Уравнения и неравенства с параметрами.

Пусть дано уравнение . Если ставится задача отыскать все пары (х, а), которые удовлетворяют данному уравнению, то мы имеем уравнение с двумя неизвестными х и а. Но если переменной а придать какое-либо фиксированное значение, то уравнение можно рассматривать как уравнение с одной переменной х, причем решения этого уравнения определяются выбранным значением а. Когда ставится задача для каждого значения а решить уравнение, то это уравнение с одной переменной х и одним параметром а. Перебрать все значения параметра а, конечно же, невозможно, но всегда есть “особые” значения, в которых (или же при переходе через которые) происходит качественное изменение уравнения, такие значения параметра называют контрольными. Рассмотрим на примерах как находятся контрольные параметры и как решать уравнения с параметрами.

Пример № 11. Решить уравнение

Здесь контрольными значениями параметра будут те значения а, при которых коэффициент при х обращается в ноль, т.е. а = 0 и а = 3. При этих значениях параметра невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х, а при а ¹ 0 и а ¹ 3 это деление возможно. Значит, рассмотрим данное уравнение при следующих значениях параметра:

1) при а = 0 имеем 0 × х = –3 – это уравнение корней не имеет;

2) при а = 3 имеем 0 × х = 0 – корнем этого уравнения является любое действительное число;

3) при а ¹ 0 и а ¹ 3 имеем , откуда . Итак, запишем ответ: при а = 0 корней нет, при а = 3, х Î R и при .

Пример № 12. Решить уравнение

В данном случае контрольным значением будет , т.к. тогда уравнение является линейным, а при – квадратным, т.е. рассмотрим два случая:

1) при имеем , откуда ;

2) при получаем квадратное уравнения, вычислим дискриминант D = а² + 18а – 3. Найдем, при каких значениях параметра а D > 0 – в этом случае исходное уравнение имеет два действительных корня; D = 0 – тогда уравнение имеет один двукратный корень и D < 0 при этом уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, значения параметра а, при которых дискриминант D = 0 тоже относятся к контрольным, найдем их: , .

Итак, если , то ;

если , кроме ,

т.е. , то

и если , то уравнение действительных корней не имеет. Добавим полученное в случае 1 решение: при . Все это и будет решением исходного уравнения.

Пример № 13. Решить уравнение

Область определения уравнения х > 0. При этом выражения, содержащиеся в обеих частях уравнения принимают только положительные значения, поэтому возьмем от обеих частей уравнения логарифмы по основанию а и сразу же отметим, что а > 0 и а ¹ 1, получим , далее х – 2 = 0 и полагая log_a x = t имеем квадратное уравнение, решая которое получаем t₁ = 2 и t₂ = –1. Откуда х₁= а² и х₂ = . Таким образом, при а £ 0 и а = 1 решений нет, а при 0 < a < 1 и a > 1 решением является х₁ = а² и х₂ = .

Пример №14. Решить систему уравнений .

Выразим х из первого уравнения системы и подставим во вторую, получим а – а²у + у = а², далее (1 – а²)·у = а² – а. Контрольными значениями параметра являются а = ±1, при этом коэффициент при у обращается в ноль и деление обеих частей уравнения на коэффициент при у невозможно, т.е. необходимо рассмотреть три случая:

1) при а = 1 имеем 0× у = 0 – корнем этого уравнения является любое действительное число, тогда х = 1 – у, т.е. решением исходной системы будут пары чисел вида (1 – у; у), где уÎ R;

2) при а = –1 имеем 0× у = 2 – это уравнение решений не имеет, значит и система уравнений тоже не имеет решения;

3) при а ¹ ±1 имеем , найдем х:

х = 1 + , т.е. решением исходной системы уравнений являются пары чисел . И запишем ответ:

при а = 1 (1–у; у), где уÎ R,

при а = –1 система уравнений решения не имеет,

при а ¹ ±1 решением является .

Пример № 15. Решить неравенство .

Первое контрольное значение параметра а = –3. Рассмотрим три случая:

1) a < –3, т.е. a + 3 < 0 при этом исходное неравенство равносильно неравенству , преобразовав которое, получим . Приравняем коэффициент при х к нулю, , получим еще два контрольных параметра и , т.е. нужно рассмотреть следующие случаи: , , и . Помня о том, что в случае 1 мы рассматриваем только a < –3, имеем:

1.1. , при этом и тогда ;

1.2. а = –5, при этом и неравенство принимает вид 0 > –44, которое верно при любом х.

1.3. , при этом и тогда

Рассмотрим второй случай:

2) а = –3. Очевидно, что при этом значении параметра исходное неравенство решения не имеет.

3) , т.е. а + 3 > 0 и исходное неравенство равносильно неравенству и аналогично случаю 1. Рассмотрим три случая для этого неравенства:

3.1. , тогда

3.2. , получим 0 < –44, т.е. неравенство решения не имеет;

3.3. , тогда ;

И запишем ответ:

при , ;

при а = –5, хÎ R;

при и а = –3 неравенство решений не имеет.

Пример № 16. При каких значениях параметра а неравенство имеет хотя бы одно решение.

Пусть > 0, тогда данное неравенство принимает вид . Для уравнения найдем дискриминант .

1) При D < 0 – уравнение действительных корней не имеет и левая часть неравенства, при указанных а, положительна, т.е. неравенство решений не имеет.

2) При а = –6 и а = 2, D = 0 и тогда – решение уравнения, но т.к. t > 0, и только а = 2 удовлетворяет этому условию, т.е. при а = –6 исходное неравенство решений не имеет, а при а = 2 неравенство примет вид или . Это неравенство имеет единственное решение t = 1, а тогда х = 0 (условие не требует нахождения х, поэтому достаточно указать только значения параметра, т.е. а = 2).

3) При D > 0 и решением неравенства является .

Учитывая, что t > 0, для существования хотя бы одного решения исходного неравества достаточно, что бы выполнялось > 0. Решим это неравенство для . Уединим корень > –а. При правая часть отрицательна, т.е. неравенство верно, а при обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат, получим а > 3 (проверьте! ), т.е. решений нет. Таким образом, исходное неравенство имеет хотя бы одно решение при .

Вопросы для самопроверки

1. Модуль. Определение. Геометрический смысл.

2. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля. Способы решения.

3. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля. Способы решения.

4. Понятие уравнения (неравенства) с параметром.

5. Принципиальное отличие уравнения с параметром от уравнения с двумя неизвестными.

6. Решение уравнения (неравенства) с параметром. Контрольные значения.

7. Может ли а = –5, если ½ а½ = 5, ½ а½ = –а и ½ а½ = а ?

8. Какой способ лучше использовать для решения данных уравнений, почему?

а) ½ х + 1½ + ½ 2х + 3½ = ½ х – 3½

б) ½ 12х – 7½ = 3

в) ½ 3х² – 1½ = 2½ х½

г) ½ х² + 7х – 11½ = х² + 1

9. ½ х + у½ £ ½ х½ + ½ у½. Приведите примеры, когда имеет место равенство, а когда неравенство.

Тема «Текстовые задачи»

С помощью уравнений решаются многочисленные задачи, к которым приводят различные вопросы физики, механики, экономики и многих других прикладных наук. Конечно, нельзя рассмотреть все разнообразие текстовых задач в нескольких примерах. Нет и четкого алгоритма, позволяющего решать эти задачи, каждая из которых требует отдельного подхода, логических рассуждений, выводов и умения записывать их в виде математических соотношений. Тем не менее, решение текстовых задач при составлении уравнения (системы уравнений) обычно осуществляется следующим образом:

1) вводят переменные, т.е. обозначают буквами х, у, z, … неизвестные величины, которые требуется найти в задаче либо они необходимы для отыскания искомых величин;

2) с помощью введенных переменных и данных в задаче величин составляют систему уравнений (или одно уравнение);

3) решают полученную систему (уравнение);

4) отбирают из полученных решений те, которые подходят по смыслу задачи.

Не смотря на то, что невозможно охватить все виды текстовых задач, их можно разбить на несколько основных типов. Рассмотрим примеры.

Задачи на прогрессию

Напомним, что числовая последовательность {a_n} называется арифметической прогрессией, если существует число d такое, что для любого nÎ N выполняется а_п = а_п_–1+ d. Число d при этом называется разностью арифметической прогрессии. п-ый член арифметической прогрессии может быть выражен через а₁ и d: a_n = a₁+ (n –1)d. Сумма п членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле S_n = .

Последовательность {b_n}, где b₁ ¹ 0, называется геометрической прогрессией, если существует число q ¹ 0 такое, что для любого nÎ N выполняется равенство b_п = b_п_–1 q или п-ый член геометрической прогрессии может быть выражен через b₁: b_п = b₁ q^п^–1. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии. Сумма п членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле S_n = .Если |q| < 1, то прогрессия является бесконечно убывающей и сумма ее членов находится по формуле S = .

Пример № 1. При делении 13-го члена арифметический прогрессии на ее третий член в частном получилось 3, а при делении 18-го члена на 7-ой в частном получилось 2 и в остатке 8. Найти 100-ый член прогрессии.

Пусть а_i – член арифметический прогрессии, где i – номер члена арифметический прогрессии, тогда исходя из условия задачи имеем а₁₃ = 3а₃, а а₁₈ = 2а₇ + 8. По формуле п-го члена а_п = а₁ + d(п–1) следует, что а₃= а₁ + 2d, а₇ = а₁ + 6d, а₁₃= а₁ + + 12d, а₁₈= а₁ + 17d. Таким образом, приходим к системе двух уравнений с двумя неизвестными а₁и d (чаще всего к системе от этих переменных сводятся задачи на арифметическую прогрессию): . Решая систему получаем а₁ = 12 и d = 4 (проверьте! ) и находим а₁₀₀ = а₁+ 99d = 408.

Пример №2. Найти 8-ой член геометрической прогрессии, у которой b₁ = 3, b_п = 96 и S_n = 189.

Т.к. b_п= b₁q^п^–¹, то получаем 96 = 3q^п^–¹, откуда q^{п –}¹ = 32 или q^п= 32q. С другой стороны , т.е. 189 = или = 63, а поскольку q^п= 32q, то получим = 63, откуда q = 2 (проверьте! ). И теперь, зная b₁= 3 и q = 2, можно найти b₈ = b_1·q⁷= 384

Пример №3. В геометрической прогрессии первый, третий и пятый члены соответственно равны первому, четвертому и шестнадцатому членам некоторой арифметической прогрессии. Найти четвертый член арифметической прогрессии, если ее первый член равен 5.

Пусть b₁, b₃, b₅ – соответственно первый, третий и пятый члены геометрической прогрессии; а₁, а₄, а₁₆ – первый, четвертый и шестнадцатый члены арифметической прогрессии и пусть d – разность арифметической прогрессии, а q – знаменатель геометрической. Тогда a₁ = b₁ = 5; b₃ = b₁·q² = 5q²; b₅ = 5q⁴ и а₄ = a₁ +3d = 5 +3d, a₁₆= 5 + 15d. И поскольку b₃= a₄ и b₅ = а₁₆, то имеем систему: , решая которую получаем d₁ = 0 и d₂ = 5, а тогда а₄ = 5 или а₄ = 20.

1 2 345 6