V. Логическое равенство (эквивалентность)

Задание №1

Даны высказывания А: «Число 729 кратно 9» и В: «Сумма цифр числа 729 кратна 9». Сформулируйте высказывания:

а) A=> B б) B=> A в) A< => B

Задание №2

Даны высказывания М: «Треугольник ABC – равнобедренный» и N: «Две высоты треугольника АВС конгруэнтны». Сформулируйте высказывания:

а) M=> N б) N=> M в) M< => N

Задание №3

Даны высказывания А: «Сегодня ясно», В: «Сегодня идет снег», С: «Я буду писать письма» и D: «Сегодня понедельник».

Прочитайте, пользуясь обычным языком, составные высказывания:

Задание №4

Из элементарных высказываний А: «Завтра будет дождь», B: «Мы пойдем в театр», С: «Завтра будет солнечно» и D: «завтра занятия начнутся раньше обычного» образованы следующие составные:

а) Если завтра будет дождь, то занятия начнутся раньше обычного и мы пойдем в театр.

б) Завтра будет солнечно или будет дождь; и занятия начнутся раньше обычного.

в) Завтра, занятия начнутся раньше обычного и мы пойдем в театр в том и только том случае, если не будет дождя и будет солнечно.

Запишите данные составные высказывания, используя символы логики высказывания. Однозначно ли можно понять высказывание в?

Задание №5

Каждое из элементарных высказываний, входящее в следующие ниже составные высказывания, обозначьте буквой и запишите эти составные высказывания в символический форме.

а) В город я поеду на автобусе, или трамвае, или на такси.

б) Если прямая АВ перпендикулярна прямой CD и прямой KL, то прямые CD и KL параллельны

в) Четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его противоположные стороны попарно параллельны.

ЛОГИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ И ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ

Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы (логическое выражения), в которую входят логические переменные, обозначающие высказывания, и знаки логических операций, обозначающие логические функции.

Для записи составного высказывания в виде логического выражения на формальном языке(языка алгебры логики) в составном высказывание нужно выделить простые высказывания и логические связи между ними.

Запишем в форме логического выражения составное высказывание «(2*2=5 или 2*2=4) и (2*2 )». Проанализируем составное высказывание. Оно содержит два простых высказывания:

А= «2*2=5» - ложно(0)

В= «2*2=4» - истинно(1)

Тогда составное высказывание можно записать следующей форме:

«А или В) и ( )»

Теперь необходимо записать высказывание в форме логического выражения с учетом последовательности выполнения логических операций. При выполнении логических операций определен следующий порядок их выполнения: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Для изменения указанного порядка могут применяться скобки:

F=( )& ( )=(0V1)=1& 1=1

Таблицы истинности

При построении таблиц истинности целесообразно руководствоваться определенной последовательностью действий.

1. Необходимо определить количество строк в таблице истинности, которое равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных, входящих в логическое выражение. Если количество логических переменных равно n, то количество строк= .

2. Необходимо определить число столбцов в таблице истинности, которое равно количеству логических переменных плюс количество логических операций.

3. Необходимо построить таблицу истинности с указанном количеством строк и столбцов, обозначить столбцы и внести в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных.

4. Необходимо заполнить таблицу истинности по столбцам, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности.

Теперь можно определять значение логической функции для любого набора логических переменных.

В нашем случае функция F=(AVB)& ( ) имеет две переменные и, следовательно, количество строк в таблице истинности должно быть равно 4. Количество переменных равно двум, а количество логических операции - пяти, то есть количество столбцов в таблице истинности равно семи.

Пример.

Таблица истинности логической функции

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 Следующая ⇒