Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальные уравнения этого типа представляются в виде:

, (12)

где - постоянные числа.

Будем искать решение уравнения (12) в виде , где постоянное число. После подстановки этого выражения в (12) получим:

Поскольку , должно выполняться квадратное уравнение:

. (13)

Это уравнение называется характеристическим уравнением для уравнения (12). В зависимости от величины его дискриминанта возможны три случая:

а) .

Можно показать, что общим решением в этом случае является комбинация двух линейно-независимых решений, отвечающих двум различным корням характеристического уравнения:

. (14)

б) .

В этом случае общим решением будет:

. (15)

в) . В этом случае характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня: и

Общее решение записывается в следующем виде:

. (16)

В формулах (14)–(16) и произвольные постоянные.

Пример6. Решить дифференциальное уравнение: ;

Решение. Характеристическое уравнение принимает вид: ; Дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня: . Тогда, согласно (14), общее решение дифференциального уравнения записывается в виде:

Пример7. Решить дифференциальное уравнение: ;

Решение. Характеристическое уравнение имеет один кратный корень ; В соответствии с (15) общее решение дифференциального уравнения записывается в виде:

Пример8. Решить дифференциальное уравнение:

Решение. Дискриминант характеристического уравнения отрицателен, характеристическое уравнение имеет комплексные корни: В этом случае формула (16) дает следующее общее решение дифференциального уравнения:

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Этот тип уравнений характеризуется наличием правой части, то есть имеет вид:

. (17)

Можно доказать, что общее решение уравнения (17) представляется в виде:

, (18)

где общее решение уравнения (17), а частное решение уравнения (17). Иными словами, общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма общего решения линейного однородного решения и одного из частных решений линейного неоднородного уравнения.

Отметим еще одно важное свойство решений линейных дифференциальных уравнений – принцип суперпозиции решений. Пусть правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения представляется в виде суммы двух (или более) функций:

. (19)

Тогда решение этого уравнения может быть представлено в виде , где и решения дифференциальных уравнений: и соответственно. Это означает, что, разбив правую часть линейного неоднородного дифференциального уравнения на сумму двух слагаемых, можно свести его решение к решению двух более простых дифференциальных уравнений.

Заметим, что при формулировке принципа суперпозиции решений не требуется постоянство коэффициентов. Кроме того, этот принцип справедлив и для дифференциальных уравнений более высокого порядка.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (17), в котором правая часть имеет следующий вид: , где , постоянные числа, , многочлены порядка и .

Такие уравнения называют уравнениями со специальной правой частью, и для нахождения их частного решения можно применить метод Эйлера. Согласно этому методу, частное решение ищется в следующем виде:

. (20)

В правой части равенства (20) , а и многочлены степени с неопределенными коэффициентами (их число равно ). Степень множителя определяется по следующему правилу.

Если контрольное число (комплексное при не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения (18), то . Если контрольное число совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то . Наконец, если контрольное число совпадает с корнем характеристического уравнения и этот корень кратный, то . Очевидно, что последний случай возможен только при , так как кратный корень может быть только вещественным.

Для определения неопределенных коэффициентов в многочленах и следует подставить выражение (20) в уравнение (17), предварительно найдя его производные и . Неопределенные коэффициенты находятся из системы линейных алгебраических уравнений, к которым сведется уравнение (17) после подстановки в него выражения (20).

Пример9. Решить дифференциальное уравнение: .

Решение. Характеристическое уравнение для однородного дифференциального уравнения имеет вид: . Его корни . Общее решение однородного уравнения записывается в форме: , где и произвольные постоянные.

Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде (20). По условиям примера Контрольное число равно единице и не совпадает с корнями характеристического уравнения. Поэтому Таким образом, формула (20) дает: . Найдем производные .

Подставим эти выражения в дифференциальное уравнение:

Сокращая обе части уравнения на и приводя подобные, получаем:

Последнее равенство должно выполняться для произвольных значений , что возможно лишь при выполнении следующих условий:

Решая систему уравнений, находим:

Следовательно, и общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения принимает вид:

Пример10. Найти общее решение дифференциального уравнения: .

Решение. Характеристическое уравнение для однородного дифференциального уравнения имеет два комплексных корня: Общее решение однородного уравнения записывается в виде: , где и произвольные постоянные.

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Заметим, что правая часть уравнения – сумма двух слагаемых, каждое из которых может быть представлено в виде (25). Поэтому, в соответствии с принципом суперпозиции решений, частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

Найдем производные функции :

Подстановка этих выражений в исходное уравнение дает:

Выполнение этого уравнения при произвольных значениях возможно только в том случае, когда коэффициенты при функциях в левой и правой частях уравнения будут одинаковы. Это условие приводит к системе уравнений:

Ее решение: ; ; ; ; .

В окончательном виде получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

Рассмотрим еще один метод нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. Этот метод применим для уже рассмотренных уравнений с правой частью специального вида, а также для уравнений с правой частью более общего вида. Этот метод называют методом вариации произвольных постоянных, или методом Лагранжа.

Рассмотрим этот метод применительно к уравнению (17), хотя он позволяет находить решение и более общего уравнения с переменными коэффициентами. Согласно этому методу сначала находят два линейно- независимых решения и однородного дифференциального уравнения. Частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищется в виде их линейной комбинации, в которой произвольные постоянные и заменяются на неизвестные функции и :

. (21)

Подстановка этого выражения в неоднородное дифференциальное уравнение (17) приводит к следующему уравнению:

. (22)

Перегруппируем слагаемые в (22):

(23)

Рассмотрим подробнее уравнение (23). Так как функции и являются решениями однородного дифференциального уравнения (12), выражения в третьей и четвертой скобках в (23) тождественно равны нулю. Наложим на пока неопределенные функции и следующее условие:

(24)

Тогда выражение в пятой скобке в (23) также окажется равным нулю. Продифференцируем обе части равенства (23):

Это соотношение показывает, что и выражение в первой скобке в (23) тождественно равно нулю.

Таким образом, при условии (24) уравнение (23) сводится к следующему: Иными словами, уравнение (23) равносильно системе уравнений:

(25)

Поскольку определитель этой системы является вронскианом двух линейно независимых решений и , и отличен от нуля, система всегда имеет единственное решение.

Решив систему уравнения (25), остается лишь найти и , то есть проинтегрировать полученные из (25) функции и ) и, подставить их в выражение для .

Пример11. Найти решение дифференциального уравнения: .

Решение. В этом уравнении правая часть не подпадает под вид, допускающий применение метода неопределенных коэффициентов.

Поэтому для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Но сначала для нахождения фундаментальной системы решений рассмотрим однородное дифференциальное уравнение: .

Характеристическое уравнение имеет корни , и общее решение записывается в виде:

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:

Система (25) приобретает вид:

Отсюда находим:

В итоге получаем: .

Общее решение рассматриваемого уравнения принимает вид:

Контрольные задания

а) Найти общее решение дифференциального уравнения.

б) Найти решение задачи Коши.

в) Найти общее решение дифференциального уравнения.

7.1 а) ;

б) ;

в) ;

7.2 а) ;

б) ; ;

в) ;

7.3 а) ;

б) ; ;

в) ;

7.4 а) ;

б) ; ;

в) ;

7.5 а) ;

б) ; ;

в) ;

7.6 а) ;

б) ; ;

в) ;

7.7 а) ;

б) ; ;

в) ;

7.8 а) ;

б) ; ;

в) ;

7.9 а) ;

б) ; ;

в) ;

7.10 а) ;

б) ; ;

в) ;

7.11 а) ;

б) ; ;

в) ;

7.12 а) ;

б) ; ;

в) ;

7.13 а) ;

б) ; ;

в) ;

7.14 а) ;

б) ; ;

в) ;

7.15 а) ;

б) ; ;

в) ;

7.16 а) ;

б) ; ;

в) ;

7.17 а) ;

б) ; ;

в) ;

7.18 а) ;

б) ; ;

в) ;

7.19 а) ;

б) ; ;

в) ;

7.20 а) ;

б) ; ;

в) ;

Указания к заданию 8

ТЕМА 8. РЯДЫ

Рассмотрим выражение вида

, (1)

называемое бесконечным рядом, где — члены ряда.

Ряд называется числовым, если членами ряда являются числа, и функциональным, если членами ряда являются функции.

Сумма конечного числа первых n членов называется

n –ой частичной суммой ряда:

Если существует конечный предел , то его называют суммой ряда и ряд называется сходящимся. Если предел не существует, то ряд расходится и суммы не имеет.

Отметим следующие свойства рядов.

1. На сходимости ряда не сказывается отбрасывание конечного числа его членов.

2. Сходимость ряда не нарушится, если все члены умножить на одно и то же ненулевое число.

3. Сумма (разность) сходящихся рядов есть ряд сходящийся.

Необходимый признак сходимости рядов

Если ряд сходится, то предел n-ого члена равен нулю при неограниченном возрастании n, т.е.

. (2)

Условие (2) является необходимым, но не достаточным условием сходимости, поэтому если , то ряд может как сходиться, так и расходиться.

Однако, если , то ряд расходится.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Рассмотрим предел общего члена ряда u_n:

, поэтому ряд расходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда .

Решение. . Необходимый признак не дает ответа на вопрос о сходимости данного ряда.

Сформулируем достаточные признаки сходимости некоторых рядов и вернемся к решению примера.

В первую очередь рассмотрим числовые ряды.

Числовые ряды

Знакоположительные ряды

Рассмотрим два ряда с положительными членами:

, (3)

, (4)

называемых знакоположительными.

Для них справедливы следующие признаки сходимости.

Признаки сравнения

Признак 1. Если, начиная с некоторого n, выполняется условие и ряд (4) сходится, то ряд (3) тоже сходится.

Признак 2. Если, начиная с некоторого n, выполняется условие , и ряд (4) расходится, то ряд (3) тоже расходится.

Признак 3. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то ряды (3) и (4) ведут себя одинаково, т.е. сходятся и расходятся одновременно.

При использовании этих признаков нужно сравнивать исследуемый ряд с рядом, сходимость или расходимость которого уже известна.

Для сравнения обычно выбирают один из следующих рядов:

I. — гармонический ряд, он расходится.

II. ( ) — геометрическая прогрессия, при ряд сходится, при 1 расходится.

III. — ряд Дирихле (обобщенный гармонический ряд), при сходится, при 1 расходится.

Пример 3. Вернемся к ряду из примера 2: .

Решение. Это ряд с положительными членами. Сравним исходный ряд с гармоническим рядом . Рассмотрим предел отношения общих членов рядов:

Ряд (2) расходится, следовательно, на основании признака 3 исходный ряд также расходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда .

Решение. В качестве сравнения возьмем геометрическую прогрессию , которая сходится, т.к. = 1. Сравним общие члены рядов: . На основании первого признака сравнения исходный ряд сходится.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Рассмотрим расходящийся ряд (ряд Дирихле). Поскольку, начиная с , выполняется условие , то, согласно второму признаку сравнения, исходный ряд расходится.

Признак Даламбера

Если в знакоположительном ряде существует предел , то при q 1 ряд сходится, при q 1 расходится, при q=1 признак Даламбера ответа на вопрос о сходимости ряда не дает и надо использовать другие признаки.

Пример 6.Исследовать сходимость ряда .

Решение. Поскольку , то . (Напомним, что n! = ). Теперь найдем предел отношения :

Так как 0< 1, то по признаку Даламбера исходный ряд сходится.

Радикальный признак Коши

Если в знакоположительном ряде существует предел , то при q< 1 ряд сходится, при q 1 расходится, при q=1 вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Пример 7. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Поскольку общий член ряда содержит n-ую степень, применим радикальный признак Коши.

1, следовательно, ряд сходится.

Интегральный признак Коши

Если , где функция положительна, монотонно убывает и непрерывна при , то ряд и интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Пример 8. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Рассмотрим функцию . При функция положительна, монотонно убывает и непрерывна, т.е. удовлетворяет условию интегрального признака Коши. Рассмотрим интеграл

Из расходимости интеграла следует расходимость исходного ряда.

Знакочередующиеся ряды

Ряд (5)

называется знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные.

Составим ряд из абсолютных значений ряда (5):

(6)

Если ряд (6) сходится, то ряд (5) тоже сходится и называется абсолютно сходящимся.

Из расходимости ряда (6) не следует расходимость ряда (5).

Если ряд (6) расходится, а ряд (5) сходится, то он называется сходящимся условно.

Ряд (6) является знакоположительным рядом и вопрос о его сходимости решается с помощью признаков, рассмотренных ранее.

Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд.

Знакочередующимся называется ряд

, (7)

где для .

Для решения вопроса о сходимости знакочередующегося ряда используют признак сходимости Лейбница.

Признак сходимости Лейбница

Если для знакочередующегося ряда (7) выполнены условия:

1. (начиная с некоторого n),

2. ,

то ряд (7) сходится.

Пример 9. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Это знакочередующийся ряд, для которого выполнены условия признака сходимости Лейбница: , и , поэтому ряд сходится. Он сходится условно, т.к. ряд, составленный из абсолютных значений, является гармоническим , который расходится.

Пример 10. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных значений . Применим к нему признак сходимости Даламбера:

1, следовательно, этот ряд сходится, поэтому исходный ряд сходится абсолютно.

Пример 11. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Это знакочередующийся ряд. Составленный из абсолютных значений ряд имеет вид . Сравним члены этого ряда с членами сходящегося ряда Дирихле :

. Согласно первому признаку сравнения, ряд сходится, поэтому исходный ряд сходится абсолютно.

Функциональные ряды

Функциональным называется ряд , членами которого являются зависящие от функции. Множество значений аргумента , при которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда. Частным случаем функционального ряда является степенной ряд:

, (8) где и — вещественные числа.

Для ряда (8) существует такой интервал (называемый интервалом сходимости) с центром в точке , внутри которого ряд (8) сходится абсолютно, а при > ряд расходится. Число называют радиусом сходимости степенного ряда. Радиус сходимости R в частном случае может быть равен 0 или . На концах интервала сходимости степенной ряд может как сходиться, так и расходиться.

Для выяснения вопроса о сходимости ряда на концах интервала сходимости достаточно применить к ряду известные признаки сходимости, считая фиксированным и равным .