|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Решение показательно-логарифмических уравнений.
Рассмотрим на примере решение показательно-логарифмических уравнений. Пример № 9. Решить уравнение Область определения уравнения x > 0, в этом случае обе части уравнения положительны, поэтому их можно прологарифмировать по основанию 2, в результате получим уравнение Пример № 10. Решить уравнение Воспользуемся определением логарифма, приведем исходное уравнение к виду Решение логарифмических неравенств Решая логарифмические неравенства, мы, как правило, приходим к неравенству вида Пример № 11. Решить неравенство Это неравенство равносильно системе откуда Пример № 12. Решить неравенство
Поскольку логарифмируемое выражение должно быть положительным, то
Далее Пример № 13. Решить неравенство
Для того чтобы от логарифмического неравенства перейти к рациональному, необходимо знать относительно основания логарифма (х – 2) больше оно 1 или меньше. Поэтому задача сводится к решению совокупности двух систем:
Из первой системы получаем Решение показательно-логарифмических неравенств Рассматривая показательно-логарифмические уравнения, мы отметили, что для их решения используется метод логарифмирования обеих частей уравнения по одному и тому же основанию. Этот метод применяется и для решения показательно-логарифмических неравенств. Здесь также Пример № 14. Решить неравенство Обе части этого неравенства принимают лишь положительные значения. Возьмем от обеих частей логарифмы по основанию 0, 5, получим неравенство Пример № 15. Решим неравенство
Решение систем показательных и логарифмических уравнений. При решении систем показательных и логарифмических уравнений применяются те же приемы, что при решении систем алгебраических уравнений. Но во многих случаях прежде, чем применить тот или метод, следует преобразовать каждое уравнение к более простому виду. Пример № 16. Решить систему Положив Пример № 17. Решить систему Отметим, что x > 0 и y > 0, а т.к. Вопросы для самопроверки 1. Дать определение логарифму. Привести несколько примеров. 2. Основное логарифмическое тождество. 3. Вывести формулу для логарифма произведения. 4. Вывести формулу для логарифма частного. 5. Вывести формулу для логарифма степени. 6. Доказать справедливость формулы перехода к новому основанию. 7. Логарифмическая функция у = logax. При а > 1, при 0 < a < 1. Свойства. Графики. 8. Методы решения логарифмических уравнений. 9. Решение уравнений вида а) б) 10. Решение неравенств вида а) б)
Тема: «Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля. Уравнения и неравенства с параметром» При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля применяют следующие методы: раскрытие модуля по определению, возведение обеих частей уравнения в квадрат и метод разбиения на промежутки. Рассмотрим примеры. Пример № 1. Решить уравнение ½ 3х – 5½ = 11 1-ый способ. Т.к. по определению
2-ой способ. Т.к. обе части исходного уравнения неотрицательны, то оно равносильно уравнению (½ 3х – 5½ )2 = 112, решая которое получим 3х2 – 10х – 32 = 0, откуда х1 = 5 Пример № 2. Решить уравнение Это уравнение тоже можно решить двумя способами. При решении первым способом будет получена совокупность систем равносильных данному уравнению Для того чтобы решить уравнение вторым способом, следует учесть, что уравнение равносильное данному получится только в том случае, если выражение (х + 1), находящееся в правой части, будет неотрицательным, т.е. имеем систему
Пример №3. Решить уравнение Применим метод разбиения на промежутки. Нанесем на числовую ось значения х, при которых х – 4 = 0 и 1 – х = 0. Числовая прямая при этом разобьется на промежутки
Пример №4. Решить уравнение½ х½ + ½ х – 1½ = х – 2. Можно решить это уравнение методом разбиения на промежутки, но заметив, что правая часть уравнения положительна при х – 2 > 0 (т.е. х > 2) и при этом х > 0 и х – 1 > 0, получаем систему Пример №5. Решить уравнение ½ х2 – 6х – 7½ = ½ 3х – 11½ Хотя обе части этого уравнения неотрицательны при любых х, возведение в квадрат обеих частей приведет к уравнению 4-ой степени. Поэтому в данном случае более предпочтительным является метод разбиения на промежутки. Нанесем на числовую прямую значения х, при которых х2– 6х – 7 = 0 и 3х – 11 = 0. При этом числовая прямая разобьется на промежутки (–¥; –1] х2 – 6х – 7 = 3х – 11, откуда Пример № 6. Решить уравнение Поскольку обе части неравенства неотрицательны, то возведем их в квадрат, получим уравнение равносильное исходному
Пример № 7. Решить уравнение sin2х + 2½ sinx½ – 3 = 0 Пусть sinx = t, тогда имеем t2 + 2½ t½ – 3 = 0. Для неотрицательных t получим t2 + 2t – 3 = 0, откуда t1 = 1 и t2 = –3, а т.к. t ³ 0, то t2 = –3 решением не является. И для t < 0, получим t2 – 2t – 3 = 0, откуда t1 = –1 и t2 = 3, и только t1 = –1 является решением, т.е. t = ±1. Возвращаясь к переменной х, имеем sinx = ±1, откуда х = При решении неравенств, содержащих переменную под знаком модуля применяются те же методы, что и при решении уравнений. Пример № 8. Решить неравенство Возведем в квадрат обе части неравенства, получим Это же неравенство решим методом разбиения на промежутки. Нанесем на числовую прямую те значения х, при которых 3х – 2 = 0 и 2х + 1 = 0, т.е.
Пример № 9. Решить неравенство Данное неравенство равносильно следующей совокупности систем Пример № 10. Решить неравенство Укажем ОДЗ неравенства. Т.к. логарифмируемое выражение должно быть больше нуля, то х ¹ 2. Данное неравенство равносильно двойному неравенству –2 £ log3½ x–2½ £ 2, которое в свою очередь равносильно неравенству –7£ x £ 1 Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-01; Просмотров: 1571; Нарушение авторского права страницы
.
, равносильное данному. Далее имеем 
. Положим, 
, тогда 
, откуда u1 = –1 и u2 = 2. Возвращаясь к переменной х, получим 
и 
и тогда х1 = 0, 5 и х2 = 4 являются корнями уравнения.
.
. Положим 
, тогда получим уравнение 
, корни которого u1 = –1 и u2 = 4. Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений 
и 
. Т.к. 
, то первое уравнение решения не имеет. Возьмем логарифмы по основанию 4 от обеих частей второго уравнения 
, т.е. 
, тогда 
, откуда 
, 
корни исходного уравнения.
. Это неравенство равносильно системе 
, если а > 1 и равносильно системе 
, если 
.
.
, 
и далее, решая второе неравенство методом интервалов, с учетом первого, получим 
(проверьте! ) – решение данного неравенства.
.
, откуда x > –2. Преобразуем исходное неравенство: 
.
, т.к. x > –2, то 
и получаем систему, равносильную исходному неравенству 
, откуда 
. И 
– решение данного неравенства (проверьте! ).
и 
.
, из второй 
(проверьте! ) и решением данного неравенства является 
.
и 
и переходим от неравенства 
к неравенству 
, если a > 1 и к неравенству 
, если 
.
равносильное данному. После преобразования получим 
, откуда 
, тогда 
(0, 5; 2) является решением исходного неравенства.
.
Возьмем от обеих частей неравенства логарифмы по основанию 3, тогда получим 
. В области определения, т.е. при x < 5, функция 
убывает, а функция 
возрастает. А значит, уравнение 
имеет единственный корень х = 2, а с учетом области определения решение неравенства будет [2; 5).
.
и 
, получим систему уравнений 
, имеющую четыре решения 
, 
, 
и 
, а т.к. 
и 
, то 
и 
, т.е. из найденных четырех решений возьмем только первые два. Таким образом, задача сводится к решению совокупности двух систем уравнений 
и 
. Откуда из первой системы, 
и 
и из второй – 
являются решениями исходной системы.
.
, то получим 
. Решая эту систему, имеем х1 = 2, у1 = 1; х2 = 1, у2 = 2; х3 = –2, у3 = –1; х4 = –1, у4 = –2 (проверьте! ), с учетом ОДЗ только пары чисел (2; 1) и (1; 2) являются решениями данной системы.
, то данное уравнение равносильно следующей совокупности систем: 
и 
. Из первой системы этой совокупности находим х1 = 5 
, а из второй – х2 = –2.
.
и 
, решая которую получим 
.
, решая которую, получим
, откуда 
.
. Решим уравнение на каждом из полученных промежутков: 
; 
и 
; далее 
; 
и 
. Решением первой системы является 
, а вторая и третья – решений не имеют, таким образом 
, откуда 
, т.е. уравнение корней не имеет.
(7; +¥ ). Решим уравнение на каждом из полученных промежутков: при хÎ (–¥; –1] 
, имеем х2 – 6х – 7 = – (3х – 11), откуда х1 = 6 и х2 = –3 и т.к. оба эти значения принадлежат указанным промежуткам, то эти значения являются решениями исходного уравнения; при хÎ 
(7; +¥ ), получаем уравнение
и оба эти значения являются решением исходного уравнения. И ответ х1 = 6, х2 = –3 и 
.
, преобразуем
и далее 
, решая это уравнение любым из трех описанных способов, получим х = 0, 5 (проверьте! ).
+ pk, kÎ Z.
.
, далее 
, откуда 
. Это и есть решение неравенства, поскольку были произведены только равносильные преобразования.
и 
. Получим три промежутка: 
и на каждом из них решим неравенства, получим совокупность трех систем: 
; 
и 
, откуда 
; 
и 
. Первая система решений не имеет, 
– решение второй системы и 
– решение третьей системы, а тогда 
.
и 
, решая которую, получаем 
и 
, откуда решение первой системы: 
È {2}, а 
– решение второй. Объединяя найденные решения, получим 
.
.
£ ½ x–2½ £ 9, откуда для х > 2, имеем 2 
, тогда хÎ [–7; 1