Неявные функции и их дифференцирование

Пусть - дифференцируемая функция трех переменных и и пусть уравнение определяет как функцию независимых переменных и Частные производные этой неявной функции в точке вычисляются по следующим формулам:

при условии, что где и

Типовой пример

Найти частные производные и если определяется, как функция от и из уравнения

► Обозначим левую часть данного уравнения через Тогда

Отсюда получаем

; .◄

§6.Экстремум функции многих переменных

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что точка является точкой максимума (минимума) функции , если существует окрестность точки , такая что для любой точки из этой окрестности , отличной от точки , справедливо неравенство . Точки максимума и точки минимума функции называют точками экстремума функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

ТЕОРЕМА (необходимое условие экстремума). Если – точка экстремума дифференцируемой функции , то

... . (1)

Точка , в которой выполнены условия (1), называется стационарной точкой. Не любая стационарная точка функции является точкой экстремума. Нижеследующая теорема достаточное условие для того, чтобы стационарная точка функции двух переменных была точкой экстремума.

ТЕОРЕМА (достаточное условие экстремума для функции двух переменных). Пусть – стационарная точка функции двух переменных , дважды непрерывно дифференцируемой в некоторой окрестности точки М. Рассмотрим определитель

1. Если , то является точкой экстремума функции , а именно: а) если , то – точка минимума; б) если , то – точка максимума.

2. Если , то не является точкой экстремума.

3. Если , то нужны дополнительные исследования (экстремум может быть, а может отсутствовать)

Типовой пример

Найти точки экстремума функции

► Найдём стационарные точки функции , . Решим систему уравнений

Решением системы являются точки . Исследуем эти стационарные точки на экстремум, для чего найдём частные производные второго порядка:

, , .

Имеем

, следовательно, не является точкой экстремума. , что говорит о том, что является точкой экстремума. А так как , то заключаем, что – точка минимума. ◄

Приведём примеры, иллюстрирующие пункт 3.

1. ─ точка возможного экстремума; , следовательно, в точке ,

однако в этой точке функция имеет минимум, т.к. но для всех точек из области определения.

2. ─ точка возможного экстремума; следовательно, в точке , однако в точке в этом случае экстремума нет. Так как , а . Значит при и при . Получили, что в любой окрестности точки функция принимает значения разных знаков.

§7.Наибольшее и наименьшее значения функции многих переменных в замкнутой области

1. Точкой глобального максимума (минимума) функции на множестве называется точка , в которой функция достигает своего наибольшего или наименьшего значения
ТЕОРЕМА. Пусть в ограниченной и замкнутой области задана дифференцируемая функция . Тогда эта функция достигает в области D своего наибольшего и наименьшего значения (так называемый глобальный экстремум).
Эти значения могут достигаться либо в критических точках внутри области, либо на ее границе. Поэтому внутри области нужно найти все точки, в которых возможен экстремум. Затем, не выясняя, имеет ли функция в этих точках экстремум, вычислить значения функции во всех найденных точках. Однако функция может принимать наибольшее и наименьшее значения и на границе области. Поэтому нужно отдельно найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области. При этом надо использовать уравнения границы, что позволяет уменьшить число независимых переменных у функции и свести задачу к исследованию функции одной переменной. Сравнивая все полученные таким образом значения функции, выбираем из них наибольшее и наименьшее.

Типовой пример

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области (D), заданной неравенствами , , .

► Изобразим область (D); она представляет собой треугольник с вершинами A|(-1; -2), B(-1; 5), C(6; -2). Найдём стационарные точки. , . Решим систему уравнений

Решением этой системы является x=1, y=2. Стационарная точка M(1; 2) принадлежит области (D), так как её координаты удовлетворяют всем трём неравенствам, задающим треугольник (D). Найдём значение функции в этой точке: u(M) = 2 – 8 + 12 + 4 – 16 + 5 = –1.

Исследуем функцию на границе области (D). Граница представляет собой объединение трёх отрезков: – отрезка BC, – отрезка AB, – отрезка AC.

1) . = 2x² – 4x(4 – x) +

+ 3(4 – x)²+ 4x – 8(4–x) + 5 = 2x² – 16x + 4x² + 3(16 – 8x + x²) + 4x –

– 32 + 8x + 5 = 9x² – 28x + 21. Найдём наибольшее и наименьшее значения функции 9x² – 28x + 21 на отрезке [–1; 6]. Имеем 18x – 28; x = 14/9 – стационарная точка функции , 14/9 Î Î [–1; 6]. Обозначим N₁(14/9; 4 –14/9 ) или N₁(14/9; 22/9 ). u(N₁) = = =196/9 – 392/9 + 21 = –34/9. Найдём значения на концах отрезка [–1; 6]: = u(B) = 58; = u(C) = 177. Наибольшим из этих значений является u(C) = 177, наименьшим – u(N₁) = – 34/9.

2) . = 2 + 4y + 3y²– 4 – 8y +

+5 = 3y² – 4y + 3. Найдём наибольшее и наименьшее значения функции = 3y² – 4y + 3 на отрезке [–2; 5]; = 6y – 4; y = 2/3 – стационарная точка функции , принадлежащая отрезку [–2; 5]. Обозначим N₂(–1; 2/3). U(N₂) = . Найдём значения функции на концах отрезка [– 2; 5]: = u(A) = 23; = u(B) = 58.

3) . = 2x² + 8x + 12 + 4x + + 16 + 5 = 2x² + 12x + 33. Обозначим = 2x² + 12x + 33.

= 4x + 12. Стационарная точка x = – 3 не принадлежит отрезку

[–1; 6], поэтому она нас не интересует. Значения на концах отрезка

[–1; 6] были найдены ранее: = u(A) = 23, = u(C) = = 177.

Сравнивая все полученные значения, находим =u(C) =
= u(6; –2) = 177, = u(M) = u(1; 2) = – 1. ◄

Типовой пример

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области , заданной неравенствами: , .

► 1. Изобразим область:

2. Точка не принадлежит области .

3. Граница области состоит из трех гладких частей где и заданы уравнениями: .

3.1. На части границы , следовательно на , где . Теперь встала задача нахождения наибольшего и наименьшего значения функции одной переменной на промежутке . Так как , то точка является стационарной точкой функции , и эта точка принадлежит промежутку . Этому значению переменной на соответствует значение . Соответствующая точка - .

3.2. На части границы , следовательно, на , где . Исследуем функцию на промежутке . Так как , то точка является стационарной точкой функции , но эта точка не принадлежит промежутку .

3.3. На части границы , следовательно на , где . Исследуем функцию на промежутке . Так как , то точка является стационарной точкой функции , и эта точка принадлежит промежутку . Соответствующая точка .

4. Таким образом, имеется всего пять точек, в которых нужно вычислить значения функции : ; ; ; ; . В результате вычислений получаем: ; ; ; ; . Следовательно, , . ◄

1 234