Случайные события и предмет теории вероятностей.

а)Некоторое событие называется случайным по отношению к данному опыту, если при осуществлении этого опыта оно может наступить, а может и не наступить (напр, выпадение герба при бросании монеты).

Согласно данному определению событие считается случайным, если его наступление в результате опыта (опыт – совокупность условий, которые можно воспроизводить бесконечное число раз) представляет собой лишь одну из возможностей.

Под это определение формально подходят такие события, которые обязательно наступают в результате данного опыта – достоверные события.

аналогичное замечание относится и к невозможным событиям, т.е. таким, которые никогда не наступают при совершении данного опыта.

Теория вероятностей занимается изучением закономерностей, присущих массовым случайным событиям.

б)Сравнивая между собой случайные события, мы говорим, что одно из них более вероятно. Чтобы придать подобным сравнениям количественный смысл, необходимо с каждым событием связать число, выражающее степень возможности данного события:

Пусть А – случ. событие в некотором опыте. Опыт произведен N раз и А наступило в N_A случаях. Составим отношение: μ = N_A/N.Оно называется частотой наступления А в серии опытов. Для многих случайных событий частота обладает свойством устойчивости, т.е. с увеличением числа опытов стабилизируется и приближается к некоторой постоянной р(А).

Вероятность случайного события – это связанное с данным событием постоянное число, к которому приближается частота наступления этого события в длинных сериях опытов. (статистическое определение: опирается на понятия " опыт", " наступление события" )

Комбинация событий.

1)Сумма событий А и В есть событие С, которое заключается в том, что либо А произошло, либо В, либо А и В произошли вместе. С=А+В

2)Произведение событий А и В есть событие Д, которое заключается в том, что А и В произошли вместе. Д=АВ

3)Противоположное событие. А – исходное событие, Ā – противоположное событие заключается в том, что А не произошло (напр, А – попадание при выстреле, Ā – промах).

4)Равенство между событиями. События А и В считаются равными, если всякий раз, когда наступает одно из них, наступает и другое.

Каждое событие можно истолковать как некоторое множество, а операции А+В, АВ, и Ā над событиями – как операции объединения, пересечения и дополнения для множеств.

5)А и В несовместны, если они не могут произойти вместе в одном опыте. АВ=Æ

Формула сложения вероятностей.

Если А и В несовместны р(А+В)=р(А)+р(В)

р(А)+р(Ā )=1.

Каждому событию А ставится в соответствие некоторое подмножество множества W. Все возможные исходы (элементы множества) – множество элементарных событий. W={ω i} Все возможные события – система подмножеств s.

s={A1, A2...}

1.Любое подмножество можно представить в виде суммы ω i.

2.Если А1, А2, …Î s (алгебра событий), то А1È А2È …Î s, А1Ç А2Ç …Î s (если А1, А2, … - события, то их объединение тоже событие)

3.Если А – событие, то Ā есть тоже событие.(АÎ s, то Ā Î s)

Аксиомы вероятностей.

1.Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число р(А), называемое вероятностью события А.

2.Если события А1, А2, …попарно несовместны, то р(А1, А2, …)= р(А1)+р(А2)+…

Комбинаторное правило умножения. Размещения, перестановки и сочетания.

Одни события явл. комбинациями других. И это необходимо учитывать при нахождении вероятностей.

Комбинаторное произведение событий. Пусть А и В – два события. Произведение событий А*В есть событие Д, заключающееся в том, что А и В произошли вместе: А*В=Д. Аналогично определяется произведение любого множества событий.

Размещения. Перестановки, сочетания.

Всевозможные группировки из данных n элементов по м в каждой, отличающиеся друг от друга либо самими элементами. Либо порядком расположения эл-в, называют размещениями из к элементов по m.

Например, размещения из 3-х эл-в а, б, с: аб, ас, ба, бс, са.сб. Число всех размещений из n эл-в вычисляют: A_n^m=n! /(n-m)!

Перестановками из n эл-в наз их группировки, отличающиеся друг от друга только порядком входящих в них эл-в. Например, перестановки из а, в, с: авс, сва, вас, вса, асв, сав. Число всех различных перестановок: Р_n= n!

Всевозможные группировки из данных n эл-в по m в каждой, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом, наз сочетаниями из n эл-в по m.

Пример: сочетания из а, в, с, д по 2: ав, ас, ад, вс, вд, сд.

Число всех сочетаний из n эл-в по m:

C_n^m = n! /(m! *(n-m)! ).

Классический способ подсчета вероятностей.

Опыт (Е) ® множество элементарных исходов: А₁, А₂…:

1) все А_i равновозможные

2) любые два исхода несовместны

3) А₁ È А₂È … = W

Р {А} = m/n, где n – общее число элементарных исходов, связанных с Е, m – число элементарных исходов, приводящих к А

Геометрические вероятности

Геометрические вероятности – вероятность попадения точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.).

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L на удачу ставится точка (поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L), вероятность попадения точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. Вероятность попадения точки на отрезок l определяется равенством

P =Длина l / Длина L.

Пусть плоскость фигуры g составляет часть плоскости фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка, т. е. брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G. Вероятность попадения брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g. Вероятность попадения точки в фигуру g определяется равенством P = Площадь g / Площадь G.

Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121314 15 Следующая