Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется выражение, связывающее независимую переменную х, функцию у и ее производные.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение.

Дифференциальное уравнение n-го порядка вида у⁽ⁿ⁾ =f(x, у, у', …у^(n-1)) (*)

называется разрешенным относительно высшей производной.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка называется всякая функция у=φ (x), определенная для значений х на конечном или бесконечном интервале, имеющая производные до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка этой функции и ее производных в дифференциальное уравнение обращает последнее в тождество по х.

Нахождение решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого дифференциального уравнения.

во многих случаях требуется находить решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям, например, задача Коши состоит в отыскании решения диф. уравнения (*), определенного в некоторой окрестности точки х₀ и такого, что

у(х₀)= у₀, у'( х₀)=у₁,..., у^(n-1)(х₀)= у_n-1, где у_0,у_{1, …,} у_n-1 – заданные числа.

Линейные дифференциальные уравнения: однородные и неоднородные.

Фундаментальная система решений. Метод Лагранжа вариации постоянных.

Линейное дифференциальное ур-е n-го порядка: y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y⁽ⁿ^-1) +…+a_n(x) y = b(x) наз неоднородным, если b(x)≠ 0; однородным уравнение наз в том случае, если b(x)=0.

Если у₁=φ ₁(х), у₂=φ ₂(х), … у_k=φ _k(х) – решения однородного ур-я y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y⁽ⁿ^-1) +…+a_n(x) y =0(*), то любая их линейная комбинация С₁у₁+ С₂у₂+…+ С_kу_k, где С₁, С₂– постоянные, также решение этого однородного ур-я.

Система ф-й наз линейно независимой на интервале (a, b), если ни одна из этих ф-й не может быть выражена в виде линейных комбинации остальных ф-й. Фундаментальный набор решений –это набор линейно независимых решений ур-я (*), содержащий количество ф-й, равное порядку дифференциального ур-я.

Теорема. Для того, чтобы решения у₁=φ ₁(х), у₂=φ ₂(х), … у_k=φ _k(х) линейного однородного диф-го ур-я с непрерывными на отрезке [a, b] коэффициентами были Л.Н.З. на интервале (a, b), необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского

| φ ₁(х) φ ₂(х)… φ _n(х) |

W(x)=| … |

| φ ₁⁽ⁿ^-1)(х) φ ₂⁽ⁿ^-1)(х)… φ _n⁽ⁿ^-1)(х)|

был отличен от нуля при любом х из [a, b].

Любое решение однородного ур-я можно представить в виде линейной комбинации фундаментального набора решений: ў=∑ _i₌₁ⁿ C_iy_i , где Ci (i=1, 2, …) – произвольные постоянные. (общее решение однородного диф. Ур-я(*)).

Связь между общим и решением однородной и неоднородной систем.

Пусть ў – общее решение однородного уравнения(*), ỳ - некоторое решение неоднородного уравнения y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y⁽ⁿ^-1) +…+a_n(x) y = b(x) (**). Тогда у= ў+ ỳ - общее решение неоднородного ур-я (**). Зная общее решение неоднородного ур-я, легко найти любое его частное решение.

Метод Лагранжа вариации постоянной.

Сначала решается однородное линейное дифференциальное уравнение (*), соответствующее неоднородному (**): находят общее решение (*). Затем постоянную величину С, входящую в полученное общее решение, полагают новой неизвестной функцией от х: С=С(х), т.е. варьируют произвольную постоянную. Найденную ф-ю подставляют в полученное на первом этапе общее решение однородного уравнения, получаем общее решение неоднородного уравнения.

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.

y” + py’ + qy = f(x)

Алгоритм решения

I) Необходимо найти общее решение однородного линейного уравнения

y” + py’ + qy = 0, соответствующего заданному неоднородному уравнению.

Для этого необходимо сначала решить характеристическое уравнение

l² + pl + q = 0.

В зависимости от решения характеристического уравнения необходимо записать общее решение однородного линейного уравнения.

Возможны следующие случаи:

1) D = p² – 4q > 0, l_{1, 2} – два действительных различных корня характеристического уравнения, тогда общее решение имеет вид:

Y = C₁e^l^1x + C₂e^l^2x; C₁, C₂ = const.

2) D = p² – 4q = 0, l =-p/2 – единственный корень характеристического уравнения, тогда общее решение имеет вид:

Y = C₁e^l^x + C₂e^l^x; C₁, C₂ = const.

3) D = p² – 4q < 0, l_{1, 2}= a + ib – два комплексно-сопряженных корня характеристического уравнения, тогда общее решение имеет вид:

Y = C₁e^a^x sinbx + C₂e^a^xcosbx, C₁, C₂ = const.

II) Необходимо найти частное решение неоднородного линейного уравнения по следующей таблице.

Поиск частных решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами y” + py’ + qy = f(x)

F(x)	Дополнитель-ные условия	Частное решение φ (x)
p_n(x)- многочлен n- ой степени	q ≠ 0	φ (x) = P_n(x)
q = 0	φ (x) = x P_n(x)
p = q = 0	φ (x) = x² P_n(x)
ae^bx; где a, b = const	b ≠ l_{1, 2}	Φ (x) = Ae^bx, где A = const
b = l₁	Φ (x) = Axe^bx, где A = const
b = -p/2 = l	φ (x) = Ax² e^bx, где A = const
asin kx + + bcos kx	k ≠ 0, p ≠ 0	φ (x) = Asin kx + Bcos kx
p = 0, q = k²	φ (x) = x (Asin kx + Bcos kx)
p_n(x) + de^bx + asin kx+ bcos kx		Cумма частных решений для каждого слагаемого
(p_n(x) sin kx + q_m(x) cos kx) e^bx		φ (x) = (P_n(x) sin kx + Q_m(x) cos kx) e^bx

III. Общее решение неоднородного линейного уравнения находится как сумма общего решения однородного линейного уравнения и частного решения неоднородного линейного уравнения y = φ (x) + Y

Нормальная система дифференциальных уравнений. Векторная запись нормальной системы.

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка есть F(x, y, y¢ )=0. Если это уравнение можно разрешить относительно у¢, т.е. записать в виде у¢ =f(x, y), то говорят, что уравнение записано в нормальной форме (или в форме Коши).

Рассмотрим геометрическую трактовку нахождения решений уравнения. Возьмём некоторую точку (x₀, y₀) из области определения D функции f(x, y). Пусть у=j(х) – интегральная кривая, проходящая через эту точку. Из уравнения вытекает, что j¢ (х₀)=(х₀, у₀). Таким образом, угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через точку (х₀, у₀) равен (прих=х₀) числу f(х_0,у₀).

Построим теперь для каждой точки (х₀, у₀) из области определения прямую, проходящую через эту точку и имеющую угловой коэффициент, равный f(х₀, у₀). В этом случае принято говорить, что эта прямая определяет направление в точке (х₀, у₀), а на множестве D задано поле направлений.

Если каждое уравнение, входящее в систему, является дифференциальным, т.е. имеет вид соотношения, связывающего неизвестные функции и их производные, то говорят о системе дифференциальных уравнений. Так система дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями записывается обычно в виде

í j(t, x₁, x₂, dx₁/dt, dx₂/dt)=0

î y( t, x₁, x₂, dx₁/dt, dx₂/dt)=0.

На системы дифференциальных уравнений естественным образом обощается постановка задачи Коши для одного уравнения. Например, в случае данной системы задача Коши состоит в нахождении решения х₁(t), x₂(t), удовлетворяющих начальным условиям х₁(t₀)= х₁⁰, x₂(t₀)= x₂⁰, где t_0, х₁⁰, x₂⁰ – заданные числа. Для случая системы может быть доказана теорема существования и единственности решения задачи Коши, аналогичная теореме для одного уравнения.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Если в некоторой окрестности точки (х₀, у₀) функция f(х, у) определена, непрерывна и имеет непрерывную частную производную f¢ _y, то существует такая окрестность точки (х₀, у₀), в которой задача Коши имеет решение, притом единственное. (приводится без доказательства)

Задача о нахождении решений дифференциального уравнения у¢ =f(x, y), удовлетворяющих начальному условию у(х₀)=у₀, называется задачей Коши.

К системам дифференциальных уравнений первого порядка в известном смысле сводятся уравнения (и системы уравнений) любого порядка. Пример.

Пусть дано уравнение у¢ ¢ ¢ =f(x, y, y¢, y¢ ¢ ). Если обозначить функцию y¢ и y¢ ¢ соответственно через m и n, то уравнение можно заменить системой

ì y¢ =m

í m¢ =n

î n¢ =f(x, y, m, n)

состоящей из трёх уравнений первого порядка с тремя неизвестными функциями.

Векторная запись нормальной системы. (со слов Гончаренко)

Пусть дана нормальная система из n уравнений с n неизвестными.

ì x₁=f(x₁, x₂, …, x_n),

ï x₂= f(x₁, x₂, …, x_n),

í …..

î x_n= f(x₁, x₂, …, x_n). .

Представим набор решений как вектор х= (x₁, x₂, …, x_n) в проистранстве Rⁿ.

....

Функцию также можно записать в векторном виде f=(f(x), f(x), …, f(x)).

Векторная запись всей системы будет выглядеть следующия образом:

...

x = f ( x ).

Теория вероятностей.

Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 14 15 Следующая