КОНЪЮНКЦИЯ (Логическое умножение)

Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и» называется операцией логического умножения или конъюнкцией.

В русском языке она выражается союзом И. В математической логике используется знак &. Конъюнкция – двухместная операция; записывается в виде: A& B. Значение такого выражения будет ЛОЖЬ, если значение хотя бы одного из операндов ложно.

Так, из приведенных ниже четырех составных высказываний, образованных с помощью операции логического умножения, истинно только четвертое, так как в первых трех составных высказываниях хотя бы одно из простых высказываний ложно:

(1) «2*2=5 и 3*3=10»

(2) «2*2=5 и 3*3=9»

(3) «2*2=4 и 3*3=10»

(4) «2*2=4 и 3*3=9»

 

При записи на формальном языке алгебры логики составное высказывание F, которое получится в результате конъюнкции двух простых высказываний: F=A& B

C точки зрения алгебры высказываний мы записали формулу функции логического умножения, аргументами которой являются логические переменные А и В, которые могут принимать лишь два значения «истина» (1) и «ложь» (0). Значение функции можно определить с помощью таблицы истинности данной функции, которая показывает, какие значения принимает логическая функция при всех возможных наборах ее аргументов.

 

Таблица истинности функции логического умножения

A	B	F=A& B

ДИЗЪЮНКЦИЯ (Логическое сложение)

Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза «или» называются операцией логического сложения или дизъюнкцией.

 

Операцию логического сложения (дизъюнкцию) принято обозначать либо знаком «v», либо знаком сложения «+». Переменные так же принимают значения истина (1) и ложь (0)

Так, из приведенных ниже четырех составных высказываний, образованных с помощью операции логического сложения ложно только первое, так как в последних трех составных высказываниях хотя бы одно из простых высказываний истинно:

(1) «2*2=5 и 3*3=10»

(2) «2*2=5 и 3*3=9»

(3) «2*2=4 и 3*3=10»

(4) «2*2=4 и 3*3=9»

 

Таблица истинности функции логического умножения

A	B	F=AVB

Инверсия (Логическое отрицание)

Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией.

Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное - истинным. Соответствует частице НЕ, словосочетанию НЕВЕРНО, ЧТО.

Пусть А=«Два умножить на два равно четырем»- истинное высказывание, тогда высказывание F= «Два умножить на два не равно четырем», образованное с помощью операции логического отрицания, - ложно.

Операцию логического отрицания (инверсию) над логическим высказыванием А в алгебре логики принято обозначать А. Образуем высказывание F, являющееся логическим отрицанием А: F=А.

Истинность такого высказывания задается таблицей истинности функции логического отрицания:

A	F=А.

 

 

Пример:

А={На улице идет снег}.

А={Неверно, что на улице идет снег}

А={На улице не идет снег}

 

ИМПЛИКАЦИЯ (логическое следование)

В русском языке этой логической операции соответствует союзы если …, то; когда…, тогда; коль скоро …, то и т.п. Выражение, начинающиеся после союзов если, когда, коль скоро, называются основанием условноговысказывания. Выражение, стоящее после слов то, тогда, называется следствием. В логических формулах операция импликации обозначается знаком «à ». Импликация –двухместная операция; записывается так: Аà B

Например, высказывание «Если число делится на 10, оно делится на 5» истинно, так как истинны и первое высказывание (предпосылка), и второе высказывание (вывод).

Высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 3» ложно, так как из истинной предпосылки делается ложный вывод.

Таблица истинности логической функции импликация

A	B	Аà B

Эквивалентность (Логическое равенство)

Языковой аналог – союзы если и только если, тогда и только тогда, когда… Эквивалентность обозначается знаком «< < => > » или «< => ».

Рассмотрим, например, два высказывания: А= «Компьютер может производить вычисления» и В= «Компьютер включен». Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, истинно, когда оба высказывания либо истинны, либо ложны:

«Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включен».

«Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включен».

Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, ложно, когда одно высказывание истинно, а другое ложно:

«Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включен».

«Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включен».

 

A	B	А«=»B

Порядок всех пяти логических операций по убыванию старшинства следующий: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность

!

Задачи и упражнения

I. Логическое умножение (конъюнкция)

Задание №1

Даны высказывания:

а) А: «4*2=8» и В: =«(-5²)=25»

б) А: «2*2=5» и В: =«(6²)=36»

Образуйте конъюнкцию данных высказываний и определите, истинна она или ложна.

 

Задание №2

Среди следующих составных высказываний укажите конъюнкции и определите, истинны они или ложны:

а) Число 27 кратно 3 и 9

б) 17< 25< 23

в) Диагонали любого параллелограмма перпендикулярны и делят друг друга по полам.

г) Данный треугольник равнобедренный или равносторонний

 

Задание №3

Даны высказывания:

А: «Я купил велосипед»;

В: «Я путешествовал по России»

С: «Я участвовал в соревнованиях по велоспорту»

Сформулируйте высказывания, соответствующие следующим формулам:

Задание №4

Пользуясь высказываниями А, В и С, заданными в задании №3 запишите с помощью символов логики высказываний следующие высказывания:

1) Я не путешествовал по России

2) Я купил велосипед и участвовал в соревнованиях.

3) Я не путешествовал по России и не купил велосипед

4) Я купил велосипед, но не участвовал в соревнованиях.

5) Неверно, что я участвовал в соревнованиях и путешествовал по России

Задание №5

Докажите, что

 

Задание №6

Составьте таблицы истинности для следующих формул:

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм