![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Правило сложения вероятностей.
Если событие А и В несовместны, то Р{А + В} = Р{А} + Р{В} Доказательство: Е, Nраз , NА раз наблюдалось событие А, NВ раз наблюдалось событие В, NА+В раз наблюдалось событие А+В. Так как А и В несовместны, то NА+В = NА + NВ, NА+В / N = NА / N+ NВ / N. Если устремить N ® ¥, то получается Р{А + В} = Р{А} + Р{В} Обобщение: Если А1, А2, …, Аn – попарно несовместны, то Р{А1 + А2 + … + Аn } = Р{А1} + Р {А2}+ … + Р {Аn}
Условная вероятность. Правило умножения вероятностей Пусть A и В – два случайных события по отношению к некоторому опыту s, причём р(В) не равно нулю. Число р(АВ)/р(В) называется вероятностью события А при условии, что наступило событие В, или просто условной вероятностью события А. Таким образом рв(А) = р(АВ)/р(В). Пусть N – общее число экспериментов, NB - число экспериментов, в которых имело место событие В. NАВ – Число экспериментов, в которых имели место события А и В одновременно. Отношение NАВ/NB – частота события А при условии, что наступило событие В. р(АВ)=рВ(А)р(В) – Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из этих событий при условии другого, умноженной на вероятность самого условия. Аналогичная формула справедлива для трёх событий. р(А1А2А3)=р(А1)рА1(А2)рА1А2(А3)
А не зависит от В, если выполняется равенство рВ(А)=р(А). Наступление В не оказывает влияния на наступление события А. Правило умножения вероятностей - Если событие А не зависит от В, то справедливо равенство р(АВ)=р(А)р(В). (веростность произведения равна произведению вероятностей) Формула полной вероятности. Формула Байеса Если события Н1, Н2, …, Нn попарно несовместны и образуют полную группу, то для вероятности любого события А справедлива формула р(А)=рН1(А1)р(Н1)+рН2(А)р(Н2)+…+рHn(А)р(Нn). Вероятность события А равна сумме произведений условных вероятностей этого события по каждой из гипотез на вероятность самих гипотез. Формула Байеса. (условие – событие А может наступить только с одной из гипотез). Эта формула определяет вероятность, что имела место именно эта гипотеза. Вывод формулы. p(AHi)=pHi(A)p(Hi) p(HiA)=pA(Hi)p(A) приравниваем правые части, получим pHi(A)p(Hi)=pA(Hi)p(A) воспользуемся формулой полной вероятности. pA(Hi)= рHi(A)p(Hi). рН1(А1)р(Н1)+рН2(А)р(Н2)+…+рHn(А)р(Нn) Дискретная СВ и ее закон распределения. Величина, принимающая в результате испытания (опыта) определенное значение, называется случайной величиной. СВ Х называется дискретной, если существует конечное и счетное множество S={х1, х2, …} такое, что Р(ХÎ S)=1. Числа х1, х2, …называются возможными значениями СВ Х.
Таблица
называется законом распределения дискретной СВ Х. Для любой СВ функция распределения – F(x)=P(X< x). В случае дискретной СВ функция распределения имеет вид
F(x) – ступенчатая функция со скачками в х1, х2, …, причем величины скачков равны р1, р2, … Числовые хар-ки СДВ. Математическим ожиданием дискретной СВ Х, множество возможных значений которой конечно, называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности: М(Х)=х1р1+х2р2+…+хnpn Свойства. 1.Матем. ожидание константы равно константе: М(С)=С 2.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х) 3.Математическое ожидание суммы СВ равно сумме мат. ожиданий слагаемых: М(Х1+Х2+…+Хn)=M(X1)+M(X2)+…+M(Xn) 4.Математическое ожидание произведений независимых СВ равно произведению математических ожиданий сомножителей. (дискр.СВ наз. независимыми, если Р(Х1=а1, …Хn=an)=P(X1=a1)*…Р(Xn=an). Для любой СВ Х разность Х-М(Х) называется отклонением Х. Математическое ожидание квадрата отклонения СВ Х называется дисперсией Х. По определению D(X)=M(X-M(X))2. Стандартное отклонение СВ Х определяется как корень квадратный из дисперсии и обозначается s(х). Из свойств математического ожидания: D(X)=M(X2)-M(X)2 Свойства. 1.Прибавление (вычитание) константы к СВ не меняет ее дисперсии D(X+C)=D(X) 2.Постоянный множитель выносится из-под знака дисперсии в квадрате D(СX)=С2D(X) 3.Дисперсия суммы независимых СВ равна сумме дисперсий слагаемых D(X1+…+Xn)=D(X1)+…+ D(Xn) Важно помнить, что дисперсия константы равна 0: D(C)=0 Начальным моментом порядка К СВ Х называют математическое ожидание величины Хк: nк=М(Хк) Центральным моментом порядка к случайной величины Х называют математическое ожидание величины (Х-М(Х)) к mк=М[(X-M(X)) к] Cоотношение, связывающее начальные и центральные моменты: m2=n2-n12 При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики – асимметрию и эксцесс (для нормального распределения эти характеристики равны 0). Асимметрией теоретического распределения (теоретическим называют распределение вероятностей) называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения: Аs=m3\s3 Эксцессом теоретического распределения называют характеристику, которая определяется следующим равенством: Ек=(m4\s4)-3
Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-01; Просмотров: 574; Нарушение авторского права страницы