Ряды с комплексными членами. (cо слов Гончаренко)

Комплексное число представляется в виде a+b_*i, где а – действительная часть числа, i – мнимая единица (поясняю: мнимая единица – единица, квадрат которой равен «-1»).

Если суммы действительных(Sа_n) и мнимых (Sb_ni) частей комплексных чисел сходятся, то сходится и весь ряд комплексных чисел. (аналогичны и остальные определения.)

7. Свойства правильно сходящихся рядов: непрерывность суммы ряда, почленное дифференцирование и интегрирование. (!! предполагается равномерно сход=правильно сход).

Функция S(x), хÎ W является суммой ряда, если S(x) =lim _{n→ ∞} S(x), где S(x)=f₁(x)+f₂(x)+…+fn(x)

Если S(x), хÎ L (LÍ Ω ) является суммой ряда f₁(x)+f₂(x)+…+fn(x)+…=_n=1∑ ^∞ fn(x) (функциональный ряд), то говорят, что рядсходится на множестве L функции S(x).

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве L к функции S(x), если для любого числа e> 0 существует номер N такой, что при n³ N cразу для всех хÎ L выполняется неравенство ½ S(x) -Sn (x)½ < e

Если функциональный ряд сходится на множестве L, то на этом множестве сходимость не обязана быть равномерной, однако на некотором подмножестве

множества L сходимость может оказаться уже равномерной.

Признак равномерной сходимости Вейерштрасса.

Если члены функционального ряда f₁(x)+f₂(x)+…+fn(x)+… удовлетворяют на множестве L неравенством ½ fn(x)½ ≤ Сn (n=1, 2…), где Сn – члены сходящегося числовогоряда С1+С2+…+ Сn+… то функциональный ряд сходится на множестве L равномерно.

Свойства:

Если функции fn(x) непрерывны на [a, b], составленный из них ряд f₁(x)+f₂(x)+…+fn(x)+…, то

1.Функция f(x) на [a, b] непрерывна

2._a∫ ^bf(x)dx=._a∫ ^b f₁(x)dx+…+._a∫ ^b fn(x) dx+…

Если fn(x) имеют непрерывную производную на [a, b] и на этом отрезке

а)ряд f₁(x)+f₂(x)+…+fn(x)+… сходится к f(x)

б)ряд f₁'(x)+f₂'(x)+…+fn'(x)+… сходится равномерно, то f(x) имеет на этом отрезке непрерывную производную f ' (x)= f₁'(x)+f₂'(x)+…+fn'(x)+…

Степенные ряды.

Опр. Выражение вида а0+а1х+а2х²+…+а_кх^к+…, (*)

где а0, а1, а2, … - некоторая числовая последовательность наз степенным рядом.

а0, а1, а2, …- коэффициенты степенного ряда.

Если х придавать числовые значения, то будем получать числ. Ряды, которые могут сходиться и расходиться. Множество Х, при которых ряд (*) сходится, называется областью сходимости.

Теорема Абеля.

1)Если ряд (*) сходится в некоторой точке х0≠ 0, то этот ряд будет сходится и при всех х, удовлетворяющих условию: |х|< |х0|.

2)Если ряд (*) расходится в т. х1≠ 0, то этот ряд расходится при всех x: |х|> |х1|.

Док-во.1). По усл степенной ряд а0+а1х₀+а2х₀²+…+а_кх₀^к+…(**) сходится, поэтому а_кх₀^к→ 0, при к→ ∞. Значит, сходящаяся последовательность {а_кх₀^к}

ограничена, т.е. сущ-т константа М такая, что |а_кх₀^к|< M для всех к=0, 1, 2…

Рассмотрим |а0|+|а1х₀|+|а2х₀²|+…+|а_кх₀^к|+….(***)

Пусть |х|< |х0|, тогда |а_кх^к|=|а_кх0^к||х/х0|< М|х/х0|^к, причем |х/х0|< 1. Поэтому члены ряда (***) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда

М+М|х/х0|+М|х/х0|²+…+М|х/х0|^к+…- суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Поэтому ряд (***) сходится, а ряд (**) сходится абсолютно.

2)Предположим, что ряд(**) расходится при х=х1, но для некоторого х: | х |> х1 По первой части теоремы ряд (**) сходится абсолютно при х=х1, следовательно получили противоречие.

Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости.

Для степенного ряда (*) возможны только следующие случаи:

1)ряд сходится только в т.х=0

2)ряд сходится при всех х

3)существует такое R> 0, что ряд сходится в интервале (-R; R) и расходится вне отрезка [-R; R]. R- радиус сходимости степенного ряда

Теорема. Если существует предел D=lim|a_n₊₁/a_n| при n→ ∞, отличный от 0, то R степенного ряда а0+а1х+а2х²+…+а_nхⁿ+…равен:

R=1/D= lim|a_n/a_n-1| при n→ ∞.

Опр. Пусть ф-я f(x)=Σ _n₌₁^∞a_nx, то говорят, что ф-я разлагается в степенной ряд с обл. сходимости(-R; R)

Теоремы о св-вах степенных рядов.

1. Пусть ф-я f(x) разлагается на интервале (-R; R) в степенной ряд а0+а1х+а2х²+…+а_nхⁿ+…(1). Рассмотрим степенной ряд

а1+а2х+…+а_nхⁿ^-1+…(2), полученный почленным дифференцированием ряда (1). Тогда: ряд (2) имеет тот же радиус сходимости R, Что и (1). На вем интервале (-R; R) ф-я f(x) имеет производную f(x)’, которая разлагается в степенной ряд (2).

2. Если ф-я f(x) разлагается на интервале (-R; R) в степенной ряд, то она интегрируема в этом интервале. Интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда.

Разложение ф-й в степенные ряды. Ряд Маклорена.

Предположим, что ф-я f(x) разлагается на отрезке [-r; r] в степенной ряд

f(x)=а0+а1х+а2х²+…+а_nхⁿ +…(1)

Найдем а0, а1, а2, …

f’(x)=а₁+2а₂х+3a₃х²…+…

f’’(x)=2а₂+6а₃х+4*3a₄х²…+…

…

f⁽ⁿ⁾(x)=n(n-1)(n-2)*…*1*a_n+… Полагая, что х=0, получим: f(0)=a₀, f’(0)=a₁ f’’(0)=2a₂, …, f⁽ⁿ⁾(0)=n! a _n

Имеем: a _n= f⁽ⁿ⁾(0)/n!

Опр. Пусть ф-я f(x) определена в некоторой окрестности точки х=0 и имеет в этой точке произволдные всех порядков. Степенной ряд f(0)+ (f’(0)/1! )x+ (f’’(0)/2! )x²+…+(f⁽ⁿ⁾⁽0)/n! )xⁿ наз рядом Маклорена для ф-и f(x).

Примеры разложений ф-й:

е^х=1+х+х²/2! +х³/3! +…+хⁿ/n! +… для всех х.

Sinx=x- х³/3! +х⁵/5! +…+(-1)ⁿх²ⁿ⁺¹/(2n+1)! +…

Cosx=1- х²/2! +х⁴/4! +…+(-1)ⁿх²ⁿ/(2n)! +…

Ln(1+x)= x- х²/2+х³/3-…+(-1)ⁿхⁿ⁺¹/(n+1)+…

Arctgx= x- х³/3+х⁵/5+…+(-1)ⁿх²ⁿ⁺¹/(2n+1)+…

(1+x)^a=1+(a/1)x+(a(a-1)/1*2)x²+…+(a(a-1)*…*(a-n+1)/n! )xⁿ+…

Ln(1+x)/(1-х)= 2(x+х³/3+х⁵/5+…)

1/1-х=1+х+х²+х³+…

1/1+х=1-х+х²-х³+…

Для натуральных а=м получим бином Ньютона:

(1+x)^м=1+(м/1)*x+(м(м-1)/1*2)x²+…

Ряд Тейлора.

Пусть ф-я f(x) определена в некоторой окрестности точки х=0 и имеет в этой точке произволдные всех порядков. Степенной ряд f(х0)+ (f’(х0)/1! )*(x-х0)+ (f’’(х0)/2! )*(x-х0)²+…+(f⁽ⁿ⁾(х0)/n! )*(x-х0)ⁿ+… называется рядом Тейлора с центром х0 джлдя ф-и f(x).

Теорема. Если ф-я разлагается в некоторой окрестности т. х0 по степеням х-х0, то он явл рядом Тейлора с центром х0.

Приложения степенных рядов.

^1.Вычисление значений показательной ф-и: пусть х=Е(х)+q, где Е(х)-целая часть числа х, q- дробная его часть, тогда е^х= е^Е(х)* е^q, гденаходят с помомощью умножения, а – с помощью разложения е^х=1+х+х²/2! +х³/3! +…+хⁿ/n! +…. При 0≤ х< 1, этот ряд быстро сходится, поскольку остаток ряда R_n(x) оценивается след образом:

0≤ R_n(x) < хⁿ⁺¹/n! n

2. Вычисление значений логарифмической ф-и: Ln(1+x)= x- х²/2+х³/3-…+(-1)ⁿхⁿ⁺¹/(n+1)+…

Заменим х на –х: Ln(1-x)= -x- х²/2-х³/3-…+-хⁿ⁺¹/(n+1)-… вычитая из первого равенства второе получим: Ln(1+x)/(1-х)= 2(x+х³/3+х⁵/5+…), где |х|< 1.

3. Вычисление значений синуса и косинуса:

Sinx=x- х³/3! +х⁵/5! +…+(-1)ⁿх²ⁿ⁺¹/(2n+1)! +…

Cosx=1- х²/2! +х⁴/4! +…+(-1)ⁿх²ⁿ/(2n)! +…

Ряды при больших х сходятся медленно. Но, учитывая периодичность ф-й синуса и косинуса и формулы приведения тригонометрич. Ф-й, достаточно уметь вычислять sinx, cosx для промежутка 0≤ х ≤ π /4.

4. Разложение ф-й в степенные ряды исп-ся для приближенного нахождения интегралов, а также при решении дифференциальных уравнений.

Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 13 14 15 Следующая