Условный экстремум функции двух переменных

Пример

Найти экстремум функции при условии, что х и у связаны соотношением: . Геометрически задача означает следующее: на эллипсе , полученном при пересечении цилиндра плоскостью , требуется найти максимальное или минимальное значение аппликаты .

Эту задачу можно решать так: из уравнения находим . Подставляя найденное значение у в уравнение плоскости, получаем функцию одной переменной х:

Тем самым задача о нахождении экстремума функции при условии, что , свелась к задаче нахождения экстремума функции одной переменной , на отрезке .

Геометрически задача означает следующее: на эллипсе , полученном при пересечении цилиндра плоскостью , требуется найти максимальное или минимальное значение аппликаты (рис.9). Эту задачу можно решать так: из уравнения находим . Подставляя найденное значение у в уравнение плоскости, получаем функцию одной переменной х:

Итак, задача отыскания условного экстремума – это задача о нахождении экстремума целевой функции , при условии, что переменные х и у подчиняются ограничению , называемому уравнением связи.

Будем говорить, что точка , удовлетворяющая уравнению связи, является точкой локального условного максимума (минимума), если существует окрестность такая, что для любых точек , координаты которых удовлетворяют уравнению связи, выполнено неравенство .

Если из уравнения связи можно найти выражение для у, то, подставляя это выражение в исходную функцию, превращаем последнюю в сложную функцию одной переменной х.

Общим методом решения задачи на условный экстремум является метод множителей Лагранжа. Составим вспомогательную функцию, где ─ некоторое число. Это функция называется функцией Лагранжа, а ─ множителем Лагранжа. Таким образом, задача нахождения условного экстремума свелась к нахождению точек локального экстремума для функции Лагранжа. Для нахождения точек возможного экстремума надо решить систему из 3-х уравнений с тремя неизвестными х, у и.

Затем следует воспользоваться следующим достаточным условием экстремума.

ТЕОРЕМА. Пусть точка является точкой возможного экстремума для функции Лагранжа. Предположим, что в окрестности точки существуют непрерывные частные производные второго порядка функций и . Обозначим

Тогда, если , то ─ точка условного экстремума функции при уравнении связи при этом, если , то ─ точка условного минимума, если , то ─ точка условного максимума.

Градиент и производная по направлению

Пусть функция определена в некоторой (открытой) области. Рассмотрим любую точку этой области и любую направленную прямую (ось) , проходящую через эту точку (рис. 1). Пусть – какая-нибудь другая точка этой оси, – длина отрезка между и , взятая со знаком «плюс», если направление совпадает с направлением оси , и со знаком «минус», если их направления противоположны.

Рис. 1

Пусть неограниченно приближается к . Предел

называется производной от функции по направлению (или вдоль оси ) и обозначается следующим образом:

Эта производная характеризует «скорость изменения» функции в точке по направлению . В частности, и обычные частные производные , также можно рассматривать как производные «по направлению».

Предположим теперь, что функция имеет в рассматриваемой области непрерывные частные производные. Пусть ось образует с осями координат углы и . При сделанных предположениях производная по направлению существует и выражается формулой

Если вектор задан своими координатами , то производную функции по направлению вектора можно вычислить по формуле:

Вектор с координатами называется вектором-градиентомфункции в точке . Вектор-градиент указывает направление наиболее быстрого возрастания функции в данной точке.

Пример

Дана функция , точка A(1, 1) и вектор . Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора .

► Частные производные данной функции в точке :

; .

Тогда вектор-градиент функции в этой точке: . Вектор-градиент еще можно записать с помощью разложения по векторам и :

. Производная функции по направлению вектора :

. Итак, , .◄

Метод наименьших квадратов.

В различных практических исследованиях приходится использовать формулы, полученные на основании опыта, наблюдения. Один из лучших способов получения таких формул – метод наименьших квадратов.

Пусть между переменными величинами и имеется или предполагается некоторая функциональная зависимость , подлежащая определению. С этой целью выполнены наблюдения, а результаты их представлены в таблице в виде n пар соответствующих значений переменных и :

			………		………..
			………		………..

Эти данные можно представить графически, если в прямоугольной системе координат построить точки, координаты которых – пары соответствующих значений переменных и , т.е. точки .

Графически это может выглядеть так:

или так:

а может быть и как-то иначе.

1. Предположим что анализ опытных данных (в том числе и расположение точек на плоскости) привел к выводу, что между переменными и существует линейная зависимость

, (1)

которая графически изображается прямой на плоскости.

Задача сводится к отысканию значений параметров a, b.

Для этого составим функцию - сумма квадратов*) отклонений предполагаемых значений (аналитических) от фактических.

Исследуем эту функцию на экстремум. А точнее, по понятным причинам, нужно найти точки минимума.

Необходимое условие существования экстремума

т.е.

или . (2)

Решая эту систему линейных алгебраических уравнений относительно и получаем их значения, а, следовательно, получаем аналитический вид линейной зависимости исследуемых величин.

Пример

Данные о стоимости основных производственных фондов 5 предприятий (млн. руб.) и среднесуточной переработки свеклы (тыс. ц.) приведены в таблице:

Предполагая, что между переменными и существует линейная зависимость, необходимо: а) найти, пользуясь способом наименьших квадратов, параметры этой зависимости; б) определить среднесуточную переработку свеклы предприятием, имеющим стоимость основных фондов 9 млн руб.

► Результаты вспомогательных вычислений для получения коэффициентов системы нормальных уравнений (2) поместим в следующей таблице:


I
S

Следовательно, система нормальных уравнений при =5 ( число

пар значений переменных) имеет вид:

Решая ее, найдем: , а искомая функциональная зависимость такова: .

Среднесуточную переработку свеклы предприятием, имеющим стоимость основных фондов 9 млн. руб. найдем, подставив значение в найденное уравнение зависимости между и :

(тыс. ц. ) ◄

Типовой пример

Экспериментально получены пять значений искомой функции при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию в виде .

► Запишем нормальные уравнения для коэффициентов и :

Составим вспомогательную таблицу:

Подставим числовые значения в нормальные уравнения:

. Решив систему, получим ; . Искомая функция имеет вид: . В последнем столбце таблицы запишем значения , вычисленные по полученной формуле .◄

2.Если при нахождении усматривается квадратичная зависимость, то ее следует искать в виде .

Тогда

Необходимое условие существования экстремума

т.е. .

Решив эту систему уравнений, получаем значения . А, следовательно, получаем аналитический вид квадратичной зависимости у от х.

Типовой пример

Результаты наблюдений величины у от х:

х	-2	-1, 5	-1	-0, 5	1, 5	2, 5		3, 5
у	8, 8	8, 1		0, 5	-4	-7	-8	-9

Графически:

Определить: а) линейную зависимость у от х;

б) квадратичную зависимость у от х;

в) каково возможное значение у при х=6, 3.

а) Линейную зависимость ищем в виде .

Для определения а, b следует составить и решить систему уравнений

Система уравнений имеет вид:

Решая ее любым известным способом, получаем a=-3, 2, b=0, 972.

Значит вид линейной зависимости .

Графически:

б) Для получения квадратичной зависимости поступаем аналогично. Вид квадратичной зависимости .

Для нахождения коэффициентов a, b, c следует составить систему уравнений

По данным наблюдений получаем систему уравнений:

Решив эту систему, получаем аналитический вид квадратичной зависимости исследуемого процесса .

Графически:

Судите сами, какая из полученных кривых точнее представляет изучаемый процесс.

в) При х=6, 3 при линейной зависимости значение у=-20, 466; при квадратичной зависимости у=-8, 95.

Распространяя действия полученных функций на всю область определения, можно интерполировать, экстраполировать исследуемый процесс.

Существенная разница результатов при экстраполировании в предыдущем примере означает лишь то, что нужны другие критерии (а не на первый взгляд из графика) для выяснения вида функции исследуемого процесса.

3. Пусть зависимость между переменными и выражается показательной функцией

⁽³⁾

Логарифмируя обе части этого уравнения, получим

Следовательно, между значениями переменной и логарифмами

значений переменной существует линейная зависимость с параметрами

и . Поэтому, если воспользоваться способом наименьших

квадратов, то логарифмы и параметров функции (3) определяются из системы уравнений

, (4)

которая получена из системы (2) заменой в ней и их логарифмами,

а на .

Типовой пример

Средняя годовая численность рабочих и служащих на некотором предприятии характеризуется следующими условными данными:

Годы
Числ - ть раб-х и служащих	12 168	13 531	18 990	22 249	22 325	23 581	24 770

Предполагая, что рост численности рабочих и служащих происходил по показательной кривой , найти параметры и этой зависимости, пользуясь способом наименьших квадратов.

► Систему координат выберем так, чтобы 1995г. соответствовало ее начало - это упростит вычисления. Следовательно, при решении задачи исходим из следующих данных:

Годы	-3	-2	-1
Численность рабочих и служащих	12 168	13 531	18 990	22 949	22 325	23 581	24 770

Результаты вспомогательных вычислений для получения коэффициентов системы нормальных уравнений (4) располагаем в таблице:

I
	-3 -2 -1		4, 0852 4, 1313 4, 2785 4, 3608 4, 3488 4, 3726 4, 3939	-12, 2556 -8, 2626 -24, 7967 -4, 2785 4, 3488 8, 7452 26, 2757 13, 1817
Сумма		-	29, 971	-24, 7969+ 26, 2757=1, 4790

Подcтавим результаты вычислений в систему (4). Учитывая, что = 7, а , первое уравнение этой системы примет вид , откуда , а тогда .

Второе уравнение системы (4) принимает вид:

, откуда , а тогда .

Следовательно, искомая функциональная зависимость такова:

Уравнение показывает, что численность рабочих и служащих в среднем росла ежегодно в 1, 129 раза или на 12, 9% ежегодно. ◄

4. В случаях, когда между переменными и существует гиперболическая зависимость

(5)

можно сказать, что между обратными значениями переменной (т.е. ) и значениями переменной существует линейная зависимость. Поэтому, если воспользоваться способом наименьших квадратов, то параметры и функции (5) определяются из следующей системы нормальных уравнений:

, (6)

которая получается из системы (2), если в ней заменить на .

Типовой пример

В таблице приведены данные о стаже рабочего (в годах) и затратах времени на обработку одной детали (мин):

Предполагая, что между переменными и существует гиперболическая зависимость , найти параметры и этой зависимости, пользуясь способом наименьших квадратов.

► Результаты вспомогательных вычислений поместим в таблице:

			1/x_i²

		1/3=0, 3333	1/9=0, 1111	9, 0000
		1/5=0, 2	1/25=0, 04	4, 4
		1/7=0, 1429	1/49»0, 0204	2, 5714
		1/9»0, 1111	1/81»0, 0123	1, 8889
		1/11»0, 0909	1/121»0, 0083	1, 4545
å	-	1, 8782	1, 1921	53, 3148

Подставляя полученные значения в систему (6) при = 6 (число пар соответствующих значений переменных и ), получим

Решая эту систему, найдем , . Следовательно, искомая функциональная зависимость имеет вид:

◄

§10. Теория функций многих переменных и основные зависимости, используемые в экономике
1. Производственная функция

Функция, выражающая зависимость объёма производства от величины затраченных ресурсов, называется производственной функцией (ПФ).

Если , то ПФ называется одноресурсной. В ряде случаев ПФ может быть сведена к зависимости производительности труда у (то есть выпуска продукта в расчёте на одного работника) от капиталовооруженности труда х (то есть величины капитала в расчёте на одного работника), где капиталовооруженность – (здесь К – величина капитала, ─ численность занятых).

Возникновение теории производственных функций относится к 1928 году. Тогда появилась статья американских учёных Д. Кобба и П. Дугласа, в которой впервые была введена функция, выражающая зависимость между объёмом основных фондов К, затратами труда и объёмом выпускаемой продукции , где . График ПФКД в трёхмерном пространстве есть коническая поверхность (рис.1).
Рис.1

Для производственной функции двух переменных линией уровня, соответствующей , является множество точек плоскости с неотрицательными координатами, удовлетворяющих условию . Для функции Кобба-Дугласа линии уровня, соответствующие , задаются уравнением или . Линии уровня функции для различных значений изображены на рис. 2.
Точки , лежащие на одной линии уровня, соответствуют различным наборам затрат, обеспечивающим один и тот же выпуск продукции.
Линии уровня ПФ называются изоквантами. Отметим, что изокванта, соответствующая , расположена «северо-восточнее» изокванты, соответствующей .

Пример

Найдём изокванты производственной функции Кобба-Дугласа . Изокванта этой функции, соответствующая значению , задана уравнением или ².◄

Далее выясним, какую экономическую интерпретацию можно дать частным производным ПФ. Отношение

показывает, какой дополнительный выпуск приходится на 1 единицу изменения основных фондов при постоянных затратах труда . Если существует конечный предел указанного выше отношения при , то это есть частная производная функции по переменной

Частная производная называется предельной фондоотдачей. Частная производная называется предельной производительностью труда и определяется аналогично

Найдем в явном виде частные производные ПФ

Эластичностью функции в точке по переменной называется предел , по переменной – предел . Значит Эластичность приближённо показывает на сколько процентов изменится выпуск, если затраты какого-либо одного ресурса увеличатся на 1 % при неизменных объёмах другого ресурса.

Экономический смысл параметра . Эластичность выпуска по основным фондам равна . Значит, относительное изменение основных фондов на 1 % вызывает относительное изменение выпуска на % (приблизительно), если считать изменение на 1% достаточно малым.

Пример

Функции спроса на товары и имеют вид: ;

где , и , – спрос на товары и и их цены соответственно, – часть дохода потребителя, которую он расходует на приобретение названных товаров. Определить коэффициенты эластичности функций при .

►

Величины и показывают, что с ростом цены товара на 1%, спрос на товар снижается на 1, 8%, а спрос на товар повышается на 0, 043%.

Аналогично величины и Е_р2(у) показывают, что с увеличением цены товара на 1%, спрос на товар повышается на 0, 11%, а спрос на товар снижается 0, 27%.◄

Пусть выпуск является постоянным, (то есть все наборы затрачиваемых ресурсов расположены на одной изокванте), тогда полный дифференциал ПФ тождественно равен нулю

, здесь и ─ дифференциалы переменных и . , значит, .

Отношение является предельной нормой замены основного капитала трудом.

2. Функция полезности. Задача потребительского выбора (ЗПР)
В основе модели поведения потребителей лежит гипотеза, что каждый из них, осуществляя выбор наборов благ при заданных ценах и имеющемся доходе, стремиться максимизировать уровень удовлетворения своих потребностей.
Пусть на рынке потребителю предлагается n различных наборов благ где - количество i-го блага в натуральных единицах. Блага приобретаются по рыночным ценам соответственно. Стоимость набора благ - В распоряжении потребителя имеется ограниченное число денег R (доход). Ясно, что существует бюджетное ограничение
Полезность блага – это способность удовлетворять ту или иную потребность. Потребитель выбирает наиболее предпочтительный набор среди всех доступных. В XIX веке была введена функция полезности для предпочтения одного набора другому. Основное ее свойство в том, что потребитель предпочитает набор X, а не Y, если u(X)> u(Y), то есть она упорядочивает наборы по предпочтению.
Рис.3.
Рассмотрим пространство двух благ (товаров). Функция полезности – это субъективная числовая оценка полезности u набора товаров (x, y). Линии уровня функции полезности называют кривыми безразличия. Так как если то потребителю безразлично, каким набором обладать, так как они имеют одинаковую полезность.

Чем «северо-восточнее» расположена кривая безразличия, тем большему уровню она соответствует (рис.3). Кривые безразличия являются убывающими.
В теории потребительского выбора большую роль играют предельные по

1 2 34