Задачи на совместную работу.

В задачах этого типа некоторую работу, объем которой не указывается и не является искомым (сменное задание, вспашка поля, рытье котлована, заполнение бассейна и пр.), выполняют несколько человек или механизмов, работающих равномерно (т.е. с постоянной для каждого производительностью). При решении объем всей работы принимают за единицу и если t – время выполнения этой работы, то – производительность.

Пример №8.В бассейн проведены две трубы, подающая и отводящая, причем через первую бассейн наполняется на 2 часа дольше, чем через вторую опорожняется. При заполненном на треть бассейне были открыты обе трубы сразу, и бассейн оказался пустым спустя 8 часов. За сколько часов, действуя отдельно, первая труба наполнит, а вторая опорожнит бассейн?

Пусть t ч – время, которое необходимо второй трубе, чтобы опорожнить бассейн, тогда (t + 2) ч – время, которое необходимо первой трубе, чтобы наполнить бассейн. Объем всей работы (в данном случае это заполнение всего бассейна) принимаем за единицу и тогда производительность первой трубы , а второй – . За 8 часов первая труба выполнит своей работы (наполнение бассейна водой), а вторая труба – своей работы (опорожнение бассейна). А поскольку в самом начале бассейн был уже заполнен водой на треть, а через 8 часов совместной работы двух труб, оказался пустым, имеем уравнение: , решая которое, получаем квадратное уравнение t² + 2t – 48 = 0, откуда t₁= 6 и t₂= –8 (проверьте! ). Т.е. вторая труба опорожнит бассейн за 6 часов, а первая наполнит за t + 2 = 8 часов.

Пример № 9. Первому трактору на вспашку поля требуется на 2 часа меньше, чем третьему и на 1 час больше, чем второму. При совместной работе первого и второго тракторов поле может быть вспахано за 1 час 12 минут. Какое время на вспашку поля потребуется каждому из трактаров?

Пусть х часов – время, необходимое для вспашки поля первому трактору, у часов – второму и z часов – третьему. Объем работы (в данном случае это площадь поля) принимаем за единицу. Тогда производительность первого трактора , второго – и третьего – . По условию задачи z – x = 2 и х – у = 1. А при совместной работе первого и второго тракторов поле может быть вспахано за 1 час 12 минут, т.е. часа. За это время первый трактор выполнит часть работы, а второй – часть работы, т.е. . Имеем систему , решая которую получаем x₁ = 3; y₁ = 2 и z₁= 5 и x₂ = 0, 4; y₂ = –0, 6 и z₂ = 2, 4 (проверьте! ). Условию задачи удовлетворяет только первое решение.

Задачи на смеси и сплавы.

Решение задач этого типа связано с понятиями «концентрация» и «процентное содержание» и основано на следующих допущениях: все полученные смеси (сплавы, растворы) однородны; если смесь (сплав, раствор) массы m состоит из веществ А, В и С, которые имеют массу m₁, m₂ и m₃ соответственно, то величины - называются концентрацией веществ А, В и С соответственно. А величины , и – процентным содержанием веществ А, В и С соответственно.

Пример № 10. Имеется сталь двух сортов, один из которых содержит 5%, а другой – 10% никеля. Из них получают сплав, содержащий 8% никеля. Сколько килограмм стали каждого вида взяли для этого сплава, если во втором куске никеля оказалось на 4 кг больше, чем в первом?

Пусть масса стали первого сорта, взятой для нового сплава х кг, а второго – у кг. Содержание никеля в стали первого сорта 5%, значит в х кг стали содержится 0, 05х кг никеля, а содержание никеля в стали второго сорта 10%, значит в у кг стали – 0, 1у кг. По условию задачи во втором куске никеля на 4 кг больше, чем в первом, поэтому . А в новом сплаве должно получиться 0, 08(х + у) кг никеля. Это количество складывается из 0, 05х кг никеля в стали первого сорта и 0, 1у кг никеля в стали второго сорта. Запишем уравнение . Для решения задачи имеем систему , решая которую получаем

х = 40 кг и у = 60 кг. Следовательно, стали с 5% – ным содержанием никеля надо взять 40 кг и с 10% – ным содержанием – 60 кг.

Пример № 11. Сосуд емкостью 12 л наполнен кислотой. Из него выливают некоторое количество кислоты во второй сосуд такой же емкости, и второй сосуд дополняют водой. Теперь смесью из второго сосуда дополняют первый сосуд. Затем из первого сосуда переливают 4 л во второй, после чего в обоих сосудах количество чистой кислоты (в растворах) оказывается одинаковым. Сколько кислоты первоначально перелито из первого сосуда во второй?

Пусть первый раз из первого сосуда во второй отлили х л (x < 12), в нем осталось (12 – х) л. После дополнения второго сосуда водой до 12-ти литров (емкость сосудов одинакова), в нем оказывается кислота с концентрацией . Теперь этой смесью дополняют первый сосуд, для чего понадобится х л смеси, где чистой кислоты уже л и в первом сосуде становится л чистой кислоты в двенадцати литрах смеси. Отливая из этого сосуда 4 л смеси (т.е. л чистой кислоты) во второй сосуд, где осталось (12 – х) л смеси с концентрацией (т.е. л чистой кислоты), получая во втором сосуде л чистой кислоты. По условию задачи известно, что теперь в обоих сосудах количество чистой кислоты (в растворах) одинаково и учитывая, что в первом сосуде осталось 8 л смеси (т.е. л чистой кислоты) имеем уравнение

, преобразовав которое, получим квадратное уравнение , откуда х = 6, т.е. первоначально было отлито 6 литров.

Вопросы для самопроверки

1. Этапы решения текстовых задач.

2. Основные типы текстовых задач.

3. Числовые последовательности, способы их задания.

4. Арифметическая прогрессия. Определение, основные свойства, примеры.

5. Геометрическая прогрессия. Определение, основные свойства, примеры.

6. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

7. Признаки делимости.

8. Теорема о делении с остатком.

9. Решение задач на движение.

10. Решение задач на совместную работу.

11. Процент, нахождение процента от числа, выражение процента дробью.

12. Концентрация и процентное содержание.

13. Решение задач на смеси, сплавы, растворы.

Задачи для самостоятельного решения.

Контрольная работа № 1.

Вариант № 1.

1. Упростить выражение: .

2. Упростить выражение:

3. Решить уравнение методом разложения на множители:

4. Решить уравнение методом введения вспомогательной переменной: .

5. Решить уравнение: .

6. Решить неравенство методом интервалов:

7. Найти область определения функции:

8. Решить неравенство: .

9. Решить неравенство:

(Указание: ввести новую переменную).

10. Решить систему уравнений:

Вариант № 2.

1. Упростить выражение: .

2. Упростить выражение:

3. Решить уравнение методом разложения на множители:

4. Решить уравнение методом введения вспомогательной переменной: .

5. Решить уравнение: .

6. Решить неравенство методом интервалов:

7. Найти область определения функции:

8. Решить неравенство: .

9. Решить неравенство:

(Указание: ввести новую переменную).

10. Решить систему уравнений: .

Вариант № 3.

1.Упростить выражение: .

2.Упростить выражение:

3.Решить уравнение методом разложения на множители:

4.Решить уравнение методом введения вспомогательной переменной: .

5.Решить уравнение: .

6.Решить неравенство методом интервалов:

7.Найти область определения функции:

8.Решить неравенство: .

9.Решить неравенство:

(Указание: ввести новую переменную).

10. Решить систему уравнений: .

Вариант № 4.

1.Упростить выражение: .

2.Упростить выражение:

3.Решить уравнение методом разложения на множители:

4.Решить уравнение методом введения вспомогательной переменной: .

5.Решить уравнение: .

6.Решить неравенство методом интервалов:

7.Найти область определения функции:

8.Решить неравенство: .

9.Решить неравенство:

(Указание: ввести новую переменную).

10. Решить систему уравнений: .

Вариант № 5.

1.Упростить выражение: .

2.Упростить выражение:

3.Решить уравнение методом разложения на множители:

4.Решить уравнение методом введения вспомогательной переменной: .

5.Решить уравнение: .

6.Решить неравенство методом интервалов:

7.Найти область определения функции:

8.Решить неравенство: .

9.Решить неравенство:

(Указание: ввести новую переменную).

10. Решить систему уравнений: .

Контрольная работа № 2

Вариант № 1

1.Найти , если известно, что и .

2.Упростить: .

3.Упростить: .

4.Вычислить, не пользуясь таблицами и калькулятором:

5.Решить уравнение: .

6.Решить уравнение: .

7.Решить уравнение:

8.Решить уравнение:

9. Решить уравнение:

10. Решить уравнение: , указать .

11. Решить неравенство: .

12. Решить неравенство: .

13. Решить систему уравнений:

Вариант №2

1.Найти , если известно, что и .

2.Упростить: .

3.Упростить: .

4.Вычислить, не пользуясь таблицами и калькулятором:

5.Решить уравнение: .

6.Решить уравнение: .

7.Решить уравнение:

8.Решить уравнение: .

9.Решить уравнение: .

10. Решить уравнение: , указать .

11. Решить неравенство: .

12. Решить неравенство: .

13. Решить систему уравнений: .

Вариант № 3

1.Найти , если известно, что и .

2.Упростить: .

3.Упростить: .

4.Упростить: не пользуясь таблицами и калькулятором.

5.Решить уравнение: .

6.Решить уравнение: .

7. Решить уравнение: .

8. Решить уравнение: .

9. Решить уравнение:

10. Решить уравнение: , указать .

11. Решить неравенство: .

12. Решить неравенство: .

13. Решить систему уравнений: .

Вариант № 4

1.Найти если известно, что и .

2.Упростить: .

3.Упростить: .

4.Вычислить: не пользуясь таблицами и калькулятором

5.Решить уравнение: .

6.Решить уравнение: .

7.Решить уравнение: .

8.Решить уравнение: .

9.Решить уравнение: .

10. Решить уравнение: , указать

11. Решить неравенство: .

12. Решить неравенство: .

13. Решить систему уравнений: .

Вариант № 5

1.Найти если известно, что и .

2.Упростить: .

3.Упростить: .

4.Вычислить: не пользуясь таблицами и калькулятором.

5.Решить уравнение: .

6.Решить уравнение: .

7.Решить уравнение: .

8.Решить уравнение:

9.Решить уравнение:

10. Решить уравнение: , указать .

11. Решить неравенство: .

12. Решить неравенство: .

13. Решить систему уравнений: .

Контрольная работа № 3

Вариант № 1

1.Решить уравнение: .

2.Решить уравнение: .

3.Решить уравнение: .

4.Решить уравнение: .

5.Решить уравнение: .

6.Решить уравнение: .

7.Решить неравенство: .

8.Решить неравенство: .

9.Решить неравенство: .

10. Решить неравенство: .

11. Решить неравенство:

(указание: ввести новую переменную).

12. Решить систему уравнений: .

Вариант № 2

1.Решить уравнение: .

2.Решить уравнение: .

3.Решить уравнение: .

4.Решить уравнение: .

5.Решить уравнение: .

6.Решить уравнение: .

7.Решить неравенство: .

8.Решить неравенство: .

9.Решить неравенство: .

10. Решить неравенство: .

11. Решить неравенство:

(указание: ввести новую переменную).

12. Решить систему уравнений: .

Вариант № 3

1.Решить уравнение: .

2.Решить уравнение: .

3.Решить уравнение: .

4.Решить уравнение: .

5.Решить уравнение: .

6.Решить уравнение: .

7.Решить неравенство: .

8.Решить неравенство: .

9.Решить неравенство: .

10. Решить неравенство: .

11. Решить неравенство:

(указание: ввести новую переменную).

12. Решить систему уравнений: .

Вариант № 4

1.Решить уравнение: .

2.Решить уравнение: .

3.Решить уравнение: .

4.Решить уравнение: .

5.Решить уравнение: .

6.Решить уравнение: .

7.Решить неравенство: .

8.Решить неравенство: .

9.Решить неравенство: .

10. Решить неравенство: .

11. Решить неравенство:

(указание: ввести новую переменную).

12. Решить систему уравнений: .

Вариант № 5

1.Решить уравнение: .

2.Решить уравнение: .

3.Решить уравнение: .

4.Решить уравнение: .

5.Решить уравнение: .

6.Решить уравнение: .

7.Решить неравенство: .

8.Решить неравенство: .

9.Решить неравенство: .

10. Решить неравенство: .

11. Решить неравенство:

(указание: ввести новую переменную).

12. Решить систему уравнений: .

Контрольная работа № 4

Вариант № 1

1.Вычислить .

2.Вычислить , если и .

3.Доказать, что .

4.Решить уравнение .

5.Решить уравнение .

6.Решить уравнение .

7.Решить уравнение .

8.Решить неравенство .

9.Решить неравенство .

10. Решить неравенство .

11. Решить неравенство .

12. Решить систему .

Вариант № 2

1.Вычислить .

2.Вычислить , если и .

3.Упростить , если .

4.Решить уравнение .

5.Решить уравнение .

6.Решить уравнение .

7.Решить уравнение

8.Решить неравенство .

9.Решить неравенство .

10. Решить неравенство .

11. Решить неравенство .

12. Решить систему .

Вариант № 3

1.Вычислить .

2.Вычислить , если и .

3.Известно, что и . Найти зависимость a от g.

4.Решить уравнение .

5.Решить уравнение .

6.Решить уравнение .

7.Решить уравнение

8.Решить неравенство .

9.Решить неравенство .

10. Решить неравенство .

11. Решить неравенство .

12. Решить систему .

Вариант № 4

1.Вычислить .

2.Вычислить , если и .

3.Известно, что , , , и . Найти .

4.Решить уравнение .

5.Решить уравнение .

6.Решить уравнение .

7.Решить уравнение .

8.Решить неравенство .

9.Решить неравенство .

10. Решить неравенство .

11. Решить неравенство .

12. Решить систему .

Вариант № 5

1.Вычислить .

2.Вычислить , если и .

3.Упростить

4.Решить уравнение

5.Решить уравнение .

6.Решить уравнение .

7.Решить уравнение .

8.Решить неравенство .

9.Решить неравенство .

10. Решить неравенство .

11. Решить неравенство .

12. Решить систему .

Контрольная работа № 5

Вариант № 1

1.Решить уравнение .

2.Решить уравнение .

3.Решить уравнение .

4.Решить уравнение

5.Решить неравенство .

6.Решить неравенство .

7.Найдите все решения уравнения (½ х½ + 1)² = 4½ х½ + 9, принадлежащие области определения функции .

8.Решить уравнение с параметром

9.Решить уравнение с параметром

.

10. Решить систему уравнений с параметром

11. Решить неравенство с параметром

(а² –2а + 1)х > (а² + 2а – 3).

Вариант № 2

1.Решить уравнение .

2.Решить уравнение .

3.Решить уравнение .

4.Решить уравнение

5.Решить неравенство .

6.Решить неравенство .

7.Найдите все решения уравнения (3½ х½ –3)² = ½ х½ + 7, принадлежащие области определения функции .

8.Решить уравнение с параметром

9.Решить уравнение с параметром .

10. Решить систему уравнений с параметром

11. Решить неравенство с параметром

(а³ – а² –4а + 4)х > а – 1.

Вариант № 3

1.Решить уравнение .

2.Решить уравнение .

3.Решить уравнение .

4.Решить уравнение

5.Решить неравенство .

6.Решить неравенство .

7.Найдите все решения уравнения (2½ х½ –1)² =½ х½, принадлежащие области определения функции у = lg(4х–1).

8.Решить уравнение с параметром

9.Решить уравнение с параметром

ах² – (1 – 3а)х + (а – 2) = 0.

10. Решить систему уравнений с параметром

11. Решить неравенство с параметром .

Вариант № 4

1.Решить уравнение .

2.Решить уравнение .

3.Решить уравнение .

4.Решить уравнение

5.Решить неравенство .

6.Решить неравенство .

7.Найдите все решения уравнения 9х² – 18½ х½ + 5 = 0, принадлежащие области определения функции у = ln(х²– х – 2).

8.Решить уравнение с параметром

9.Решить уравнение с параметром

10. Решить систему уравнений с параметром

11. Решить неравенство с параметром .

Вариант № 5

1.Решить уравнение .

2.Решить уравнение .

3.Решить уравнение .

4.Решить уравнение

5.Решить неравенство .

6.Решить неравенство .

7.Найдите все решения уравнения 3х² + 14½ х½ – 5 = 0, принадлежащие области определения функции у = log₃(х²+ х – 2).

8.Решить уравнение с параметром

9.Решить уравнение с параметром

10. Решить систему уравнений с параметром .

11. Решить неравенство с параметром

Контрольная работа №6.

Вариант №1.

1.В арифметической прогрессии 12 членов; их сумма равна 354. Сумма членов с четными номерами относится к сумме членов с нечетными номерами как 32: 27. Найдите разность прогрессии.

2.Найти первый и пятый члены геометрической прогрессии, если известно, что ее знаменатель равен 3, а сумма первых шести членов равна 1820.

3.Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 91. Если к этим членам прибавить соответственно 25, 27 и 1, то получатся три числа, образующие арифметическую прогрессию. Найти седьмой член геометрической прогрессии.

4.Если двузначное число разделить на число, написанное теми же цифрами в обратном порядке, то в частном получится 4, а в остатке 15. Если же из данного числа вычесть 9, то получится сумма квадратов цифр этого числа. Найти это число.

5.Лодка спускается вниз по течению реки из пункта А в пункт В, находящийся в 10 км от А, а затем возвращается а А. Если собственная скорость лодки 3 км/ч, то путь из А в В занимает на 2 ч 30 мин меньше, чем из В в А. Какой должна быть собственная скорость лодки, чтобы поездка из А в В заняла 2 ч.

6.Мотоцикл отправился из А в В, отстоящим от А на 120 км. Обратно он выехал с той же скоростью, но через час после выезда он остановился на 10 мин и после этого продолжил свой путь до А, увеличив скорость на 6 км/ч. Найти первоначальную скорость мотоциклиста, если известно, что на обратный путь он затратил столько же времени, сколько на путь от А до В.

7.В котлован равномерно поступает вода. 10 одинаковых насосов, действуя одновременно, могут откачать воду из заполненного котлована за 12 часов, а 15 таких насосов – за 6 часов. За сколько времени могут откачать воду из заполненного котлована 25 таких насосов при совместной работе?

8.Пчелы, перерабатывая цветочный нектар в мед, освобождают его от значительной части воды. Сколько килограммов нектара приходится переработать пчелам для получения 1 кг меда, если известно, что нектар содержит 70 % воды, а полученный из него мед – 17% воды?

9.Цену на товар увеличили на 16%. Насколько процентов надо теперь ее снизить, чтобы пол

1 2 3 4 56