|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Производная есть отношение дифференциала функции
Ярославль 2009 Содержание. Введение. 1. Множество и функция. 2. Производная функции. 3. Неопределенный интеграл. 4. Определенный интеграл. 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 6 Литература. 7. Приложение. Сборник задач по производным, интегралам, дифференциальным уравнениям.
Введение.
Данное пособие написано на основании многолетнего опыта преподавания основ математического анализа студентам лечебного и педиатрического факультетов медицинской академии. В процессе обучения студенты, получив необходимые теоретические знания о дифференциальном и интегральном исчислении, учатся дифференцировать простые и сложные функции, находить определенные и неопределенные интегралы, решать простые дифференциальные уравнения. Пособие соответствует учебному плану проведения занятий по математическому анализу для студентов первого курса лечебного и педиатрического факультетов и состоит из двух частей. Теоретическая часть содержит минимальный объем сведений для понимания основных понятий математического анализа. Практическая часть представляет собой сборник задач в который вошло около двухсот примеров. Студентам данная работа поможет глубже понять вопросы, которые изучались на семинарах. Для развития умения решать практические задачи в пособии приведено и разобрано много примеров. Преподавателям в данном пособии предлагается большое количество задач для семинаров и домашних заданий. При написании данной работы были учтены замечания и пожелания как коллег-преподавателей так и студентов. Данное пособие имеет электронную версию, поэтому необходимые исправления в него вносятся в минимальные сроки. Все замечания по данной работе направлять автору на электронный ящик bobiskola@mail.ru.
1. Множество и функция. Понятия множества и функции относятся к первичным понятиям математики как понятия точки или линии. Множество — это совокупность конечного или бесконечного числа элементов, объединенных по какому-либо признаку. Множество называется числовым, если элементами множества являются числа. Некоторые числовые множества и их обозначения: N - множество всех натуральных чисел; Z - множество всех целых чисел; R - множество всех действительных чисел. Отношение между двумя множествами называется отображением, если каждому элементу одного множества соответствует только один элемент другого. Числовой функцией называется отображение f числового множества X на множество R действительных чисел. Множество f называется областью определения функции f, а множество значений X —область допустимых значений функцииf. D(f) - область определения функции ( множество Х ) E(f) - множество значений функции ( множество f ) Производная функции.
2.1 Определение производной функции одной переменной. Пусть на некотором отрезке X=[a; b] определена функция f(x). Возьмем любую точку х Î Х и зададим аргументу х в данной точке произвольное приращение ∆ х такое, что точка х +∆ х так же принадлежит Х. Этим значениям аргумента х и х+∆ х соответствуют следующие значения функции: y(х) = f(х) у(х+∆ х) = f(х+∆ х). Приращение аргумента равно ∆ х. Приращение функции ∆ y = f(х+∆ х)-f(х). Производной функции f(х) в точке х называется предел отношения приращения ∆ y функции к приращению аргумента ∆ х, когда приращение аргумента стремится к нулю: Для обозначения производной функции используют символ y '(х) или f ′ (х).
Читается: y'(х) - « игрек штрих по х », f '(х) - « эф штрих по х ». Таким образом, по определению: f ′ (х) = Замечание 1: Предел Случай, когда Замечание 2: ∆ y и ∆ х — это единые символы, поэтому в выражении Процесс нахождения производной называется дифференцированием функции. Функция называется дифференцируемойв точке х, если ее приращение можно представить в виде:
∆ y=y'∆ х + α Δ х,
где y' – производная функции f(х) в точке х, α = α (х) —бесконечно малая при Δ х→ 0, т.е.
lim α = 0 Dx®0 Дифференциалом функции y = f(х) в точке х называется главная часть приращения функции в этой точке
dy = f'΄ (х)Δ х.
Дифференциалом независимой переменной х по определению считается величина: dх=Δ х. Тогда дифференцил функции равен
dy = f΄ (х)dх.
Таким образом:
Из данной формулы следует другое определение производной:
К дифференциалу аргумента. Формула для дифференциала функции очень важна при взятии интегралов, приближенного вычисления функции в данной точке и решении дифференциальных уравнений.
Таблица производных Элементарных функций. Пользоваться определением производной функции для нахождения производной есть процедура, которая требует большого количества времени. Поэтому производные всех элементарных функции были найдены и сведены в таблицу. Таблица производных элементарных функций есть в любом учебнике по высшей математике, поэтому в данном пособии она приведена в качестве иллюстрации в небольшом объеме.
На практике приходится дифференцировать алгебраические комбинации элементарных математических функций. Рассмотрим правила дифференцирования для двух простых функций U(х) и V(х):
(U+V)' = U'+V',
(UV)' = U'V+UV',
Примеры дифференцирования простых и сложных функций. 1. Y = х3 у'=3х2 2. Y = sin2x y´ = cos2x(2x)΄ = 2cos2x 3. Y = sin32x y´ =3sin 4. Y= xx у′ = (xx) = (exlnx) = exlnx(lnx+1).
Значениях аргумента. Приращение функции приблизительно равно дифференциалу функции, если приращение аргумента ∆ x достаточно мало: ∆ у = f(х+∆ х)—f(х) ≈ dy ≈ f '(х)∆ х. Приближенное вычисление значения функции равно: f(х+∆ х) ≈ f(х)+f '(х)∆ х. В близи нуля (х=0) можно записать: f(∆ х) ≈ f(0)+f '(0)∆ х. Заменяя ∆ x на x имеем: f(х) ≈ f(0) +f '(0)х. В качестве примера рассмотрим функцию у=(1+х)1/2. Вблизи нуля имеем:
y = у(0)+у'(0)х = (1+х)1/2 |x=0 +
Неопределенный интеграл.
Таблица основных интегралов.
Нижеприведенная таблица неопределенных интегралов получена либо из сравнения с таблицей производных из понимания того, что интегрирование – процедура, обратная дифференцированию, либо непосредственным дифференцированием правой части формулы. Таблица очень краткая и приведена в качестве иллюстрации.
Метод замены переменных.
В некоторых случаях введение новой переменной интегрирования x = j(t) позволяет свести неопределенный интеграл
ò f(x)dx (1)
к табличному виду. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. Алгоритм метода замены переменной для неопределенного интеграла следующий: 1. Введем новую переменную x = j(t) которая должна свести интеграл (1) к табличному виду. Решая данное уравнение относительно t имеем:
t = ψ (x)
2. В первоначальном интеграле (1) сделаем замену переменных: f (x)= dx = j¢ (t)dt
3. Интеграл (2) должен решаться в силу основного свойства подстановки x = j(t): данная подстановка должна сводить первоначальный интеграл к табличному виду. Решение интеграла (2) имеет следующий вид:
4. В интеграле (3) сделаем замену переменных t = ψ (x), то есть возвращаемся к первоначальной переменной х: F(t) + C = F(ψ (x)) + C ( 4 ) Для того, чтобы убедиться в том, что найденный интеграл (4) найден правильно, можно продифференцировать выражение (4) и сравнить с подинтегральной функцией интеграла (1). Подинтегральная функция f(x) должна совпадать с производной F¢ (ψ (x)):
F¢ (ψ (x)) = f(x).
3.4.3. Примеры нахождения неопределенного интеграла.
В данном примере один и тот же интеграл решен двумя разновидностями метода подстановки. Найти неопределенный интеграл
1 способ.
1. 1.1. Делаем замену переменных: t = cos x 1.2. Выражаем старую переменную через новую: x = arccos t 1.3. По определению дифференциала: dx = j¢ (t)dt = (arccos t )′ dt = dx=
1.4. sin2x + cos2x = 1, т.к. t = cos x, то sin2x + t2 = 1, sin x = 1.5. Заменяем в первоначальном интеграле cos x, sin x, dx через t. 1.6. Первоначальный интеграл свелся к табличному относительно t. Найти интеграл относительно t. 1.7. При использовании метода подстановки надо помнить, что после взятия неопределенного интеграла необходимо возвращаться от новой переменной t к первоначальной переменной x. Возвращаемся от переменной t к переменной х.
2 способ.
2. 2.1. Вводим переменную t = cos x 2.2. Берем дифференциал от обеих частей и находим dx: dt = - sin x dx sin x dx = - dt dx = - dt / sin x 2.3. Подставляем вместо cos x и dx их выражения через t в первоначальный интеграл и сводим его к табличному.
Определенный интеграл.
Рис. 2
Формула Ньютона-Лейбница.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) – первообразная функции f(x) на этом отрезке, то:
Данная формула называется формулой Ньютона-Лейбница. Она устанавливает теоретическую связь между определенным и неопределенным интегралом и дает удобное практическое правило вычисления определенного интеграла. Для краткости записи употребляется обозначение:
F(b) – F(a) = F(x)
поэтому формула Ньютона-Лейбница принимает вид:
Методом замены переменной. Алгоритм нахождения определенного интеграла методом замены переменной состоит из следующих шагов. 1. Подберем такую переменную x = j(t), которая сведет первоначальный интеграл к табличному виду. 2. Заменим старые пределы интегрирования на новые. Для этого равенство x = j(t) разрешается относительно t: t= ψ (x). Нижний предел интегрирования равен α =ψ (a). Верхний предел интегрирования равен β =ψ (b).
Таким образом, вместе с заменой переменной в первоначальном интеграле меняются и пределы интегрирования. Первоначальный определенный интеграл свелся к табличному интегралу относительно t:
3. Пусть его первообразная равна F(t), на основании формулы Ньютона – Лейбница можно написать:
F(t) Первоначальный интеграл найден. Приведем полную последовательность вычислений:
Следует обратить внимание на то, что в первообразной F(t) нет необходимости возвращаться к первоначальной переменной х ( t= ψ (x), F(ψ (x) ). Возврат к первоначальной переменной приведет к необходимости вернуться к старым пределам интегрирования. Это не ошибка – просто увеличится объем вычислений. Примеры нахождения определенного интеграла.
1. 1.1. Возьмем новую переменную: выражаем старую переменную через новую:
1.2. По определению дифференциала: 1.3. Делаем замену пределов интегрирования: Замена пределов интегрирования происходит следующим образом. Для старой переменной х нижний предел интегрирования равен p/8, но так как t = 2x, для t нижний предел равен:
Для старой переменной х верхний предел интегрирования равен p/6, но так как t = 2x, верхний предел интегрирования для t равен
=
Практически замену пределов интегрирования удобно делать через условное равенство (1).
2.
1 способ.
t = sinx dt = cosx dx
2 способ.
t = sinx x = arcsin t dx = (arcsin t)¢ dt = sin2 x + cos2 x = 1 cos2 x = 1 – sin2 x = 1 – t2 cosx =
Дифференциальные уравнения. Основные понятия о дифференциальных уравнениях. Дифференциальным уравнением называется алгебраическое равенство, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = ¦(x) и её производные. Если искомая функция является функцией одной переменной х, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком данного дифференциального уравнения. Общий вид дифференциального уравнения n-порядка следующий: F(х, у, у¢ …. у(n)) = 0 (1) Всякая функция у =¦(x), подставленная в уравнение (1), и обращающая его в верное равенство, называется решением данного дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет следующий общий вид: F(x, y, y¢ ) = 0 (2) Если его можно разрешить относительно у¢, то у¢ = ¦(x, y) (3) Решение уравнения (3), которое содержит произвольную постоянную С, то есть имеющее вид: y = j(х, С) (4) называется общим решением данного дифференциального уравнения. Если это решение имеет вид:
f(х, у, С) = 0 или y(х, у) = С (5),
то в этом случае выражение (5) называется общим интегралом уравнения (3). Решить или проинтегрировать дифференциальное уравнение (3) – значит найти его общее решение в виде (4) или общий интеграл в виде (5).
Примеры составления и решения дифференциальных уравнений.
И интегралной формах.
Из курса физики известно, что убыль радиоактивного вещества подчиняется следующему закону:
m = m0 e-λ t , где
m - количество радиоактивного вещества, m0 - первоначальное количество радиоактивного вещества, то есть количество вещества в начальный момент времени t = 0: m │ = m0 (1) │ t = 0
l - постоянная радиоактивного распада. Данный закон является решением дифференциального уравнения, которое получается на основе следующих рассуждений. Пусть на момент времени t = 0 в наличии имелось количество радиоактивного вещества m0. С течением времени первоначальное количество вещества уменьшается за счет радиоактивного распада, за время dt уменьшается на dm. Опытные данные показывают, что уменьшение dm количества радиоактивного вещества пропорционально времени dt, за которое произошло уменьшение количества вещества и пропорционально текущему количеству радиоактивного вещества. Если ввести коэффициент пропорциональности l, то можно записать: dm = - lm dt (2) Знак минус говорит об убыли (уменьшении) вещества за счет радиоактивного распада. Данное дифференциальное уравнение решается методом разделения переменных. Разделим (разнесем) переменные m и t по разные стороны от знака равенства: dm/m = - ldt Проинтегрируем обе части данного дифференциального уравнения: ò dm/m = -ldt ln m = - lt +C Потенцируем данное равенство: elnm = e- λ t +C m = eC e- λ t = Ce- λ t Константу С определяем из начального условия (1), подставляя в уравнение (2) t = 0 Имеем: m0= С m = m0 e- λ t (4) Уравнение (4) называется законом радиоактивного распада в интегральной форме, дифференциальное уравнение (2) законом радиоактивного распада в дифференциальной форме. Примеры решения дифференциальных Литература. Основная литература.
1. И.И. Баврин, «Курс высшей математики», М, «Просвещение», 1992г. 2. А.Н. Ремизов, Н.Х. Исакова, «Сборник задач по физике», М, «Высшая школа», 1978г.
Дополнительная литература. 1. В.С. Щипачев, «Высшая математика», М, «Высшая школа», 1996г 2. Я.Б. Зельдович, А.Д. Мишкис, «Элементы прикладной математики», М, «Наука», 1967г. 3. В.А. Подольский, А.М. Суходольский, «Сборник задач по математике», М, «Высшая школа», 1978г.
Приложение. Сборник задач по производным, интегралам, дифференциальным уравнениям. Пособие для студентов медицинской академии.
I. Производная функции. 1. Найти производные следующих простых функций.
1.1. y = x3 + 4x2 +5 { y΄ = 3x2 + 8x }
1.2.
1.3. y =
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
1.16.
1.17.
1.18.
1.19.
1.20.
1.21.
1.22.
1.23.
1.24.
1.25.
1.26.
1.27.
1.28.
1.29.
1.30.
2. Найти производные следующих сложных функций.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
2.21.
2.22.
2.23.
2.24.
2.25.
2.26.
2.27.
2.28.
2.29.
2.30.
I. Интегралы. 1. Найти неопределенные интегралы методом тождественных преобразований.
3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
3.21.
3.22.
3.23.
3.24.
3.25.
3.26.
3.27.
3.28.
3.29. 3.30.
II. Решить неопределенные интегралы методом замены переменной.
4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7.
4.8. 4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
4.15.
4.16.
4.17.
4.18.
4.19.
4.20.
4.21. 4.22
4.23.
4.24.
4.25.
4.26.
4.27. 4.28.
4.29.
4.30.
V. Найти определенный интеграл табличным методом, нарисовать геометрические фигуры, площадям которых соответствует данный определенный интеграл.
5.1. 5.2.
5.3. 5.4.
5.5.
Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-01; Просмотров: 276; Нарушение авторского права страницы
= 
= 
в данной работе не рассматривается.
на ∆ сократить нельзя.
2x(sin2x)΄ = 3sin 
= 1 + 
( 2 )
( 3 )
= - 
= F(β ) – F(α ).
=
, 
(1)
= 
{ y΄ = 3ax3 }
{ y΄ = 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
} 
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 
}
{ 2 }
{ 2 }