Решение тригонометрических уравнений.

Уравнения, связывающие значения тригонометрических функций, называются тригонометрическими уравнениями. При решении, тригонометрическое уравнение обычно приводится к виду F(х) = 0, где F(х) – выражающаяся через тригонометрические периодическая функция, и если х₀ является решением уравнения F(х) = 0, то оно приводит за собой целый класс решений х_k = х₀+ kT, где k – целое и Т – период F(х), поэтому, если тригонометрическое уравнение имеет хотя бы одно решение, то оно имеет бесконечно много решений, однако, число классов решений обычно конечно. Для того чтобы найти все решения тригонометрического уравнения, достаточно найти по одному из каждого класса.

При решении тригонометрических уравнений используются два основных метода: разложение на множители и введение новой переменной.

Пример №6. Решить уравнение: cos3x – cos5x = 4sin²x·cosx.

Используя формулу разности косинусов, для левой части уравнения получим 2sin4xsinx = 4sin²x·cosx. Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения и вынесем общий множитель за скобки: 2sinx(sin4x – 2sinx·cosx) = 0. Далее, применяя формулу двойного угла, получим: 2sinx(2sin2x·cos2x – sin2x) = 0 или 2sinx·sin2x(2cos2x – 1) = 0.

Т.е. задача свелась к решению совокупности уравнений:

sinx = 0, sin2x = 0 и 2cos2x – 1 = 0, решая которые находим три класса решений: , х = π k, , где . Отметим, что параметры n, m и k меняются независимо друг от друга и поэтому здесь должны обозначаться различными буквами. Кроме того, все решения х = π k содержатся в (при четном значении п), и значит в ответе следует указать только два класса: и .

Рассмотрим еще один пример, где найденные классы решений пересекаются частично и эта общая часть в окончательном решении должна быть приведена лишь один раз (без повторений).

Пример №7. Решить уравнение sin5x·sin2x = 0.

Решая уравнение, получаем два класса решений: и , где (проверьте! ). Ни один из этих двух классов решений не является частью другого, но если положить n = 5m и k = 2m, , то в первом и втором случае получим π m, а значит, эти решения надо исключить в одном из приведенных классах решений. Например, во втором классе надо исключить все четные значения k и оставить только k = 2t + 1, и тогда все решения задачи будут записаны в виде и , . При этом каждое решение приводится только один раз.

Обнаружение пересечения классов решений (или возможность их объединения – примеры №6 и №7) легко выявляется, если на единичной окружности, например, кружочками отметить решения, принадлежащие одному классу, а крестиками (или другими знаками) – решения, принадлежащие другому классу.

Другой способ решения тригонометрических уравнений – введение новой переменной, состоит в том, что все тригонометрические функции алгебраически выражаются через одну, затем решается получившееся алгебраическое уравнение, и, наконец, находится значение аргумента по данному значению тригонометрической функции.

Пример №8. Решить уравнение: 4sin²x – 4cosx – 1 = 0.

Т.к. sin²х = 1 – cos²х, то данное уравнение принимает вид:

4 – 4cos²х – 4cosx – 1 = 0 или 4cos²х + 4cosx – 3 = 0. Обозначив cosx = t, получаем квадратное уравнение 4t² +4t – 3 = 0, решая которое, имеем: и . Возвращаясь к переменной х, получаем совокупность двух простейших уравнений и . Первое уравнение дает , где , а второе уравнение решений не имеет, т.к. (или ).

При введении новой переменной следует помнить, что важную роль играет выбор функции, через которую выражаются остальные функции. Может оказаться, что при одном выборе такой функции получается рациональное уравнение, а при другом – иррациональное. Так в примере №8, выражая sin²x через cos²x, приходим к квадратному уравнению, а если выразить cosx через sinx, т.е. , получится совокупность двух иррациональных уравнений. Очевидно, что первый выбор предпочтительнее.

Уравнение вида:

a₀·sinⁿx + a₁·sinⁿ^{– 1}x·cosx +…+ a_n _{– 1}·sinx·cosⁿ^{– 1}x +a_n ·cosⁿx = 0 называется однородным n-ой степени и если a₀≠ 0, то однородному уравнению не удовлетворяют те значения х, при которых cosx = 0. Поэтому, поделив обе части равенства на cosⁿx ≠ 0, получим равносильное уравнение

a₀·tgⁿx + a₁·tgⁿ^–¹x +…+ a_n_–₁·tgx + a_n = 0.

Если же a₀= 0, то нужно предварительно вынести максимально возможную степень cosx за скобку, и отдельно приравнять к нулю cosx и второй сомножитель.

Часто уравнение удается свести к однородному, посредством вставки равного единице множителя (sin²x + cos²x) в члены, степени которых «не дотягивают» до максимальной.

Пример №9. Решить уравнение: sin⁴x + 3sinx·cos³x = 1.

Приведем уравнение к однородному, заменив в правой части единицу на (sin²x+cos²x)², получим sin⁴x + 3sinx·cos³x = = sin⁴x + 2sin²x·cos²x + cos⁴x. После перенесения всего выражения влево и приведения подобных слагаемых вынесем cos²x за скобку cos²x(3sinx·cosx – 2sin²x – cos²x) = 0. Приравняем каждый из множителей к нулю, тогда из уравнения cos²x = 0 получаем , где , а из второго уравнения 2sin²x – 3sinx·cosx + cos²x = 0 получаем равносильное ему 2tg²x – 3tgx +1 = 0, откуда tgx = 1 и tgx = и имеем еще два класса решения и , где (проверьте! ). И ответ , и , где .

Отметим, в каких случаях необходима проверка найденных решений:

1) если в процессе решения произошло расширение области определения уравнения в результате преобразований;

2) если использовалось возведение обеих частей уравнения в четную степень;

3) если при решении применялись тригонометрические тождества, левая и правая части которых имеют неодинаковые области определения, что приводит к расширению (или сужению) области определения, а значит, к появлению посторонних (или потере) корней.

Пример №10. Решить уравнение: 2ctgx – 1 = tg .

Воспользуемся тем, что

и , (1)

Тогда исходное уравнение примет вид . Положив у = tgx, получим , откуда у = (проверьте! ). Таким образом, tgx = , и, следовательно . Однако, использование тождеств (1 ) сужает область определения исходного уравнения, а именно, из области определения «выпадают» значения и в данном случае они являются потерянными решениями (проверьте! ). И ответ и , .

Рассмотрим, так называемую, универсальную тригонометрическую подстановку, позволяющую свести к рациональному любое уравнение вида R(cosx, sinx) = 0 (так обозначают рациональное выражение от cosx и sinx). Это подстановка . Если х ≠ π + 2π k, то справедливы тождества:

и .

При использовании такой подстановки нужно еще проверить, не являются ли числа вида х = π + 2π k решениями рассматриваемого уравнения.

Пример №11. Решить уравнение: 2sinx – cosx = 1.

Используем универсальную тригонометрическую подстановку , тогда и . И данное уравнение примет вид , а тогда , откуда t = и, возвращаясь к переменной х, получим , . Проверкой устанавливаем, что и х = π + 2π n, являются решениями данного уравнения.

По существу, использование универсальной тригонометрической подстановки равносильно переходу к половинному углу и , но в этом случае решение х = π + 2π k, если оно есть, теряется.

Решим этим способом пример №11, заменив sinx на , cosx на и 1 на , получим однородное уравнение:

Откуда . Приравняв к нулю первый множитель, находим х = π + 2π n, а из второго , . На этот раз класс х = π + 2π n оказался не потерян.

Для примера №11 предложено два способа решения уравнения вида asinx + bcosx = c. Рассмотрим еще один способ решения таких уравнений. Допустим сначала, что a =cosφ и b = sinφ, тогда левую часть уравнения можно преобразовать следующим образом: asinx + bcosx = cosφ sinx + sinφ cosx =

= sin(х + φ ). Разумеется, не всегда можно найти такое φ, чтобы cosφ = a и sinφ = b. Для этого необходимо и достаточно, чтобы а²+ b²= 1. Это условие означает, что точка М (а; b) находится на окружности радиуса 1 с центром в начале координат и ее координаты а и b – есть косинус и синус угла, образованного вектором и положительным направлением оси абсцисс.

Однако всегда можно найти такие r и φ, что a = r cosφ и b = r sinφ . Для этого достаточно взять . При таком выборе r числа и удовлетворяют требованию и, значит, найдется такое φ, что a₁ = cosφ и b₁= sinφ, тогда asinx + bcosx = r cosφ ·sinx + r sinφ ·cosx =

= r sin(х + φ ). И данное уравнение сводится к rsin(х + φ ) = с, решая которое получаем . Т.к. , то , где и .

Пример №12. Решить уравнение: sinx + 7cosx = 5.

Разделим обе части уравнения на ,

получим . Т.к. , то существует такое значение φ, чтоcosφ = , а sinφ = , здесь является вспомогательным углом (или ). Теперь исходное уравнение можно переписать в виде: sinx·cosφ + sinφ ·cosx = или sin(х + φ ) = , откуда получим и

(или ).

Пример №13. Решить уравнение cos15x = sin5x.

Т.к. , то исходное уравнение принимает вид: . Воспользуемся формулой преобразования суммы тригонометрических функций в произведение, получим

, откуда и , (проверьте! ).

Пример №14. Решить уравнение: sin2x + 5sinx + 5cosx + 1 = 0.

Положим t = sinx + cosx, откуда t²= (sinx +cosx)²= 1 + +sin2x. Тогда исходное уравнение примет вид: t² + 5t= 0, откуда t₁= 0, t₂= –5. И задача сводится к решению совокупности уравнений . Первое уравнение является однородным первой степени и делением обеих частей на cosx ≠ 0 приводится к виду tgx + 1 = 0, откуда . Второе уравнение решений не имеет, т.к. и и поэтому sinx + cosx не может равняться –5.

Во многих случаях, когда имеется произведение вида cosα ·cos2α ·cos4α …cos2ⁿα (или sinα ·cos2α ·cos4α …cos2ⁿα ), оказывается полезным следующий прием: данное выражение умножают и делят на sinα (или cosα ) для того, чтобы использовать формулу синуса двойного угла для аргумента α, затем 2α и т.д.

Пример №15. Решить уравнение: 8cosx·cos2x·cos4x = 1.

Умножим и разделим левую часть уравнения на sinх, получим: . Последовательно трижды применим формулу синуса двойного аргумента, получим сначала , затем и далее . Это уравнение равносильно системе . Решая такое уравнение, получим и , где (проверьте! ).

Пример № 16. Решить уравнение

Возведем обе части в квадрат и, после приведения подобных слагаемых, получим 3sin5x + 2sinx = 5 (2).

Т.к. и , то уравнение (2) равносильно системе . Решая первое уравнение системы, получим , а из второго , и тогда для системы имеем (все решения первого уравнения являются решениями второго). Но при возведении в квадрат обеих частей уравнения могли появиться посторонние корни. Проверка осуществляется подстановкой полученных значений в исходное уравнение. В данном случае все является решением уравнения.

123 4 5 6