ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Понятие функции нескольких переменных
1. Произвольный упорядоченный набор из
действительных чисел
обозначается
и называется точкой
-мерного арифметического пространства
сами числа
называются координатами точки ![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza5/215532035816.files/image013.gif)
Пусть
- произвольное множество точек
-мерного арифметического пространства. Если каждой точке
поставлено в соответствие некоторое действительное число
то говорят, что на множестве
задана числовая функция от
переменных
Множество
называется областью определения функции ![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza5/215532035816.files/image028.gif)
Рассмотрим частный случай, когда
. Пусть дано множество
, и пусть указано правило, по которому каждой точке
соответствует некоторое число
. В этом случае говорят, что задана функция
с областью определения
и областью значений
. При этом
и
называют независимыми переменными (аргументами), а
– зависимой переменной (функцией).
Функцию
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza5/215532035816.files/image038.gif)
часто записывают в виде «
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza5/215532035816.files/image052.gif)
». Схематично функция может быть изображена так, как это показано на рисунке.
Пример
На множестве
определим функцию
; тогда ее областью значений является отрезок
. Эту функцию можно определить, конечно, и на всей плоскости
; в этом случае имеем
и
.
Частное значение функции
при
обычно записывают в виде
или
.
Типовой пример
Найти область определения функции
. Найти
.
► Областью определения функции является решение неравенства
или
. Последнее неравенство определяет круг радиуса 2 с центром в точке 0(0; 0).
.◄
Графиком этой функции называется множество точек пространства
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza5/215532035816.files/image086.gif)
представляющее собой некоторую поверхность в ![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza5/215532035816.files/image088.gif)
При построении графика функции часто пользуются методом сечений.
Пример
Построить график функции
и найти
.
► Воспользуемся методом сечений.
– в плоскости
– парабола.
– в плоскости
–парабола.
– в плоскости
– окружность.
Искомая поверхность – параболоид вращения.◄
В некоторых случаях наглядное представление о функции двух или трёх переменных может дать картина её линий уровня.
Линией уровня функции
называется множество точек М
плоскости Оху, удовлетворяющих равенству,
где с – константа.
Другими словами, линия уровня есть кривая, во всех точках которой функция
принимает одно и то же постоянное значение с. Геометрически линии уровня получаются как проекции на плоскость Oxy линии пересечения графика функции и горизонтальной плоскости
.
Рис. 2
Пример
Линиями уровня функции
являются окружности
, то есть линии пересечения поверхности
с плоскостями
(рис. 2).
Линии уровня используются в картографии. Так, например, на топографических картах рисуют линии равной высоты над уровнем моря, на метеорологических картах изображают линии одинакового давления – изобары.
По линиям уровня, построенным для некоторой рассматриваемой функции с одинаковыми промежутками между значениями
, можно получить представление о графике функции (то есть о форме поверхности). В тех местах, где линии располагаются «гуще», функция при переходе от одного значения с к другому меняется быстрее, чем там, где линии распределены реже.
Расстоянием между двумя произвольными точками
и
(евклидова) пространства
называется число
.
Множество точек
называется открытым кругом радиуса
с центром в точке
,
– окружностьюрадиуса
с центром в точке
.
Открытый круг радиуса
с центром в точке
называется
-окрестностью точки
.
Определение. Точка
называется внутренней точкой множества
, если существует
-окрестность
точки
, целиком принадлежащая множеству
(т.е.
)
Точка
называется граничной точкоймножества
, если в любой ее
-окрестности содержатся точки, как принадлежащие множеству
, так и не принадлежащие ему. Граничная точка множества может как принадлежать этому множеству, так и не принадлежать ему.
Множество
называется открытым, если все его точки – внутренние.
Множество
называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки. Множество всех граничных точек множества
называется его границей (и часто обозначается символом
). Заметим, что множество
является замкнутым и называется замыканием множества
.
Пример
Если
, то
. При этом
.
Точка
называется предельной точкой множества
, если в любой
-окрестности точки
содержатся точки множества
, отличные от
.
Образно говоря, точка
называется предельной точкоймножества
, если «к точке
можно подойти сколь угодно близко, идя по точкам множества
и не наступая на саму точку
». Предельная точка множества может принадлежать, а может не принадлежать этому множеству.
Пример
Множество
совпадает с множеством своих предельных точек. Множество
имеет единственную предельную точку
.
Предел функции
Будем говорить, что последовательность точек
сходится при
к точке
, если
при
.
В этом случае точку
называют пределом указанной последовательности и пишут:
при
.
Легко показать, что
тогда и только тогда, когда одновременно
,
(т.е. сходимость последовательности точек пространства
эквивалентна покоординатной сходимости ).
Пусть
и
– предельная точка множества
. Число
называют пределом функции
при
, если для
такое, что
, как только
. В этом случае пишут
или
при
.
При кажущейся полной аналогии понятий предела функций одной и двух переменных существует глубокое различие между ними. В случае функции одной переменной для существования предела в точке необходимо и достаточно равенство лишь двух чисел – пределов по двум направлениям: справа и слева от предельной точки
. Для функции двух переменных стремление к предельной точке
на плоскости
может происходить по бесконечному числу направлений (и необязательно по прямой), и потому требование существования предела у функции двух (или нескольких) переменных «жестче» по сравнению с функцией одной переменной.
Типовой пример
Найти
.
► Пусть стремление к предельной точке
происходит по прямой
. Тогда
.
Предел, очевидно, не существует, так как число
зависит от
. ◄
Типовой пример
Найти
.
► По любой прямой
предел один и тот же:
.
С другой стороны, пусть стремление к предельной точке происходит по кривой
. Тогда
;
следовательно, предел не существует. ◄
Сформулируем понятие предела функции для случая, когда предельная точка имеет бесконечные координаты. Ограничимся случаем, когда
,
(остальное – по аналогии).
Число
называют пределом функции
при
и
, если для
такое, что из неравенств
и
следует неравенство
. Этот факт коротко записывают так:
.
ТЕОРЕМА 1. Если существуют
и
, то:
;
;
,
где предельная точка
может быть конечной или бесконечной.
Справедливы аналоги и других теорем о свойствах пределов функций одной переменной.
Непрерывность функции
Пусть дана функция
с областью определения
и пусть
– предельная точка множества
.
Говорят, что функция
непрерывна в точке
, если:
1)
;
2)
, т.е.
.
Сформулируем определение непрерывности в эквивалентной форме. С этой целью обозначим
,
и
.
Говорят, что функция
непрерывна в точке
, если выполняется равенство
.
ТЕОРЕМА 2. Если функции
и
непрерывны в точке
, то этим же свойством обладают функции
,
, а если
, то и функция
.
Если мы хотим ввести понятие непрерывной функции на множестве, как функции, непрерывной в каждой точке множества, то само определение непрерывности в точке требует, чтобы каждая точка множества принадлежала ему (либо с некоторой своей
-окрестностью, либо как его граничная точка).
Множество
называется областью, если оно:
1) является открытым множеством, т.е. содержит каждую свою точку вместе с некоторой своей
-окрестностью; 2) является линейно связным множеством, т.е. для любых двух различных точек
существует ломаная, соединяющая
и
и целиком лежащая в
.
Если
– область, то множество
называют замкнутой областью.
Говорят, что функция
непрерывна в области
(или в замкнутой области
), если
непрерывна в каждой точке этого множества.
Частные производные
Пример
Найти частные производные
и
если
, ![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza5/215532035816.files/image563.gif)
► Имеем
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza5/215532035816.files/image567.gif)
,
,
;
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza5/215532035816.files/image577.gif)
◄
Пример
Найти экстремум функции
при условии, что х и у связаны соотношением:
. Геометрически задача означает следующее: на эллипсе
, полученном при пересечении цилиндра
плоскостью
, требуется найти максимальное или минимальное значение аппликаты
.
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza5/215532035816.files/image952.gif)
Эту задачу можно решать так: из уравнения
находим
. Подставляя найденное значение у в уравнение плоскости, получаем функцию одной переменной х: ![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza5/215532035816.files/image956.gif)
Тем самым задача о нахождении экстремума функции
при условии, что
, свелась к задаче нахождения экстремума функции одной переменной
, на отрезке
.
Геометрически задача означает следующее: на эллипсе
, полученном при пересечении цилиндра
плоскостью
, требуется найти максимальное или минимальное значение аппликаты
(рис.9). Эту задачу можно решать так: из уравнения
находим
. Подставляя найденное значение у в уравнение плоскости, получаем функцию одной переменной х: ![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza5/215532035816.files/image956.gif)
Тем самым задача о нахождении экстремума функции
при условии, что
, свелась к задаче нахождения экстремума функции одной переменной
, на отрезке
.
Итак, задача отыскания условного экстремума – это задача о нахождении экстремума целевой функции
, при условии, что переменные х и у подчиняются ограничению
, называемому уравнением связи.
Будем говорить, что точка
, удовлетворяющая уравнению связи, является точкой локального условного максимума (минимума), если существует окрестность
такая, что для любых точек
, координаты которых удовлетворяют уравнению связи, выполнено неравенство
.
Если из уравнения связи можно найти выражение для у, то, подставляя это выражение в исходную функцию, превращаем последнюю в сложную функцию одной переменной х.
Общим методом решения задачи на условный экстремум является метод множителей Лагранжа. Составим вспомогательную функцию,
где
─ некоторое число. Это функция называется функцией Лагранжа, а
─ множителем Лагранжа. Таким образом, задача нахождения условного экстремума свелась к нахождению точек локального экстремума для функции Лагранжа. Для нахождения точек возможного экстремума надо решить систему из 3-х уравнений с тремя неизвестными х, у и.
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza5/215532035816.files/image985.gif)
Затем следует воспользоваться следующим достаточным условием экстремума.
ТЕОРЕМА. Пусть точка
является точкой возможного экстремума для функции Лагранжа. Предположим, что в окрестности точки
существуют непрерывные частные производные второго порядка функций
и
. Обозначим
Тогда, если
, то
─ точка условного экстремума функции
при уравнении связи
при этом, если
, то
─ точка условного минимума, если
, то
─ точка условного максимума.
Пример
Дана функция
, точка A(1, 1) и вектор
. Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора
.
► Частные производные данной функции в точке
:
;
.
Тогда вектор-градиент функции в этой точке:
. Вектор-градиент еще можно записать с помощью разложения по векторам
и
:
. Производная функции
по направлению вектора
:
. Итак,
,
.◄
Метод наименьших квадратов.
В различных практических исследованиях приходится использовать формулы, полученные на основании опыта, наблюдения. Один из лучших способов получения таких формул – метод наименьших квадратов.
Пусть между переменными величинами
и
имеется или предполагается некоторая функциональная зависимость
, подлежащая определению. С этой целью выполнены наблюдения, а результаты их представлены в таблице в виде n пар соответствующих значений переменных
и
:
Эти данные можно представить графически, если в прямоугольной системе координат построить точки, координаты которых – пары соответствующих значений переменных
и
, т.е. точки
.
Графически это может выглядеть так:
,
или так:
,
а может быть и как-то иначе.
1. Предположим что анализ опытных данных (в том числе и расположение точек
на плоскости) привел к выводу, что между переменными
и
существует линейная зависимость
, (1)
которая графически изображается прямой на плоскости.
Задача сводится к отысканию значений параметров a, b.
Для этого составим функцию
- сумма квадратов*) отклонений предполагаемых значений (аналитических) от фактических.
Исследуем эту функцию на экстремум. А точнее, по понятным причинам, нужно найти точки минимума.
Необходимое условие существования экстремума
,
т.е.
или
. (2)
Решая эту систему линейных алгебраических уравнений относительно
и
получаем их значения, а, следовательно, получаем аналитический вид линейной зависимости исследуемых величин.
Пример
Данные о стоимости основных производственных фондов 5 предприятий
(млн. руб.) и среднесуточной переработки свеклы
(тыс. ц.) приведены в таблице:
Предполагая, что между переменными
и
существует линейная зависимость, необходимо: а) найти, пользуясь способом наименьших квадратов, параметры этой зависимости; б) определить среднесуточную переработку свеклы предприятием, имеющим стоимость основных фондов 9 млн руб.
► Результаты вспомогательных вычислений для получения коэффициентов системы нормальных уравнений (2) поместим в следующей таблице:
Следовательно, система нормальных уравнений при
=5 ( число
пар значений переменных) имеет вид:
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza5/215532035816.files/image1142.gif)
Решая ее, найдем:
, а искомая функциональная зависимость такова:
.
Среднесуточную переработку свеклы предприятием, имеющим стоимость основных фондов 9 млн. руб. найдем, подставив значение
в найденное уравнение зависимости между
и
:
(тыс. ц. ) ◄
Типовой пример
Экспериментально получены пять значений искомой функции
при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию
в виде
.
.
► Запишем нормальные уравнения для коэффициентов
и
:
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza5/215532035816.files/image1161.gif)
Составим вспомогательную таблицу:
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza5/215532035816.files/image1163.gif)
Подставим числовые значения в нормальные уравнения:
. Решив систему, получим
;
. Искомая функция имеет вид:
. В последнем столбце таблицы запишем значения
, вычисленные по полученной формуле
.◄
2. Если при нахождении
усматривается квадратичная зависимость, то ее следует искать в виде
.
Тогда
.
Необходимое условие существования экстремума
т.е.
.
Решив эту систему уравнений, получаем значения
. А, следовательно, получаем аналитический вид квадратичной зависимости у от х.
Типовой пример
Результаты наблюдений величины у от х:
х
| -2
| -1, 5
| -1
| -0, 5
| 1, 5
| 2, 5
|
| 3, 5
|
у
| 8, 8
| 8, 1
|
| 0, 5
| -4
| -7
| -8
| -9
|
Графически:
Определить: а) линейную зависимость у от х;
б) квадратичную зависимость у от х;
в) каково возможное значение у при х=6, 3.
а) Линейную зависимость ищем в виде
.
Для определения а, b следует составить и решить систему уравнений
.
Система уравнений имеет вид:
.
Решая ее любым известным способом, получаем a=-3, 2, b=0, 972.
Значит вид линейной зависимости
.
Графически:
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza5/215532035816.files/image1196.gif)
б) Для получения квадратичной зависимости поступаем аналогично. Вид квадратичной зависимости
.
Для нахождения коэффициентов a, b, c следует составить систему уравнений
По данным наблюдений получаем систему уравнений:
.
Решив эту систему, получаем аналитический вид квадратичной зависимости исследуемого процесса
.
Графически:
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza5/215532035816.files/image1203.gif)
Судите сами, какая из полученных кривых точнее представляет изучаемый процесс.
в) При х=6, 3 при линейной зависимости значение у=-20, 466; при квадратичной зависимости у=-8, 95.
Распространяя действия полученных функций на всю область определения, можно интерполировать, экстраполировать исследуемый процесс.
Существенная разница результатов при экстраполировании в предыдущем примере означает лишь то, что нужны другие критерии (а не на первый взгляд из графика) для выяснения вида функции исследуемого процесса.
3. Пусть зависимость между переменными
и
выражается показательной функцией
(3)
Логарифмируя обе части этого уравнения, получим
.
Следовательно, между значениями переменной
и логарифмами
значений переменной
существует линейная зависимость с параметрами
и
. Поэтому, если воспользоваться способом наименьших
квадратов, то логарифмы
и
параметров функции (3) определяются из системы уравнений
, (4)
которая получена из системы (2) заменой в ней
и
их логарифмами,
а
на
.
Типовой пример
Популярное: