те, которые удовлетворяют данному уравнению. Это .

Пример №7. Решить уравнение методом введения новой переменной: (х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 4) = 3.

Перемножим 1-ую и 4-ую скобки и 2-ую с 3-ей, получим:

(х²+ 5х + 4)(х² + 5х + 6) = 3. Пусть х²+ 5х + 4 = t, тогда х² + 5х + 6 = t + 2, имеем t·(t + 2) = 3, решая квадратное уравнение t² + 2t – 3 = 0, получим t₁= l и t₂= –3. Вернемся к переменной х: при t = 1 получим х² + 5х + 3, откуда x = и при t = –3 – нет решений (проверьте! ).

При решении уравнений обычно выполняются преобразования, в результате которых уравнение сводится к более простому, что часто сопряжено с появлением посторонних решений или потерей корней. Рассмотрим преобразования, приводящие к равносильным уравнениям. Напомним, что два уравнения называются равносильными, если множество их корней совпадает.

Теорема 1. Если к обеим частям уравнения f(x) = g(x) прибавить одно и тоже выражение r(х), определенное для всех х из области определения уравнения, то получится уравнение

f(x) + r(x) = g(x) + r(x), равносильное данному.

Следует понимать, что здесь речь идет только об одном преобразовании. Последующее же приведение подобных слагаемых это уже новое преобразование, которое может привести к уравнению неравносильному данному. Например, если к обеим частям уравнения прибавить , то получившееся уравнение будет равносильно данному, однако, после приведения подобных слагаемых новое уравнение х² – 2х = 3уже неравносильно исходному, поскольку уничтожение привело к расширению области определения уравнения, в результате чего появился посторонний корень х = –1.

Теорема 2. Если обе части уравнения f(x) = g(x) умножить или разделить на одно и тоже выражение , определенное для всех х из области определения уравнения, то получится уравнение f(x)·r(x) = g(x)·r(x) (или ) равносильное данному.

Здесь так же речь идет только об одном преобразовании, т.е. последующее сокращение, если оно возможно, следует рассматривать как новое преобразование.

Во всех случаях, когда выполняются преобразования, не оговоренные в теоремах 1 и 2, необходима проверка найденных решений либо путем подстановки каждого из них в исходное уравнение, либо путем доказательства равносильности выполняемых преобразований на всех этапах решения.

К появлению посторонних корней могут привести (но необязательно) такие преобразования, как возведение обоих корней в четную степень. Чтобы выяснить, имеются ли среди найденных решений посторонние, необходимо проверить каждый из найденных корней подстановкой его в уравнение.

Если уравнение имеет вид f(x)·h(x) = g(x)·h(x), то деление его частей на h(x), как правило, недопустимо, поскольку может привести к потере корней, являющихся корнями уравнения h(x) = 0, если они существуют.

Пример №8. Решить уравнение:

Возведем обе части в квадрат, получим , выполнив элементарные преобразования, получим и снова возведем в квадрат, и после преобразования имеем х² – 372х + 3620 = 0, откуда х₁ = 10, х₂ = 362. Подставляя найденные значения в исходное уравнение, получим, что х = 362 посторонний корень и единственным решением является х = 10 (проверьте! ).

Можно поступить иначе: на каждом этапе решения уравнения определять промежутки, в которых могут находиться корни уравнения. Все корни, не принадлежащие этим промежуткам, являются посторонними и должны быть отброшены.

Пример №9. Решить уравнение: .

Уединим кубический корень и возведем в куб обе части полученного уравнения:

, после приведения подобных слагаемых и уединения корня, получим , возведем в квадрат обе части:

откуда (проверьте! ). И тогда х₁ = –1, х₂= 3 и х₃= 35. Подстановкой найденных значений в исходное уравнение убеждаемся, что все они являются его корнями.

Иногда при решении уравнений приходится применять искусственные приемы.

Пример №10. Решить уравнение:

Пусть и , тогда данное уравнение примет вид a + b = 2.

Найдем а⁴ = 1 – х и b⁴ = 15 + х, тогда а⁴ + b⁴ = 16, откуда имеем систему: , решая которую получим а₁= 0, b₁ = 2 и а₂ = 2, b₂ = 0, откуда х₁ = 1, и х₂ = –15 (проверьте). Подстановкой убеждаемся, что оба найденных значения являются решениями уравнения.

Пример №11. Решить уравнение:

Умножим обе части уравнения на выражение , сопряженное выражению в левой части уравнения, получим

или и далее:

, откуда х₁ = 0, один из корней последнего уравнения. Остается решить уравнение . Сложим его с исходным уравнением, получим , далее возведем обе части уравнения в квадрат, откуда х₂= 4 и х₃ = –4 (проверьте! ). Выполняя проверку, убеждаемся, что только х = 4 является решением исходного уравнения.

Решая уравнения, необходимо помнить, что уравнение не считается решенным, если ответ содержит посторонние корни или же потерян хотя бы один корень.

Решение неравенств

Неравенства с одной переменной имеют вид f(x) > g(x),

f(x)< g(x), f(x)≤ g(x), f(x)≥ g(x). Решением неравенства называется множество значений переменной, при которых данное неравенство становится верным числовым неравенством. Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают.

Основная идея решения неравенства заключается в замене его на более простое, но равносильное данному. Рассмотрим преобразования, приводящие к равносильным неравенствам.

Теорема 3. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же выражение , которое определенно при всех значениях х из области определения данного неравенства, оставив при этом знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 4. если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же выражение , которое при всех значениях х из области определения исходного неравенства принимает только положительные значения, и при этом оставить знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 5. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и тоже выражение , которое при всех х из области определения неравенства принимает только отрицательные значения, и при этом изменить знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 6. Пусть дано неравенство f(x) > g(x), причем f(x) ≥ 0 и g(x) ≥ 0, при всех х из области определения неравенства. Если обе части неравенства возвести в одну и ту же натуральную степень n и при этом знак неравенства оставить без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.

Для решения рациональных неравенств вида

где n₁, n₂, …, n_k, m₁, m₂, …, m_p – натуральные числа, применяют метод интервалов. В точках х = а₁, а₂, …, а_k функция обращается в ноль (нули функции), а точки х = b₁, b₂, …, b_p – точки разрыва функции. Если все нули и точки разрыва отметить на числовой прямой, то они разобьют ее на (k + p + 1) промежутков. Внутри каждого из этих промежутков функция непрерывна и сохраняет постоянный знак. Для установления этого знака достаточно взять любую точку из интересующего нас промежутка и определить знак функции в этой точке. Но далеко не всегда из промежутка можно выбрать точку, значение функции в которой легко вычисляется и если количество промежутков велико, то на это уходит много времени. Поэтому мы рассмотрим более удобный способ. При его описании будем называть точку а_i (или b_j) простой, если показатель степени соответствующего линейного двучлена – нечетное число, и двойной , если четное. В случае перехода через простую точку функция меняет знак, а через двойную – не меняет. Итак:

1) все нули и разрывы функции отмечают на числовой прямой незакрашенными кружочками, если неравенство вида f(x)> 0 или f(x) < 0, и закрашивают только нули, если f(x)≥ 0 или f(x) ≤ 0;

2) справа налево, начиная выше числовой прямой, чертят волнистую кривую, которую проводят через все отмеченные точки так, что при переходе через простую точку кривая пересекает числовую прямую, а при переходе через двойную кривая остается с той же стороны от прямой; полученную кривую называют кривой знаков;

3) далее выбирают промежутки в соответствии со знаком неравенства (f(x)> 0 или f(x) ≥ 0 там, где кривая располагается выше числовой прямой и f(x)< 0 или f(x)≤ 0 – кривая ниже прямой).

Объединение полученных промежутков и представляет собой решение неравенства.

Пример №12. Решить неравенство:

Отметим на числовой прямой нули функции: 1, –2, 3, –6 (закрашенными кружочками) и точки разрыва: 0 и 7 (не закрашенными кружочками). Здесь –2 и 0 – двойные точки. Проведем кривую знаков

И выберем промежутки, где кривая располагается выше числовой прямой, получим

Но это не все решения. Поскольку неравенство нестрогое (≤ 0, ≥ 0), то его решением являются все нули функции, стоящей в левой части, т.е. в нашем примере, кроме тех нулей, которые включены в указанные интервалы, ответом является и х = –2 (в этом случае f(x) = 0, а значит неравенство верно) и тогда ответ:

При решении иррациональных неравенств используются те же приемы, что и при решении иррациональных уравнений. Однако, принципиальное отличие состоит в том, что при решении неравенств, проверка, как правило, неосуществима, т.к. обычно неравенство имеет бесконечное множество решений. Поэтому нужно следить за тем, чтобы выполняемые преобразования приводили к равносильному неравенству (системе) или же указывать область определения выражений, являющихся элементами неравенства (ОДЗ – область допустимых значений).

Иррациональное неравенство равносильно системе неравенств .

А иррациональное неравенство равносильно совокупности двух систем и .

Пример №13. Решить неравенство: .

Исходя из области определения арифметического корня, имеем: , откуда х ³ 0 (ОДЗ). Само неравенство целесообразно переписать в виде , где обе части неотрицательны, а поэтому возведение в квадрат обеих частей неравенства будет равносильным преобразованием. Имеем: или . Далее имеем: , откуда – решение последней системы (проверьте! ), а, следовательно, и исходного неравенства.

Пример №14. Решить неравенство: .

Уединим корень . Пусть , тогда , и неравенство принимает вид: , откуда получаем равносильную систему: . Далее , и решая последнее неравенство, имеем: и , и тогда решение системы: . Переходя к переменной х, получаем систему неравенств, равносильную исходному неравенству: , откуда (проверьте! ).

Решение систем уравнений

Несколько уравнений с двумя переменными х и у образуют систему, если ставится задача об отыскании всех таких пар (х; у), которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Каждая такая пара (х; у), называется решением системы. Решить систему уравнений – значит найти все ее решения.

Несколько уравнений с двумя переменными х и у образуют совокупность, если ставится задача об отыскании всех таких пар (х; у), каждая из которых удовлетворяет, по крайней мере, одному из данных уравнений. Каждая такая пара называется решением совокупности.

Процесс решения системы уравнений состоит, как правило, в последовательном переходе с помощью некоторых преобразований от данной системы к другой, равносильной исходной, либо являющейся ее следствием (в этом случае будет необходима проверка найденных решений). Применяют три основных метода решения систем уравнений: линейное преобразование (алгебраическое сложение), подстановка и введение новой переменной.

Пример №15. Решить систему: .

Вычтем из первого уравнения второе, получим:

х² – у² = (13х + 4у) – (4х + 13у), преобразуем (х – у)(х + у) = = 9(х – у) к виду: (х – у)(х + у – 9) = 0. Вместе со вторым уравнением первоначальной системы, полученное уравнение образует равносильную данной систему, которая в свою очередь равносильна следующей совокупности систем:

и . Решая каждую из них методом подстановки, получаем х₁ = 0, у₁ = 0, х₂ = 17, у₂ = 17 – решение первой системы и х₃= –3, у₃ = 12, х₄ = 12, у₄ = –3 – решение второй системы совокупности (проверьте! ). И ответ: (0; 0), (17; 17), (–3; 12) и (12; –3).

Пример №16. Решить систему: .

Это симметрическая система (выражение F(x; y)называется симметрическим , если при замене переменных х на у или у на х оно не изменится). Введем новые переменные

x + y = u и x·y = v. Тогда х³+ у³ = (х + у)(х² – ху + у²) =

= (х + у)((х + у)² – 3ху) = u(u² – 3v) = u³ – 3uv и система принимает вид: , откуда u₁ = 1, v₁ = 2, u₂ = 2, v₂ = 1.

Далее, решая совокупность систем и , получаем, что первая система решений не имеет, а решение второй: х = у = 1, т.е. решение исходной системы (1; 1).

Вопросы для самопроверки:

1. Какие выражения называются рациональными, иррациональными?

2. Что называется допустимыми значениями переменных, областью определения алгебраического выражения?

3. Какие приемы разложения на множители вам известны? Какие математические законы лежат в их основе?

4. Перечислить свойства степени с целым и рациональным показателем.

5. Дать определение арифметического корня из числа.

6. Сформулируйте основные теоремы о равносильных преобразованиях а) в уравнениях; б) в неравенствах.

7. Кратко изложите метод интервалов. Где он применяется?

8. Назовите основные методы решения рациональных уравнений. Охарактеризуйте каждый из них.

9. Что необходимо предпринять во избежание потери или появления посторонних корней при решении уравнений, неравенств и систем уравнений?

10. Что называется системой уравнений, что совокупностью?

 

Тема «Тригонометрия»

Напомним, что синусом острого угла j называется отношение длины катета, противолежащего углу φ, к длине гипотенузы прямоугольного треугольника с острым углом j, и обозначают sinj. Отношение длины прилежащего к углу j катета к гипотенузе называется косинусом угла j, обозначают cosj. Тангенсом острого угла j называется отношение длины катета, противолежащего к углу φ, и катета, прилежащего к этому углу (tgj). Обратное отношение длин катета, прилежащего к углу j, и катета противолежащего, называется котангенсом (ctgj).

Кроме синуса, косинуса, тангенса и котангенса используют еще секанс и косеканс .

Выражение, в котором переменная содержится под знаком тригонометрических функций, называется тригонометрическим. Для преобразования тригонометрических выражений используют:

свойства тригонометрических функций (четность, нечетность, периодичность):

sin(–х) = – sinх tg(–х) = – tgх

соs(–х) = соsх ctg(–х) = – ctgх

sin(х + T) = sinх tg(х + T) = – tgх

соs(х + T) = соsх ctg(х + T) = – ctgх,

где Т – период тригонометрической функции;

основные тригонометрические формулы:

формулы сложения и вычитания аргументов:

;

формулы приведения;

формулы понижения степени:

;

формулы двойного аргумента:

;

преобразование суммы (разности) тригонометрических функций в произведение:

;

преобразование произведения тригонометрических функций в сумму:

; и пр.

Рассмотрим примеры.

Пример №1. Упростить: .

Используем формулы преобразования разности тригонометрических функций в произведение:

,

получим:

и еще раз, применяя те же самые формулы, имеем:

.

Пример №2. Вычислить: .

Используя формулы приведения преобразуем:

, получим:

= .

Пример №3. . Найти sinα, cosα, ctgα, sin2α, cos2α, tg2α, ctg2α.

Сразу найдем и т.к. , то выразив cosα, получим . И, поскольку, α является углом второй четверти, то cosα < 0, следовательно . Выразим sinα =tgα ·cosα = .

Далее воспользуемся формулами двойного угла, получим:

sin2α = 2sinα ·cosα = , cos2α = cos²α – sin²α = ,

и .

Вопросы для самопроверки

1. Дать определение логарифму. Привести несколько примеров.

2. Основное логарифмическое тождество.

3. Вывести формулу для логарифма произведения.

4. Вывести формулу для логарифма частного.

5. Вывести формулу для логарифма степени.

6. Доказать справедливость формулы перехода к новому основанию.

7. Логарифмическая функция у = log_ax. При а > 1, при 0 < a < 1. Свойства. Графики.

8. Методы решения логарифмических уравнений.

9. Решение уравнений вида

а)

б)

10. Решение неравенств вида

а)

б)

 

Тема: «Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля. Уравнения и неравенства с параметром»

При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля применяют следующие методы: раскрытие модуля по определению, возведение обеих частей уравнения в квадрат и метод разбиения на промежутки. Рассмотрим примеры.

Пример № 1. Решить уравнение ½ 3х – 5½ = 11

1-ый способ. Т.к. по определению

, то данное уравнение равносильно следующей совокупности систем:

и . Из первой системы этой совокупности находим х₁ = 5 , а из второй – х₂ = –2.

2-ой способ. Т.к. обе части исходного уравнения неотрицательны, то оно равносильно уравнению (½ 3х – 5½ )² = 11², решая которое получим 3х² – 10х – 32 = 0, откуда х₁ = 5 и х₂= –2.

Пример № 2. Решить уравнение .

Это уравнение тоже можно решить двумя способами. При решении первым способом будет получена совокупность систем равносильных данному уравнению и , решая которую получим .

Для того чтобы решить уравнение вторым способом, следует учесть, что уравнение равносильное данному получится только в том случае, если выражение (х + 1), находящееся в правой части, будет неотрицательным, т.е. имеем систему , решая которую, получим

, откуда .

Пример №3. Решить уравнение .

Применим метод разбиения на промежутки. Нанесем на числовую ось значения х, при которых х – 4 = 0 и 1 – х = 0. Числовая прямая при этом разобьется на промежутки . Решим уравнение на каждом из полученных промежутков: ;

и ; далее ; и . Решением первой системы является , а вторая и третья – решений не имеют, таким образом – решение исходного уравнения.

Пример №4. Решить уравнение½ х½ + ½ х – 1½ = х – 2.

Можно решить это уравнение методом разбиения на промежутки, но заметив, что правая часть уравнения положительна при х – 2 > 0 (т.е. х > 2) и при этом х > 0 и х – 1 > 0, получаем систему , откуда , т.е. уравнение корней не имеет.

Пример №5. Решить уравнение ½ х² – 6х – 7½ = ½ 3х – 11½

Хотя обе части этого уравнения неотрицательны при любых х, возведение в квадрат обеих частей приведет к уравнению 4-ой степени. Поэтому в данном случае более предпочтительным является метод разбиения на промежутки.

Нанесем на числовую прямую значения х, при которых х²– 6х – 7 = 0 и 3х – 11 = 0. При этом числовая прямая разобьется на промежутки (–¥; –1] (7; +¥ ). Решим уравнение на каждом из полученных промежутков: при хÎ (–¥; –1] , имеем х² – 6х – 7 = – (3х – 11), откуда х₁ = 6 и х₂ = –3 и т.к. оба эти значения принадлежат указанным промежуткам, то эти значения являются решениями исходного уравнения; при хÎ (7; +¥ ), получаем уравнение

х² – 6х – 7 = 3х – 11, откуда и оба эти значения являются решением исходного уравнения. И ответ х₁ = 6, х₂ = –3 и .

Пример № 6. Решить уравнение .

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, то возведем их в квадрат, получим уравнение равносильное исходному , преобразуем

и далее , решая это уравнение любым из трех описанных способов, получим х = 0, 5 (проверьте! ).

123456

Поделиться:

Популярное:

1. III. Тема: Последний император
2. Денежная система: понятие и виды
3. Мажоритарная избирательная система: ее основные характеристики, преимущества и недостатки. Избирательная система РБ.
4. Маркетинговая информационная система: концепция и компоненты.
5. Политическая система: понятие и функции.
6. Тарифная система: понятие и элементы
7. ТАРИФНАЯ СИСТЕМА: ПОНЯТИЕ И ЭЛЕМЕНТЫ
8. Тема 3. Операционная система: назначение и состав
9. Тема: « Денежно – кредитная система государства. Банки и их роль в экономике».
10. Тема: « Основы медицинской электроники»
11. Тема: «Выбор установки для подземного ремонта скважин»