Основные формулы комбинаторики

Комбинаторика изучает количество комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. Принепосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведены наиболее часто употребляемые из них.

Перестановками называются комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Р_n = n!, где n! = 1·2·3... n.

Заметим, что 0! = 1.

Пример 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение. Искомое число трехзначных чисел Р_n = 3! = 1·2·3 = 6.

Размещениями называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, Флибо их порядком. Число всех возможных размещений

= n(n-1)(n-2)...(n-m+1).

Пример 2. В президиум собрания избраны семь человек. Сколькими способами они могут распределить между собой обязанности председателя и секретаря?

Решение. Число таких способов равно: = 7·6 = 42.

Сочетаниями называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний:

Пример 3. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Решение. Искомое число способов .

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

1. Принципсуммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно (m + n) способами.

2. Принциппроизведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.

3. Имеются n предметов, среди которых m меченых. Необходимо умение решать два типа задач.

а) Наугад извлекаем k предметов (k < m ). Вероятность того, что все извлеченные предметы окажутся мечеными, равна:

б) Наугад извлекаем k предметов (k < m). Вероятность того, чтосреди извлеченных предметов окажутся r меченых (r < k), равна:

4. Пусть имеются n = n₁ + n₂ +…+ n_k различных элементов, причем из них n₁ элементов первого типа, n₂ - второго типа,..., n_k – k -го типа. Случайным образом из этих элементов выбираются m элементов. Вероятность события А, состоящего в том, что среди выбранных элементов окажется ровно m₁ ≤ n₁ элементов первого типа, m₂≤ n₂второго типа, ..., m_k≤ n_k элементов k-го типа, причем m₁ + m₂ +…+ m_k = m, обозначают P(m₁, …, m_k), и она равна:

Общее число вариантов отбора равно .

Выполнить следующие задания:

Вариант 1

1. Из колоды в 36 карт извлекаются 6 карт. Какова вероятность того, что: а) они все пиковой масти;

б) из них ровно 4 карты пиковой масти?

2. В коллективе 15 человек. Составляется график дежурств. В первый день необходимо 4 человека, во второй – 2, в третий – 5 человек. Сколько
существует вариантов составления графика?

3. В фонотеке 10 дисков.

а) Сколько существует способов их размещения;

б) сколько существует способов их размещения, если определенные 3 диска должны находиться рядом?

4. На автобусном маршруте 15 остановок, включая начальную и конечную. На начальной остановке садятся 7 пассажиров. Найти вероятность того, что:

а) все пассажиры выйдут на 5 - ой остановке;

б) все пассажиры выйдут вместе;

в) все пассажиры выйдут на разных остановках;

г) никто не выйдет на 6 остановке.

5. Из колоды в 52 карты извлекаются 5 карт. Найти вероятность того, что:

а) все карты одного цвета;

б) все карты одной масти.

6. В урне 5 белых шаров и 8 красных. Один за другим вынимаются два шара. Найти вероятность того, что вторым по счету будет извлечен красный шар.

Вариант 2

1. В корзине 15 одинаковых по форме яблок. Из них 10 сладких. Наугад извлекаются 6 яблок. Какова вероятность того, что

а) все извлеченные яблоки сладкие;

б) среди извлеченных яблок ровно 4 сладких?

2. В спортивной секции занимаются 8 девушек и 7 юношей. Необходимо выставить команду из 4 девушек и 3 юношей. Найти число способов формирования команды.

3. На полке 9 книг.

а) сколько существует способов их размещения;

б) сколько существует способов их размещения, если определенные три книги должны находиться рядом?

4. В доме 7 этажей. В лифт входят 4 пассажира. Найти вероятность того, что:

а) все пассажиры выйдут на 6 этаже,

б) все пассажиры выйдут вместе;

в) все пассажиры выйдут на разных этажах;

г) никто не выйдет на 5 этаже.

5. В колоде 36 карт. Колода делится пополам. Найти вероятность того, что:

а) в обеих частях вес карты одного цвета;

б) в одной половине 2 туза;

в) в одной половине 4 дамы.

6. На складе готовой продукции 60% изделий, изготовленных на станках 1-го типа, а остальные изготовлены на станках 2-го типа. Известно, что среди изделий, изготовленных на станках 1-го типа, брак составляет 5%, а на станках 2-го типа – 7%. Наугад извлекается одно изделие. Найти вероятность того, что это изделие – стандартное.

Вариант 3

1. В урне 13 белых и 10 черных шаров. Наугад извлекаются 8 шаров. Найти вероятность того, что:

а) все извлеченные шары – белые;

б) среди извлеченных ровно 3 белых шара.

2. В роте 4 офицера, 7 сержантов и 75 рядовых. Найти число вариантов выбора разведывательного дозора, состоящего из2 офицеров, 4 сержантов и 20 рядовых.

3. В видеотеке 9 дисков DVD.

а) сколько существует способов их размещения;

б) сколько существует способов их размещения, если определенные 2 диска должны стоять вместе?

4. В электричке 9 вагонов. 5 туристов договорились встретиться в электричке. Какова вероятность того, что:

а) все сядут в последний вагон;

б) все сядут в один вагон;

в) все сядут в разные вагоны;

г) никто не сядет в третий вагон?

5. Из колоды в 52 карты извлекаются 5 карт. Какова вероятность того, то среди извлеченных карт:

а) окажутся 2 короля;

б) окажутся 3 туза;

в) не будет дам?

6. В футбольной команде два лучших пенальтиста. Вероятность забить гол с пенальти для одного из них равна 0, 9, а для другого – 0, 85. Судья назначил пенальти. Найти вероятность того, что гол будет забит.

Вариант 4

1. В лотерейном барабане 30 билетов. Из них 10 с выигрышем. Наугад извлекаются 8 билетов. Найти вероятность того, что:

а) они все выигрышные;

б) среди них ровно 3 выигрышных.

2. В городе 7 архитектурных памятников, 8 крупных магазинов и 5 площадок обзора. Сколько можно составить туристических маршрутов по городу с посещением 4 архитектурных памятников, 3 магазинов и 2 площадок обзора?

3. В фонотеке 11 дисков.

а) Сколько существует способов их размещения;

б) сколько существует способов их размещения, если определенные 4 диска должны находиться рядом?

4. В спортлагере 5 корпусов. 4 студента из одной группы получили путевки в спортлагерь. Найти вероятность того, что:

а) всех поселят в корпусе № 2;

б) всех поселят в одном корпусе;

в) все будут поселены в разных корпусах;

г) никто не будет поселен вкорпусе № 3.

5. Из колоды в 52 карты извлекаются 6 карт. Найти вероятность того, что:

а) все извлеченные карты одного цвета;

б) все извлеченные карты одной масти.

6. В группе 25 студентов, из них 15 девушек и 10 юношей. На занятии по математике преподаватель поочередно вызывает к доске двух студентов. Найти вероятность того, что вторым по счету будет вызван к доске юноша.

Вариант 5

1. В ящике 15 деталей, из них 9 стандартных. Для контроля берутся 6 деталей. Какова вероятность того, что

а) все взятые детали стандартны;

б) из них ровно 4 детали – стандартны?

2. В книжном магазине имеются книги в подарочном исполнении: 20 книг – проза, 10 – поэзия, 6 – альбомы. Формируется подарочный набор: проза – 5 книг, поэзия – 2 книги и 1 альбом. Найти число вариантов подарочных наборов.

3. На полке 10 книг.

а) Сколько существует способов их размещения;

б) сколько существует способов их размещения, если определенные 4 книги должны находиться рядом?

4. Случайным образом отобрали 4 студентов. Какова вероятность того, что: а) у всех день рождения в июле,

б) у всех день рождения в одном месяце;

в) у всех дни рождения в разные месяцы;

г) из них никто не родился в феврале?

5. В колоде 36 карт. Колода делится пополам. Найти вероятность того, что:

а) в обеих частях все карты одного цвета;

б) в одной половине 3 туза;

в) в одной половине 2 дамы.

6. Две фирмы изготавливают однотипную продукцию и реализуют ее через одну и ту же торговую точку. 70% продукции первой фирмы и 60% продукции второй фирмы – высшего сорта. Первая фирма поставила в эту торговую точку 18 единиц этой продукции, а вторая фирма поставила 12 единиц. Наугад выбирается одно изделие этого типа. Найти вероятность того, что это изделие – высшего сорта.

Вариант 6

1. В магазине 25 продавцов, из них 10 женщин. В утреннюю смену выходят 7 человек. Найти вероятность того, что среди них

а) все женщины;

б) среди них ровно три женщины.

2. В галантерейном отделе магазина 9 типов галстуков, 8 видов мужского парфюма, 12 типов носовых платков. Ко дню «Защитника Отечества»
формируется подарочный набор из 2 галстуков, 3 видов парфюма и 5 видов
платков. Найти число вариантов подарочных наборов.

3. В видеотеке 10 дисков DVD.

а) Сколько существует способов их размещения;

б) сколько существует способов их размещения, если определенные 3 диска должны стоять вместе?

4. Имеются 8 лунок. 4 шарика случайным образомразбрасываются по лункам. Найти вероятность того, что:

а) все шарики окажутся в 3-й лунке;

б) все шарики попадут в одну лунку;

в) все шарики будут в разных лунках;

г) ни один шарик не попадет в 7-ю лунку.

5. Из колоды в 52 карты извлекаются 5 карт. Какова вероятность того, что среди извлеченных карт:

а) окажутся 4 короля;

б) окажется 1 туз;

в) не будет дам?

6. В первой коробке 8 белых и 7 черных шаров, а во второй 6 белых и 9 черных шаров. Из первой коробки наугад извлекается один шар и переклады-вается во вторую, после чего из второй коробки так же наугад берется один шар и перекладывается в первую коробку. Какова вероятность того, что после этого состав шаров в каждой коробке окажется прежним?

Вариант 7

1. На 20 карточках написано по одной букве русского алфавита. Из них гласных букв 8. Наудачу извлекают 5 карточек. Найти вероятность того, что:

а) все извлеченные буквы – гласные;

б) среди извлеченных ровно три гласных.

2. В военкомат прибыла группа из 30 призывников. В первую очередь необходимо отобрать 5 человек в танкисты, 6 человек в ВДВ и 2 человека на флот. Найти число вариантов отбора.

3. В фонотеке 12 дисков.

а) Сколько существует способов их размещения;

б) сколько существует способов их размещения, если определен-ные 2 диска должны находиться рядом?

4. В городке 8 школ. Случайным образом отбираются 6 школьников. Найти вероятность того, что:

а) все эти школьники учатся в 4-й школе;

б) все эти школьники учатся в одной школе;

в) ни один из них не обучается в 3-й школе;

г) все эти школьники учатся в разных школах.

5. Из колоды в 52 карты извлекаются 7 карт. Найти вероятность того, что:

а) все извлеченные карты одного цвета;

б) все извлеченные карты одной масти.

6. В среднем 80% телевизоров марки “Samsung”, 85% телевизоров марки “Sony” и 90% телевизоров марки “Toshiba” выдерживают гарантийный срок без поломки. В магазин завезли 12 телевизоров марки “Samsung”, 13 – марки “Sony” и 15 – марки “Toshiba”. Случайным образом выбирается один из телевизоров. Какова вероятность того, что этому телевизору не потребуется гарантийный ремонт?

Вариант 8

1. В ящике 16 деталей, из них 10 деталей окрашены. Сборщик наудачу извлекает 7 деталей. Найти вероятность того, что

а) все извлеченные детали окрашены;

б) среди извлеченных деталей окрашены ровно 4 детали.

2. На курсе 130 студентов. Поступили заявки на производственную практику: в Ульяновск – 10 человек, в Самару – 13, в Челябинск –16 человек. Найти число вариантов распределения студентов на практику.

3. На полке 11 книг.

а) Сколько существует способов их размещения;

б) сколько существует способов их размещения, если определенные 2 книги должны находиться рядом?

4. В саду расцвели 9 яблонь. 5 пчелок залетели в сад. Найти вероятность того, что:

а) все пчелы сядут на 4-ю яблоню;

б) все пчелы сядут на одну яблоню;

в) ни одна пчела не сядет на 6-ю яблоню;

г) все пчелы сядут на разные яблони;

5. В колоде 36 карт. Колода делится пополам. Найти вероятность того, что:

а) в обеих частях все карты одного цвета;

б) в одной половине 4 туза;

в) в одной половине 2 дамы.

6. За одно дежурство инспектор ГИБДД накладывает взыскания в среднем на 10% водителей легковых автомобилей, 15 % водителей грузовиков и 8% водителей других транспортных средств, проходящих мимо поста ГИБДД. Инспектор случайным образом останавливает одну машину. Найти вероятность того, что на ее водителя не будет наложено взыскание, если за одно дежурство мимо инспектора проходят в среднем 800 легковых автомобилей, 500 грузовиков и 300 других транспортных средств.

Вариант 9

1. В пенале 20 ручек, из них 8 гелиевых и 12 шариковых. Наугад извлекаются 6ручек. Какова вероятность того, что:

а) все извлеченные ручки – гелиевые;

б) среди извлеченных ручек гелиевых – ровно 4?

2. Рота из 100 человек успешно выполнила правительственное задание. Командование выделило следующие награды: 1 звание «Герой России», 4 ордена «Красная звезда», 7 медалей «За отвагу». Найти число вариантов награждения.

3. В видеотеке 11 дисков DVD.

а) Сколько существует способов их размещения;

б) сколько существует способов их размещения, если определенные 4 диска должны стоять вместе?

4. Стеллаж состоит из 8 полок. 5 книг надо поместить на полках стеллажа. Найти вероятность того, что:

а) все эти книги окажутся на 2-й полке;

б) все эти книги окажутся на одной полке;

в) все эти книги окажутся на разных полках;

г) ни одна из этих книг не окажется на 3-й полке.

5. Из колоды в 52 карты извлекаются 7 карт. Какова вероятность того, что среди извлеченных карт: а) окажутся 3 короля; б) окажутся 2 туза; в) не будет дам?

6. В корзине 14 красных, 16 зеленых и 10 желтых яблок, по форме неразличимых. 40% красных, 60% зеленых и 50% желтых яблок высокого качества. Наугад извлекается одно яблоко. Найти вероятность того, что оно – высокого качества.

Вариант 10

1. Среди 27 студентов группы 10 девушек. Разыгрываются 10 билетов на студенческий бал в «баскет – холле», Найти вероятность того, что

а) все билеты достанутся девушкам;

б) на бал пойдут ровно 6 девушек.

2. В коллективе 20 человек. Составляется график дежурств. В первый день необходимо 3 человека, во второй – 3, в третий – 4 человека. Сколько существует вариантов составления графика?

3. В фонотеке 13 дисков,

а) сколько существует способов их размещения;

б) сколько существует способов их размещения, если опреде-ленные 3 диска должны находиться рядом?

4. Четыре друга-курсанта оканчивают военное училище. Заявки на распределение выпускников этого училища поступили из 12 военных частей. Определить вероятность того, что:

а) все четверо будут служить в 6-й военной части;

б) все четверо будут служить в одной военной части;

в) все четверо будут служить в разных военных частях;

г) никто из этих четверых выпускников училища не будет служить в 3-й военной части.

5. Из колоды в 52 карты извлекаются 4 карты. Найти вероятность того, что:

а) все извлеченные карты одного цвета;

б) все извлеченные карты одной масти.

6. В группе 16 девушек и 9 юношей. В среднем 12, 5% девушек и юношей выполняют контрольную работу по математике неудовлетворительно. Наугад извлекается одна работа. Найти вероятность того, что эта работа выполнена на положительную оценку.

Вариант 11

1. Известно, что в партии из 25 швейных машинок 6 имеют внутренний дефект. Наугад отбираются 5 машинок. Найти вероятность того, что:

а) все выбранные машинки бездефектные;

б) среди выбранных машинок ровно три машинки бездефектные.

2. В бригаде 10 каменщиков, 7 штукатуров и 6 маляров. На строительный объект необходимо выделить группу из 5 каменщиков, 3 штукатуров и 2 маляров. Найти число способов формирования группы.

3. На полке 12 книг.

а) Сколько существует способов их размещения;

б) сколько существует способов их размещения, если определенные 4 книги должны находиться рядом?

4. Семь учащихся художественной школы должны нарисовать на выбор по одному из 10 предметов. Найти вероятность того, что:

а) все семеро нарисуют 8-й предмет;

б) все семеро нарисуют один предмет;

в) все семеро нарисуют разные предметы;

г) никто не нарисует 4-й предмет.

5. В колоде 36 карт. Колода делится пополам. Найти вероятность того, что:

а) в обеих частях вес карты одного цвета;

б) в одной половине 1 туз;

в) в одной половине 2 дамы.

6. 60% сотрудников фирмы моложе 30 лет. Среди них 70% сотрудников – высокой квалификации. Среди сотрудников старше 30 лет 80% – высокой квалификации. Случайным образом выбирается один из сотрудников. Какова вероятность того, что этот сотрудник имеет низкую квалификацию?

Вариант 12

1. В вазочке 20 конфет. Из них 11 шоколадных и 9 карамелей. Наугад вынимаются 7 конфет. Какова вероятность того, что

а) все взятые конфеты – шоколадные;

б) среди взятых конфет 5 шоколадных?

2. В группе 25 студентов. Необходимо выбрать старосту группы, двух ответственных за культурно-массовую работу и 5 шефов в подшефную школу. Найти число вариантов такого выбора.

3. В видеотеке 12 дисков DVD.

а) Сколько существует способов их размещения;

б) сколько существует способов их размещения, если определенные 3 диска должны стоять вместе?

4. Сборная страны по футболу формируется из игроков 16 команд премьер-лиги. Наугад выбираются 4 игрока сборной. Найти вероятность того, что: а) эти 4 игрока – игроки команды «Зенит»;

б) эти 4 игрока – игроки одной из команд Премьер-лиги;

в) эти 4 игрока – игроки различных команд Премьер-лиги;

г) ни один из этих 4-х игроков не является игроком ЦСКА.

5. Из колоды в 52 карты извлекаются 6 карт. Какова вероятность того, что среди извлеченных карт:

а) окажется 1 король;

б) окажутся 3 туза;

в) не будет дам?

6. В цехе 5 станков 1-го типа, 9 станков 2-го типа и 6 станков 3-го типа. Вероятность того, что в течение рабочей смены выйдет из строя станок 1-го типа, равна 0, 1, 2-го типа – 0, 15, 3-го типа – 0, 09. Наугад выбирается один станок. Какова вероятность того, что в течение рабочей смены этот станок не выйдет из строя.

Вариант 13

1. В группе 25 студентов, из них 8 человек занимаются спортом. Наугад отбираются 6 студентов. Найти вероятность того, что:

а) все выбранные студенты занимаются спортом;

б) среди выбранных студентов 4 студента занимаются спортом.

2. В цветочном магазине составляется букет из 3-х роз, 4-х хризантем и 2-х гербер. Найти число вариантов составления букета, если имеются 20 роз, 30 хризантем и 10 гербер.

3. В фонотеке 13 дисков.

а) Сколько существует способов их размещения;

б) сколько существует способов их размещения, если определенные 3 диска должны находиться рядом?

4. В лесопарковой зоне установили 15 скворечников. Весной в эту зону прилетели 6 пар скворцов. Найти вероятность того, что:

а) все 6 пар будут претендовать на первый скворечник;

б) все 6 пар будут претендовать на один скворечник;

в) все пары будут претендовать на разные скворечники;

г) ни одна пара не захочет жить в 8-м скворечнике.

5. Из колоды в 52 карты извлекаются 4 карты. Найти вероятность того, что все извлеченные карты: а) одного цвета; б) одной масти.

6. В овощном магазине 45% арбузов из Астрахани, а остальные – из Волгограда. В среднем 80% астраханских и 70% волгоградских арбузов – спелые. Наудачу выбирается один арбуз. Какова вероятность того, что этот арбуз – спелый?

Вариант 14

1. В коробке 20 плиток шоколада по 40 гр. и 15 плиток по 50 гр. Наудачу извлекаются 6 плиток шоколада. Найти вероятность того, что:

а) все извлеченные плитки шоколада весят по 50 гр.;

б) среди извлеченных плиток шоколада только 2 весят по 50 гр.

2. В группе 25 студентов. Студенческий совет выделил на группу 5 билетов на фестиваль «Студенческая весна», 6 билетов на дискотеку и 3 билета в «Баскет – холл». Найти число вариантов распределения билетов.

3. На полке 12 книг.

а) Сколько существует способов их размещения;

б) сколько существует способов их размещения, если определенные 3 книги должны находиться рядом?

4. В городе 14 банков. 5 определенных выпускников института могут устроиться на работу в банки. Найти вероятность того, что:

а) эти 5 выпускников устроятся в «Промстройбанк»;

б) эти 5 выпускников устроятся в один банк;

в) эти 5 выпускников устроятся в разные банки;

г) ни один из этих выпускников не устроится в «Альфа-банк».

5. В колоде 36 карт. Колода делится пополам. Найти вероятность того, что:

а) в обеих частях вес карты одного цвета;

б) в одной половине 2 туза;

в) в одной половине 3 дамы.

6. Вероятность того, что экскурсия состоится 15 мая, равна 0, 3, 16 мая – 0, 3, а 17 мая – 0, 4. Вероятность хорошей погоды 15 мая равна 0, 5, 16 мая – 0, 6, а 17 мая 0, 4. Найти вероятность того, что во время экскурсии будет хорошая погода.

Вариант 15

1. Из полного комплекта шахмат шахматист наугад извлекает 6 фигур. Найти вероятность того, что:

а) все извлеченные фигуры – белые;

б) среди извлеченных фигур 3 фигуры – белые.

2. Швейная фабрика реализует свою продукцию в трех магазинах. Найти число способов распределения партии из 80 костюмов, если в первый магазин необходимо поставить 15 костюмов, во второй – 20, в третий –12 костюмов?

3. В видеотеке 10 дисков DVD.

а) Сколько существует способов их размещения;

б) сколько существует способов их размещения, если определенные 2 диска должны стоять вместе?

4. Семь студентов заочной формы обучения выполняют контрольную работу по вариантам. На выбор имеются 10 вариантов. Найти вероятность того, что:

а) все 7 студентов выполнят 2-й вариант;

б) все 7 студентов выполнят один вариант;

в) все они выполнят разные варианты;

г) ни один из этих 7 студентов не выполнит 9-й вариант.

5. Из колоды в 52 карты извлекаются 9 карт. Какова вероятность того, что среди извлеченных карт:

а) окажутся 2 короля;

б) окажутся 4 дамы;

в) не будет тузов?

6. В бригаде 6 токарей 4-го разряда, 3 токаря 5-го и 1 токарь 6-го разряда. Вероятность изготовления стандартной детали токарем 4-го разряда равна 0, 92, 5-го разряда – 0, 95, 6-го разряда – 0, 98. Какова вероятность того, что деталь, изготовленная этой бригадой, окажется стандартной?

Вариант 16

1. Из колоды в 36 карт извлекаются 7 карт. Какова вероятность того, что: а) они все не пиковой масти;

б) из них ровно 4 карты не пиковой масти?

2. В коллективе 20 человек. Составляется график дежурств. В первый день необходимо 3 человека, во второй – 5, в третий – 4 человека. Сколько
существует вариантов составления графика?

3. В фонотеке 8 дисков.

а) Сколько существует способов их размещения;

б) сколько существует способов их размещения, если определенные 4 диска должны находиться рядом?

4. На автобусном маршруте 17 остановок, включая начальную и конечную. На начальной остановке садятся 9 пассажиров. Найти вероятность того, что:

а) все пассажиры выйдут на 8 - ой остановке;

б) все пассажиры выйдут вместе;

в) все пассажиры выйдут на разных остановках;

г) никто не выйдет на 5 остановке.

5. Из колоды в 52 карты извлекаются 7 карт. Найти вероятность того, что:

а) все карты одного цвета;

б) все карты одной масти.

6. В урне 7 белых шаров и 10 красных. Один за другим вынимаются два шара. Найти вероятность того, что вторым по счету будет извлечен красный шар.

Вариант 17

1. В корзине 16 одинаковых по форме яблок. Из них 9 сладких. Наугад извлекаются 5 яблок. Какова вероятность того, что

а) все извлеченные яблоки кислые;

б) среди извлеченных яблок ровно 4 кислых?

2. В спортивной секции занимаются 10 девушек и 8 юношей. Необходимо выставить команду из 5 девушек и 2 юношей. Найти число способов формирования команды.

3. На полке 8 книг.

а) сколько существует способов их размещения;

б) сколько существует способов их размещения, если определенные две книги должны находиться рядом?

4. В доме 9 этажей. В лифт входят 5 пассажиров. Найти вероятность того, что:

а) все пассажиры выйдут на 5 этаже,

б) все пассажиры выйдут вместе;

в) все пассажиры выйдут на разных этажах;

г) никто не выйдет на 7 этаже.

5. В колоде 36 карт. Колода делится пополам. Найти вероятность того, что:

а) в обеих частях вес карты одного цвета;

б) в одной половине 2 туза;

в) в одной половине 3 дамы.

6. На складе готовой продукции 70% изделий, изготовленных на станках 1-го типа, а остальные изготовлены на станках 2-го типа. Известно, что среди изделий, изготовленных на станках 1-го типа, брак составляет 6%, а на станках 2-го типа – 4%. Наугад извлекается одно изделие. Найти вероятность того, что это изделие – стандартное.

Вариант 18

1. В урне 14 белых и 11 черных шаров. Наугад извлекаются 8 шаров. Найти вероятность того, что:

а) все извлеченные шары – черные;

б) среди извлеченных ровно 2 черных шара.

2. В роте 5 офицеров, 8 сержантов и 70 рядовых. Найти число вариантов выбора разведывательного дозора, состоящего из2 офицеров, 3 сержантов и 15 рядовых.

3. В видеотеке 9 дисков DVD.

а) сколько существует способов их размещения;

б) сколько существует способов их размещения, если определенные 4 диска должны стоять вместе?

4. В электричке 10 вагонов. 7 туристов договорились встретиться в электричке. Какова вероятность того, что:

а) все сядут в первый вагон;

б) все сядут в один вагон;

в) все сядут в разные вагоны;

г) никто не сядет в третий вагон?

5. Из колоды в 52 карты извлекаются 10 карт. Какова вероятность того, что среди извлеченных карт:

а) окажутся 4 короля;

б) окажутся 3 туза;

в) не будет дам?

6. В футбольной команде два лучших пенальтиста. Вероятность забить гол с пенальти для одного из них равна 0, 8, а для другого – 0, 75. Судья назначил пенальти. Найти вероятность того, что гол будет забит.

Вариант 19

1. В лотерейном барабане 40 билетов. Из них 15 с выигрышем. Наугад извлекаются 10 билетов. Найти вероятность того, что:

а) они все невыигрышные;

б) среди них ровно 4 невыигрышных.

2. В городе 9 архитектурных памятников, 6 крупных магазинов и 4 площадок обзора. Сколько можно составить туристических маршрутов по городу с посещением 5 архитектурных памятников, 2 магазинов и 2 площадок обзора?

3. В фонотеке 9 дисков.

а) Сколько существует способов их размещения;

б) сколько существует способов их размещения, если определенные 3 диска должны находиться рядом?

4. В спортлагере 6 корпусов. 3 студента из одной группы получили путевки в спортлагерь. Найти вероятность того, что:

а) всех поселят в корпусе № 4;

б) всех поселят в одном корпусе;

в) все будут поселены в разных корпусах;

г) никто не будет поселен вкорпусе № 2.

5. Из колоды в 52 карты извлекаются 8 карт. Найти вероятность того, что:

а) все извлеченные карты одного цвета;

б) все извлеченные карты одной масти.

6. В группе 25 студентов, из них 17 девушек и 8 юношей. На занятии по математике преподаватель поочередно вызывает к доске двух студентов. Найти вероятность того, что вторым по счету будет вызван к доске юноша.

Вариант 20

1. В ящике 18 деталей, из них 10 стандартных. Для контроля берутся 7 деталей. Какова вероятность того, что

а) все взятые детали нестандартны;

б) из них ровно 3 детали – нестандартны?

2. В книжном магазине имеются книги в подарочном исполнении: 25 книг – проза, 15 – поэзия, 7 – альбомы. Формируется подарочный набор: проза – 3 книги, поэзия – 2 книги и 1 альбом. Найти число вариантов подарочных наборов.

3. На полке 9 книг.

а) Сколько существует способов их размещения;

б) сколько существует способов их размещения, если определенные 3 книги должны находиться рядом?

4. Случайным образом отобрали 5 студентов. Какова вероятность того, что: а) у всех день рождения в апреле,

б) у всех день рождения в одном месяце;

в) у всех дни рождения в разные месяцы;

г) из них никто не родился в марте?

5. В колоде 36 карт. Колода делится пополам. Найти вероятность того, что:

а) в обеих частях все карты одного цвета;

б) в одной половине 1 туз;

в) в одной половине 2 дамы.

6. Две фирмы изготавливают однотипную продукцию и реализуют ее через одну и ту же торговую точку. 80% продукции первой фирмы и 70% продукции второй фирмы – высшего сорта. Первая фирма поставила в эту торговую точку 20 единиц этой продукции, а вторая фирма поставила 15 единиц. Наугад выбирается одно изделие этого типа. Найти вероятность того, что это изделие – высшего сорта.

Вариант 21

1. В магазине 30 продавцов, из них 20 женщин. В утреннюю смену выходят 9 человек. Найти вероятность того, что среди них

а) все мужчины;

б) среди них ровно трое мужчин.

2. В галантерейном отделе магазина 8 типов галстуков, 7 видов мужского парфюма, 10 типов носовых платков. Ко дню «Защитника Отечества»
формируется подарочный набор из 1 галстука, 2 видов парфюма и 4 видов
платков. Найти число вариантов подарочных наборов.

3. В видеотеке 8 дисков DVD.

а) Сколько существует способов их размещения;

б) сколько существует способов их размещения, если определенные 3 диска должны стоять вместе?

4. Имеются 9 лунок. 5 шариков случайным образомразбрасываются по лункам. Найти вероятность того, что:

а) все шарики окажутся в 4-й лунке;

б) все шарики попадут в одну лунку;

в) все шарики будут в разных лунках;

г) ни один шарик не попадет в 6-ю лунку.

5. Из колоды в 52 карты извлекаются 12 карт. Какова вероятность того, что среди извлеченных карт:

а) окажутся 3 короля;

б) окажется 1 туз;

в) не будет дам?

6. В первой коробке 9 белых и 5 черных шаров, а во второй 7 белых и 6 черных шаров. Из первой коробки наугад извлекается один шар и переклады-вается во вторую, после чего из второй коробки так же наугад берется один шар и перекладывается в первую коробку. Какова вероятность того, что после этого состав шаров в каждой коробке окажется прежним?

Вариант 22

1. На 16 карточках написано по одной букве русского алфавита. Из них гласных букв 7. Наудачу извлекают 4 карточки. Найти вероятность того, что:

а) все извлеченные буквы – согласные;

б) среди извлеченных ровно три согласных.

2. В военкомат прибыла группа из 50 призывников. В первую очередь необходимо отобрать 8 человек в танкисты, 7 человек в ВДВ и 3 человека на флот. Найти число вариантов отбора.

3. В фонотеке 11 дисков.

а) Сколько существует способов их размещения;

б) сколько существует способов их размещения, если определенные 2 диска должны находиться рядом?

4. В городке 9 школ. Случайным образом отбираются 5 школьников. Найти вероятность того, что:

а) все эти школьники учатся в 3-й школе;

б) все эти школьники учатся в одной школе;

в) ни один из них не обучается в 5-й школе;

г) все эти школьники учатся в разных школах.

5. Из колоды в 52 карты извлекаются 9 карт. Найти вероятность того, что:

а) все извлеченные карты одного цвета;

б) все извлеченные карты одной масти.

6. В среднем 90% телевизоров марки “Samsung”, 80% телевизоров марки “Sony” и 88% телевизоров марки “Toshiba” выдерживают гарантийный срок без поломки. В магазин завезли 15 телевизоров марки “Samsung”, 12 – марки “Sony” и 13 – марки “Toshiba”. Случайным образом выбирается один из телевизоров. Какова вероятность того, что этому телевизору не потребуется гарантийный ремонт?

Вариант 23

1. В ящике 18 деталей, из них 8 деталей – окрашены. Сборщик наудачу извлекает 7 деталей. Найти вероятность того, что

а) все извлеченные детали не окрашены;

б) среди извлеченных деталей не окрашены ровно 3 детали.

2. На курсе 150 студентов. Поступили заявки на производственную практику: в Ульяновск – 12 человек, в Самару – 10, в Челябинск – 15 человек. Найти число вариантов распределения студентов на практику.

3. На полке 10 книг.

а) Сколько существует способов их размещения;

б) сколько существует способов их размещения, если определенные 4 книги должны находиться рядом?

4. В саду расцвели 8 яблонь. 6 пчелок залетели в сад. Найти вероятность того, что:

а) все пчелы сядут на 5-ю яблоню;

б) все пчелы сядут на одну яблоню;

в) ни одна пчела не сядет на 4-ю яблоню;

г) все пчелы сядут на разные яблони;

5. В колоде 36 карт. Колода делится пополам. Найти вероятность того, что:

а) в обеих частях вес карты одного цвета;

б) в одной половине 4 туза;

в) в одной половине 1 дама.

6. За одно дежурство инспектор ГИБДД накладывает взыскания в среднем на 15% водителей легковых автомобилей, 12 % водителей грузовиков и 10% водителей других транспортных средств, проходящих мимо поста ГИБДД. Инспектор случайным образом останавливает одну машину. Найти вероятность того, что на ее водителя не будет наложено взыскание, если за одно дежурство мимо инспектора проходят в среднем 900 легковых автомобилей, 400 грузовиков и 500 других транспортных средств.

Вариант 24

1. В пенале 15 ручек, из них 7 гелиевых и 8 шариковых. Наугад извлекаются 5 ручек. Какова вероятность того, что:

а) все извлеченные ручки – шариковые;

б) среди извлеченных ручек шариковых – ровно 4?

2. Рота из 150 человек успешно выполнила правительственное задание. Командование выделило следующие награды: 1 звание «Герой России», 5 ордена «Красная звезда», 8 медалей «За отвагу». Найти число вариантов награждения.

3. В видеотеке 11 дисков DVD.

а) Сколько существует способов их размещения;

б) сколько существует способов их размещения, если определенные 2 диска должны стоять вместе?

4. Стеллаж состоит из 9 полок. 4 книг надо поместить на полках стеллажа. Найти вероятность того, что:

а) все эти книги окажутся на 3-й полке;

б) все эти книги окажутся на одной полке;

в) все эти книги окажутся на разных полках;

г) ни одна из этих книг не окажется на 5-й полке.

5. Из колоды в 52 карты извлекаются 9 карт. Какова вероятность того, что среди извлеченных карт: а) окажутся 2 короля; б) окажется 1 туз; в) не будет дам?

6. В корзине 12 красных, 15 зеленых и 13 желтых яблок, по форме неразличимых. 60% красных, 70% зеленых и 50% желтых яблок высокого качества. Наугад извлекается одно яблоко. Найти вероятность того, что оно – высокого качества.

Вариант 25

Предыдущая 123 4 5 6 7 Следующая