ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Понятие функции нескольких переменных

1. Произвольный упорядоченный набор из действительных чисел обозначается и называется точкой -мерного арифметического пространства сами числа называются координатами точки

Пусть - произвольное множество точек -мерного арифметического пространства. Если каждой точке поставлено в соответствие некоторое действительное число то говорят, что на множестве задана числовая функция от переменных Множество называется областью определения функции

Рассмотрим частный случай, когда . Пусть дано множество , и пусть указано правило, по которому каждой точке соответствует некоторое число . В этом случае говорят, что задана функция с областью определения и областью значений . При этом и называют независимыми переменными (аргументами), а – зависимой переменной (функцией).

Функцию

часто записывают в виде «

». Схематично функция может быть изображена так, как это показано на рисунке.

Пример

На множестве определим функцию ; тогда ее областью значений является отрезок . Эту функцию можно определить, конечно, и на всей плоскости ; в этом случае имеем и .

Частное значение функции при обычно записывают в виде

или .

Типовой пример

Найти область определения функции . Найти .

► Областью определения функции является решение неравенства или . Последнее неравенство определяет круг радиуса 2 с центром в точке 0(0; 0). .◄

Графиком этой функции называется множество точек пространства

представляющее собой некоторую поверхность в

При построении графика функции часто пользуются методом сечений.

Пример

Построить график функции и найти .

► Воспользуемся методом сечений.

– в плоскости – парабола.

– в плоскости –парабола.

– в плоскости – окружность.

Искомая поверхность – параболоид вращения.◄

В некоторых случаях наглядное представление о функции двух или трёх переменных может дать картина её линий уровня.

Линией уровня функции называется множество точек М плоскости Оху, удовлетворяющих равенству, где с – константа.

Другими словами, линия уровня есть кривая, во всех точках которой функция принимает одно и то же постоянное значение с. Геометрически линии уровня получаются как проекции на плоскость Oxy линии пересечения графика функции и горизонтальной плоскости .

Рис. 2

Пример

Линиями уровня функции являются окружности , то есть линии пересечения поверхности с плоскостями (рис. 2).

Линии уровня используются в картографии. Так, например, на топографических картах рисуют линии равной высоты над уровнем моря, на метеорологических картах изображают линии одинакового давления – изобары.

По линиям уровня, построенным для некоторой рассматриваемой функции с одинаковыми промежутками между значениями , можно получить представление о графике функции (то есть о форме поверхности). В тех местах, где линии располагаются «гуще», функция при переходе от одного значения с к другому меняется быстрее, чем там, где линии распределены реже.

Расстоянием между двумя произвольными точками и (евклидова) пространства называется число

Множество точек называется открытым кругом радиуса с центром в точке , – окружностьюрадиуса с центром в точке .

Открытый круг радиуса с центром в точке называется -окрестностью точки .

Определение. Точка называется внутренней точкой множества , если существует -окрестность точки , целиком принадлежащая множеству (т.е. )

Точка называется граничной точкоймножества , если в любой ее -окрестности содержатся точки, как принадлежащие множеству , так и не принадлежащие ему. Граничная точка множества может как принадлежать этому множеству, так и не принадлежать ему.

Множество называется открытым, если все его точки – внутренние.

Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки. Множество всех граничных точек множества называется его границей (и часто обозначается символом ). Заметим, что множество является замкнутым и называется замыканием множества .

Пример

Если , то . При этом .

Точка называется предельной точкой множества , если в любой -окрестности точки содержатся точки множества , отличные от .

Образно говоря, точка называется предельной точкоймножества , если «к точке можно подойти сколь угодно близко, идя по точкам множества и не наступая на саму точку ». Предельная точка множества может принадлежать, а может не принадлежать этому множеству.

Пример

Множество совпадает с множеством своих предельных точек. Множество имеет единственную предельную точку .

Предел функции

Будем говорить, что последовательность точек сходится при к точке , если при .

В этом случае точку называют пределом указанной последовательности и пишут: при .

Легко показать, что тогда и только тогда, когда одновременно , (т.е. сходимость последовательности точек пространства эквивалентна покоординатной сходимости ).

Пусть и – предельная точка множества . Число называют пределом функции при , если для такое, что , как только . В этом случае пишут

или при .

При кажущейся полной аналогии понятий предела функций одной и двух переменных существует глубокое различие между ними. В случае функции одной переменной для существования предела в точке необходимо и достаточно равенство лишь двух чисел – пределов по двум направлениям: справа и слева от предельной точки . Для функции двух переменных стремление к предельной точке на плоскости может происходить по бесконечному числу направлений (и необязательно по прямой), и потому требование существования предела у функции двух (или нескольких) переменных «жестче» по сравнению с функцией одной переменной.

Типовой пример

Найти .

► Пусть стремление к предельной точке происходит по прямой . Тогда

Предел, очевидно, не существует, так как число зависит от . ◄

Типовой пример

Найти .

► По любой прямой предел один и тот же:

С другой стороны, пусть стремление к предельной точке происходит по кривой . Тогда

;

следовательно, предел не существует. ◄

Сформулируем понятие предела функции для случая, когда предельная точка имеет бесконечные координаты. Ограничимся случаем, когда , (остальное – по аналогии).

Число называют пределом функции при и , если для такое, что из неравенств и следует неравенство . Этот факт коротко записывают так:

ТЕОРЕМА 1. Если существуют и , то:

;

где предельная точка может быть конечной или бесконечной.

Справедливы аналоги и других теорем о свойствах пределов функций одной переменной.

Непрерывность функции

Пусть дана функция с областью определения и пусть – предельная точка множества .

Говорят, что функция непрерывна в точке , если:

1) ;

2) , т.е. .

Сформулируем определение непрерывности в эквивалентной форме. С этой целью обозначим , и .

Говорят, что функция непрерывна в точке , если выполняется равенство

ТЕОРЕМА 2. Если функции и непрерывны в точке , то этим же свойством обладают функции , , а если , то и функция .

Если мы хотим ввести понятие непрерывной функции на множестве, как функции, непрерывной в каждой точке множества, то само определение непрерывности в точке требует, чтобы каждая точка множества принадлежала ему (либо с некоторой своей -окрестностью, либо как его граничная точка).

Множество называется областью, если оно:

1) является открытым множеством, т.е. содержит каждую свою точку вместе с некоторой своей -окрестностью; 2) является линейно связным множеством, т.е. для любых двух различных точек существует ломаная, соединяющая и и целиком лежащая в .

Если – область, то множество называют замкнутой областью.

Говорят, что функция непрерывна в области (или в замкнутой области ), если непрерывна в каждой точке этого множества.

Частные производные

Пример

Найти частные производные и если ,

► Имеем

, , ;

◄

Пример

Найти экстремум функции при условии, что х и у связаны соотношением: . Геометрически задача означает следующее: на эллипсе , полученном при пересечении цилиндра плоскостью , требуется найти максимальное или минимальное значение аппликаты .

Эту задачу можно решать так: из уравнения находим . Подставляя найденное значение у в уравнение плоскости, получаем функцию одной переменной х:

Тем самым задача о нахождении экстремума функции при условии, что , свелась к задаче нахождения экстремума функции одной переменной , на отрезке .

Геометрически задача означает следующее: на эллипсе , полученном при пересечении цилиндра плоскостью , требуется найти максимальное или минимальное значение аппликаты (рис.9). Эту задачу можно решать так: из уравнения находим . Подставляя найденное значение у в уравнение плоскости, получаем функцию одной переменной х:

Итак, задача отыскания условного экстремума – это задача о нахождении экстремума целевой функции , при условии, что переменные х и у подчиняются ограничению , называемому уравнением связи.

Будем говорить, что точка , удовлетворяющая уравнению связи, является точкой локального условного максимума (минимума), если существует окрестность такая, что для любых точек , координаты которых удовлетворяют уравнению связи, выполнено неравенство .

Если из уравнения связи можно найти выражение для у, то, подставляя это выражение в исходную функцию, превращаем последнюю в сложную функцию одной переменной х.

Общим методом решения задачи на условный экстремум является метод множителей Лагранжа. Составим вспомогательную функцию, где ─ некоторое число. Это функция называется функцией Лагранжа, а ─ множителем Лагранжа. Таким образом, задача нахождения условного экстремума свелась к нахождению точек локального экстремума для функции Лагранжа. Для нахождения точек возможного экстремума надо решить систему из 3-х уравнений с тремя неизвестными х, у и.

Затем следует воспользоваться следующим достаточным условием экстремума.

ТЕОРЕМА. Пусть точка является точкой возможного экстремума для функции Лагранжа. Предположим, что в окрестности точки существуют непрерывные частные производные второго порядка функций и . Обозначим

Тогда, если , то ─ точка условного экстремума функции при уравнении связи при этом, если , то ─ точка условного минимума, если , то ─ точка условного максимума.

Пример

Дана функция , точка A(1, 1) и вектор . Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора .

► Частные производные данной функции в точке :

; .

Тогда вектор-градиент функции в этой точке: . Вектор-градиент еще можно записать с помощью разложения по векторам и :

. Производная функции по направлению вектора :

. Итак, , .◄

Метод наименьших квадратов.

В различных практических исследованиях приходится использовать формулы, полученные на основании опыта, наблюдения. Один из лучших способов получения таких формул – метод наименьших квадратов.

Пусть между переменными величинами и имеется или предполагается некоторая функциональная зависимость , подлежащая определению. С этой целью выполнены наблюдения, а результаты их представлены в таблице в виде n пар соответствующих значений переменных и :

			………		………..
			………		………..

Эти данные можно представить графически, если в прямоугольной системе координат построить точки, координаты которых – пары соответствующих значений переменных и , т.е. точки .

Графически это может выглядеть так:

или так:

а может быть и как-то иначе.

1. Предположим что анализ опытных данных (в том числе и расположение точек на плоскости) привел к выводу, что между переменными и существует линейная зависимость

, (1)

которая графически изображается прямой на плоскости.

Задача сводится к отысканию значений параметров a, b.

Для этого составим функцию - сумма квадратов*) отклонений предполагаемых значений (аналитических) от фактических.

Исследуем эту функцию на экстремум. А точнее, по понятным причинам, нужно найти точки минимума.

Необходимое условие существования экстремума

т.е.

или . (2)

Решая эту систему линейных алгебраических уравнений относительно и получаем их значения, а, следовательно, получаем аналитический вид линейной зависимости исследуемых величин.

Пример

Данные о стоимости основных производственных фондов 5 предприятий (млн. руб.) и среднесуточной переработки свеклы (тыс. ц.) приведены в таблице:

Предполагая, что между переменными и существует линейная зависимость, необходимо: а) найти, пользуясь способом наименьших квадратов, параметры этой зависимости; б) определить среднесуточную переработку свеклы предприятием, имеющим стоимость основных фондов 9 млн руб.

► Результаты вспомогательных вычислений для получения коэффициентов системы нормальных уравнений (2) поместим в следующей таблице:


I
S

Следовательно, система нормальных уравнений при =5 ( число

пар значений переменных) имеет вид:

Решая ее, найдем: , а искомая функциональная зависимость такова: .

Среднесуточную переработку свеклы предприятием, имеющим стоимость основных фондов 9 млн. руб. найдем, подставив значение в найденное уравнение зависимости между и :

(тыс. ц. ) ◄

Типовой пример

Экспериментально получены пять значений искомой функции при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию в виде .

► Запишем нормальные уравнения для коэффициентов и :

Составим вспомогательную таблицу:

Подставим числовые значения в нормальные уравнения:

. Решив систему, получим ; . Искомая функция имеет вид: . В последнем столбце таблицы запишем значения , вычисленные по полученной формуле .◄

2. Если при нахождении усматривается квадратичная зависимость, то ее следует искать в виде .

Тогда

Необходимое условие существования экстремума

т.е. .

Решив эту систему уравнений, получаем значения . А, следовательно, получаем аналитический вид квадратичной зависимости у от х.

Типовой пример

Результаты наблюдений величины у от х:

х	-2	-1, 5	-1	-0, 5	1, 5	2, 5		3, 5
у	8, 8	8, 1		0, 5	-4	-7	-8	-9

Графически:

Определить: а) линейную зависимость у от х;

б) квадратичную зависимость у от х;

в) каково возможное значение у при х=6, 3.

а) Линейную зависимость ищем в виде .

Для определения а, b следует составить и решить систему уравнений

Система уравнений имеет вид:

Решая ее любым известным способом, получаем a=-3, 2, b=0, 972.

Значит вид линейной зависимости .

Графически:

б) Для получения квадратичной зависимости поступаем аналогично. Вид квадратичной зависимости .

Для нахождения коэффициентов a, b, c следует составить систему уравнений

По данным наблюдений получаем систему уравнений:

Решив эту систему, получаем аналитический вид квадратичной зависимости исследуемого процесса .

Графически:

Судите сами, какая из полученных кривых точнее представляет изучаемый процесс.

в) При х=6, 3 при линейной зависимости значение у=-20, 466; при квадратичной зависимости у=-8, 95.

Распространяя действия полученных функций на всю область определения, можно интерполировать, экстраполировать исследуемый процесс.

Существенная разница результатов при экстраполировании в предыдущем примере означает лишь то, что нужны другие критерии (а не на первый взгляд из графика) для выяснения вида функции исследуемого процесса.

3. Пусть зависимость между переменными и выражается показательной функцией

⁽³⁾