|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Производная основных элементарных функций.
Производная логарифмической функции. y=logax Dy=loga(x+Dx)-logax=loga(1+Dx/x)=1 loga(1+Dx/x)= 1loga(1+t)=1 loga(1+t)1/t Dx Dx Dx x Dx/x x t x где t=Dx/x Используя непрерывность функции logax в точке х=е и первый замечательный предел, найдём производную логарифмической функции: (logах)¢ = 1(logа(lim(1+t)1/t) = 1logae= 1. x t®0 x x lna Производная показательной функции. У=ах является обратной для функции х=logау. По теореме у¢ х= 1= 1 =ylna x¢ y 1/ylna Поскольку у=ах, получаем (ах)¢ =ахlna. Производная степенной функции. Функция у=ха при х> 0 может быть представлена в виде ха=еalnx. Найдём (ха)¢ =( еalnx)¢ = еalnx(alnx)¢ =ха*а/х=аха-1 Аналогично доказывается для x< 0. Производные тригонометрических функций. С помощью формулы sinа-sinb=2sin[(a-b)/2]*cos[(a+b)/2], первого замечательного предела и непрерывности функции cos x найдём (sinх)¢ =lim sin (х+Dх) – sinх= lim 2sin(Dх/2) cos(х+Dх/2) = Dx®0 Dx Dx®0 Dx =lim sin(Dх/2) cos(х+Dх/2) = cos x Dx®0 Dx/2 Для нахождения производных функций cos x и tg x можно использовать тождество cos x=sin(x-p/2), правило дифференцирования сложной функции. Итак, (sin х)¢ =cos x, (cos x)¢ = - sin x, (tg x)¢ =1/cos2 x. Производные обратных тригонометрических функций. Функция у=arcsinx является обратной для функции х=sinу. Следовательно, (arcsinx)¢ x= 1 = 1= 1= 1 (siny)¢ y cosy Ö 1-sin2xØ Ö 1-x2Ø Аналогично находятся остальные обратные тригонометрические функции. (arcsinx)¢ =1/Ö 1-x2Ø , (arccosx)¢ = - 1/Ö 1-x2Ø , (arctgx)¢ =-1/(x2+1).
(конечный или бесконечный),
то существует и предел при этом выполняется равенство:
Доказательство:
для некоторой точки с, расположенной между точками а и х. При х→ а имеем с→ а и, следовательно если ƒ (х)→ 0 и g(х)→ 0 (соответственно, |ƒ (х)|→ +∞, |g(х)|→ +∞ ), когда а→ А. Правило Лопиталя позволяет во многих случаях найти предел вида или, иными словами, раскрыть неопределенность. В ряде случаев по правилу Лопиталя удается раскрыть неопределенности вида
которое приводит указанные неопределенности к виду 0•х. Производные и дифференциалы высших порядкров. Если для функции y=f(x) определена производная у(к-1) порядка (к-1), то производную у(к) порядка к (при условии ее существования) определяют как производную от производной порядка (к-1), т.е. у(к) = (у(к-1))′ . В частности, у’’=(y’)’- производная второго порядка, y’’’=(y’’)’ – третьего и т.д. При вычислении производных высших порядков используют те же правила, что и для вычисления у’. Табл. Произ-х высшего порядка:
Дифференциалы высших порядков ф-и y=f(v) последовательно определяются таким образом: d2y=d(dy) – диф-л 2-го порядка d3y=d(d2y)… dny=d(d n-1 y) - диф-л n-го порядка Если ф-я y=f(v), где v – независимая переменная или линейная ф-я v=кх+в переменной х, то d2y=y’’(dv)2, d3y=y’’’(dv)3, …, dny=y(n)(dv)n. Если же y=f(v), где v=g(x)≠ кх+в, то d2y=f’’(v)*(dv)2+ f’(v)d2v и т.д. (т.е. св-во инвариантности не выполняется). Формула Тейлора. Пусть функция f(x) имеет n производных в точке x0. Многочлен T(x) = f(x0) + ( (f’(x0))/1! )(x – x0)1 + (f ”(x0))/2! (x – x0)2 +…+ (f (n)(x0))/n! (x – x0)n Называется n-м многочленом Тейлора функции f(x) в точке x0. Пусть функция f(x) имеет в ε – окрестности точки x0 (n + 1) производных. Тогда для любой точки х из этой окрестности найдется точка с, расположенная между точками х и х0, для которой выполняется следующая формула F(x) = T(x) + ( f(n+1)(c) / (n + 1)! )(x – x0)n+1 – формула Тейлора, где Т(x) – n-й многочлен Тейлора функции f(x) в точке х0, rn(x) = ( f(n+1)(c) / (n + 1)! )(x – x0)n+1 – остаточный член в формуле Лагранжа. Предположим, что (n+1)-я производная функция f(x) ограничена в окрестности точки х0. Тогда rn(x) является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х-х0)n при х ® х0. (lim (rn(x)/(х-х0)n) = lim [((f(n+1)(c))/(n+1)! )(x-x0)] = 0 – в силу Х®Хо Х®Хо Ограниченности f(n+1) (c) в окрестности х0.) Следовательно ошибка в приближенном равенстве f(x) » Tn(x) (*) также является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х – х0)n, когда х ® х0. Формула (*) применяется для приближенных вычислений. Используя равенство (*) можно подучить, например следующие формулы (при х®0): 1) (1+x)a » 1 + (a/1! )x + (a(a-1)/2! )x2 +…+ (a(a-1)…(a-n+1)/n! )xn, 2) ex » 1 + x/1! + x2/2! +…+ xn/n!, 3) ln(1+x) » x – x2/2 + x3/3 – x4/4 +…+(-1)n+1xn/n 4) sin x » x – x3/3! + x5/5! – x7/7! +…+(-1)kx2k+1/(2k+1)!, 5) cos x » 1 – x2/2! + x4/4! – x6/6! +…+(-1)kx2k/(2k)!, где в каждом случае ошибка является бесконечно малой относительно хn.
Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-01; Просмотров: 625; Нарушение авторского права страницы
Теорема (правило Лопиталя ). Пусть А – число, символ одностороннего предела (А=а±0) или символ бесконечности (А=±∞ ). Пусть функции ƒ (х) и g(х) либо обе бесконечно малые, либо обе бесконечно большие при х→ А. Тогда, если существует предел
Доказательство теоремы дадим в случае, когда ƒ (х) и g(х) – бесконечно малые функции и А=а – число. Изменим, если это необходимо, определение функций ƒ (х) и g(х) в точке а так, чтобы значения этих функций в точке а были бы равны нулю: ƒ (х) = g(х)=0. Так как
и
Для этого следует воспользоваться тождеством