ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Понятие функции нескольких переменных

1. Произвольный упорядоченный набор из действительных чисел обозначается и называется точкой -мерного арифметического пространства сами числа называются координатами точки

Пусть - произвольное множество точек -мерного арифметического пространства. Если каждой точке поставлено в соответствие некоторое действительное число то говорят, что на множестве задана числовая функция от переменных Множество называется областью определения функции

Рассмотрим частный случай, когда . Пусть дано множество , и пусть указано правило, по которому каждой точке соответствует некоторое число . В этом случае говорят, что задана функция с областью определения и областью значений . При этом и называют независимыми переменными (аргументами), а – зависимой переменной (функцией).

Функцию

часто записывают в виде «

». Схематично функция может быть изображена так, как это показано на рисунке.

Пример

На множестве определим функцию ; тогда ее областью значений является отрезок . Эту функцию можно определить, конечно, и на всей плоскости ; в этом случае имеем и .

Частное значение функции при обычно записывают в виде

или .

Типовой пример

Найти область определения функции . Найти .

► Областью определения функции является решение неравенства или . Последнее неравенство определяет круг радиуса 2 с центром в точке 0(0; 0). .◄

Графиком этой функции называется множество точек пространства

представляющее собой некоторую поверхность в

При построении графика функции часто пользуются методом сечений.

Пример

Построить график функции и найти .

► Воспользуемся методом сечений.

– в плоскости – парабола.

– в плоскости –парабола.

– в плоскости – окружность.

Искомая поверхность – параболоид вращения.◄

В некоторых случаях наглядное представление о функции двух или трёх переменных может дать картина её линий уровня.

Линией уровня функции называется множество точек М плоскости Оху, удовлетворяющих равенству, где с – константа.

Другими словами, линия уровня есть кривая, во всех точках которой функция принимает одно и то же постоянное значение с. Геометрически линии уровня получаются как проекции на плоскость Oxy линии пересечения графика функции и горизонтальной плоскости .

Рис. 2

Пример

Линиями уровня функции являются окружности , то есть линии пересечения поверхности с плоскостями (рис. 2).

Линии уровня используются в картографии. Так, например, на топографических картах рисуют линии равной высоты над уровнем моря, на метеорологических картах изображают линии одинакового давления – изобары.

По линиям уровня, построенным для некоторой рассматриваемой функции с одинаковыми промежутками между значениями , можно получить представление о графике функции (то есть о форме поверхности). В тех местах, где линии располагаются «гуще», функция при переходе от одного значения с к другому меняется быстрее, чем там, где линии распределены реже.

Расстоянием между двумя произвольными точками и (евклидова) пространства называется число

Множество точек называется открытым кругом радиуса с центром в точке , – окружностьюрадиуса с центром в точке .

Открытый круг радиуса с центром в точке называется -окрестностью точки .

Определение. Точка называется внутренней точкой множества , если существует -окрестность точки , целиком принадлежащая множеству (т.е. )

Точка называется граничной точкоймножества , если в любой ее -окрестности содержатся точки, как принадлежащие множеству , так и не принадлежащие ему. Граничная точка множества может как принадлежать этому множеству, так и не принадлежать ему.

Множество называется открытым, если все его точки – внутренние.

Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки. Множество всех граничных точек множества называется его границей (и часто обозначается символом ). Заметим, что множество является замкнутым и называется замыканием множества .

Пример

Если , то . При этом .

Точка называется предельной точкой множества , если в любой -окрестности точки содержатся точки множества , отличные от .

Образно говоря, точка называется предельной точкоймножества , если «к точке можно подойти сколь угодно близко, идя по точкам множества и не наступая на саму точку ». Предельная точка множества может принадлежать, а может не принадлежать этому множеству.

Пример

Множество совпадает с множеством своих предельных точек. Множество имеет единственную предельную точку .

Предел функции

Будем говорить, что последовательность точек сходится при к точке , если при .

В этом случае точку называют пределом указанной последовательности и пишут: при .

Легко показать, что тогда и только тогда, когда одновременно , (т.е. сходимость последовательности точек пространства эквивалентна покоординатной сходимости ).

Пусть и – предельная точка множества . Число называют пределом функции при , если для такое, что , как только . В этом случае пишут

или при .

При кажущейся полной аналогии понятий предела функций одной и двух переменных существует глубокое различие между ними. В случае функции одной переменной для существования предела в точке необходимо и достаточно равенство лишь двух чисел – пределов по двум направлениям: справа и слева от предельной точки . Для функции двух переменных стремление к предельной точке на плоскости может происходить по бесконечному числу направлений (и необязательно по прямой), и потому требование существования предела у функции двух (или нескольких) переменных «жестче» по сравнению с функцией одной переменной.

Типовой пример

Найти .

► Пусть стремление к предельной точке происходит по прямой . Тогда

Предел, очевидно, не существует, так как число зависит от . ◄

Типовой пример

Найти .

► По любой прямой предел один и тот же:

С другой стороны, пусть стремление к предельной точке происходит по кривой . Тогда

;

следовательно, предел не существует. ◄

Сформулируем понятие предела функции для случая, когда предельная точка имеет бесконечные координаты. Ограничимся случаем, когда , (остальное – по аналогии).

Число называют пределом функции при и , если для такое, что из неравенств и следует неравенство . Этот факт коротко записывают так:

ТЕОРЕМА 1. Если существуют и , то:

;

где предельная точка может быть конечной или бесконечной.

Справедливы аналоги и других теорем о свойствах пределов функций одной переменной.

Непрерывность функции

Пусть дана функция с областью определения и пусть – предельная точка множества .

Говорят, что функция непрерывна в точке , если:

1) ;

2) , т.е. .

Сформулируем определение непрерывности в эквивалентной форме. С этой целью обозначим , и .

Говорят, что функция непрерывна в точке , если выполняется равенство

ТЕОРЕМА 2. Если функции и непрерывны в точке , то этим же свойством обладают функции , , а если , то и функция .

Если мы хотим ввести понятие непрерывной функции на множестве, как функции, непрерывной в каждой точке множества, то само определение непрерывности в точке требует, чтобы каждая точка множества принадлежала ему (либо с некоторой своей -окрестностью, либо как его граничная точка).

Множество называется областью, если оно:

1) является открытым множеством, т.е. содержит каждую свою точку вместе с некоторой своей -окрестностью; 2) является линейно связным множеством, т.е. для любых двух различных точек существует ломаная, соединяющая и и целиком лежащая в .

Если – область, то множество называют замкнутой областью.

Говорят, что функция непрерывна в области (или в замкнутой области ), если непрерывна в каждой точке этого множества.

123 4