Теория информационных процессов и систем

Стр 1 из 18Следующая ⇒

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

В.В.Лавлинский

Теория информационных процессов и систем

Учебное пособие

для направления 230200.62 Информационные системы и 230400.62 Информационные системы и технологии

Воронеж, 2014

Основные задачи теории систем. Классификация систем

Учебные вопросы:

Введение.

История возникновения и развития системных представлений.

Системность как всеобщее свойство материи.

Множественность моделей систем.

Предмет и задачи теории информационных процессов и систем.

1.1. Введение

В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной форме не использовались бы системы, получившие название информационных. Целью разработки и применения информационной системы (ИС) любого уровня сложности является создание высококачественной системы, отвечающей потребностям заказчика, т. е. конкретной организации и ее подразделений. Реалии сегодняшнего дня таковы, что создаваемые информационные системы представляют собой сложные комплексы с многоуровневой иерархией и заметной динамикой в развитии, имеющие тенденцию к росту и интеграции как с другими аналогичными системами, так и с глобальными информационными системами.

В информатике понятие " система" широко распространено и имеет множество смысловых значений. Чаще всего оно используется применительно к набору технических средств и программ. Системой может называться аппаратная часть компьютера. Системой может также считаться множество программ для решения конкретных прикладных задач, дополненных процедурами ведения документации и управления расчетами.

Добавление к понятию " система" слова " информационная" отражает цель ее создания и функционирования. Информационные системы обеспечивают сбор, хранение, обработку, поиск, выдачу информации, необходимой в процессе принятия решений задач из любой области. Они помогают анализировать проблемы и создавать новые продукты, это взаимосвязанная совокупность средств, методов и персонала, обеспечивающих достижение поставленной цели.

Исходя из этого, вполне разумным и жизненно необходимым представляется требование о достаточно жестком управлении процессом разработки ИС. Более того, сама разработка должна подчиняться строгой дисциплине, включать стандартные процедуры и завершаться подготовкой нормативных документов. Рекомендуется использовать методы, регламентирующие уровень сложности технических решений.

В этой связи необходима теоретическая проработка вопросов математического описания функционирования информационных систем.

Предмет и задачи теории информационных процессов и систем

Специализированная обработка.

Конкретные задачи, которые должны решаться информационной системой, зависят от той прикладной области, для которой предназначена система. Области применения информационных приложений разнообразны: банковское дело, страхование, медицина, транспорт, образование и т. д., очевидно, что, например, конкретные задачи, решаемые банковскими информационными системами, отличаются от задач, для решения которых создаются медицинские информационные системы.

Хранение информации.

Можно выделить некоторое количество задач, не зависящих от специфики прикладной области. Естественно, такие задачи связаны с общими чертами информационных систем, рассмотренными в предыдущем разделе. Прежде всего, кажется бесспорным мнение о том, что наиболее существенной составляющей является информация, которая долго накапливается и утрата которой зачастую невосполнима. Конечно, уровень надежности и продолжительность хранения информации во многом определяются конкретными требованиями корпорации к информационной системе.

Адаптивность и развитие.

Следующей задачей, которую должно выполнять большинство информационных систем, - это хранение данных, обладающих разными структурами. Трудно представить себе более или менее развитую информационную систему, которая работает с одним однородным файлом данных. Более того, разумным требованием к информационной системе является то, чтобы она могла развиваться. Могут появиться новые функции, для выполнения которых требуются дополнительные данные с новой структурой. При этом вся накопленная ранее информация должна сохраняться.

Основными задачами теории информационных систем являются:

– описание структуры системы на основе функциональных характеристик (структурный или морфологический анализ);

– определение функций системы, заданной в соответствии с ее структурным описанием (функциональный анализ).

Эти виды анализа являются составными частями системного анализа.

Часто задачу структурного и функционального анализов заменяют задачей идентификации систем – задача определения структуры или параметров системы по результатам измерений или наблюдений.

Если определяются параметры системы – параметрическая идентификация, если структура системы – структурная идентификация.

Вопросы для самоконтроля:

1. Основные функции информационной системы.

2. Что такое информационный барьер? Какие информационные барьеры вы знаете?

3. Основные направления системных исследований.

4. Какие стадии проектирования больших систем существуют, что они из себя представляют.

5. Что такое система, элемент, подсистема?

6. Дайте определение структуры системы, эмерджентности.

7. Что представляет собой гетерогенность, многомерность.

8. В чем проявляется многокритериальность.

9. Как определить понятие большая система.

10. Что такое системный подход?

11. Что такое системный анализ?

12. Какая разница между структурным и функциональным подходами.

13. Что представляет собой теория подобия.

14. Назовите основные классы видов моделирования.

15. Основные задачи теории информационных систем.

Понятие информационной системы

Учебные вопросы:

Структура информационной системы.

Классификация информационных систем.

Процессы в информационной системе.

Основные свойства информационных систем.

Что можно ожидать от внедрения информационных систем.

Структура информационной системы

Информационная система представляет собой целенаправленное множество связанных элементов, характеризующееся определенной структурой и алгоритмом функционирования, который определяет зависимость выходных характеристик системы от влияния внешней среды и входных воздействий.

В настоящее время при анализе и синтезе больших систем используется системный подход. Отличие этого подхода от классического, когда синтезируют систему путем слияния компонент, разработанных отдельно, в том, что предполагается последовательный переход от общего к частному. В основе системного похода лежит описание функции системы в целом и синтез элементов системы путем соотношения функции с конкретным элементом системы.

Под структурой информационной системы понимается совокупность и взаимодействие ее отдельных подсистем. Каждая подсистема информационной системы в свою очередь является информационной системой и характеризуется множеством входов, выходов, законом и алгоритмом функционирования.

Структура часто служит способом описания системы. При этом выделяемые системы не обязательно соответствуют физически реализуемым блокам или подсистемам. Они выбираются исходя из удобства объяснения принципа действий системы и ее особенностей.

Одним из примеров информационных систем является система, включающая три основные компоненты:

– физическая компонента – носитель информационной системы (технические средства для использования информационных систем);

– информационная компонента – информационный фонд (способ организации системы записей):

– функциональная компонента – управление, обновление, информационный поиск, завершающая обработка.

Под структурным описанием информационной системы понимается изображение системы в виде структурной схемы, т.е. совокупности некоторых блоков, у которых заданы входы, выходы и связи между блоками. При этом закон функционирования блоков и их входные и выходные функции задаются в обобщенном виде.

Трудность описания и выбора структуры ИС заключается в том, что для осуществления тех или иных операций над информацией в системе создается и используется много дополнительной (служебной) информации.

Преимущество той или иной структуры ИС существенно зависит от расположения входов и входов системы.

Структура, как метод описания системы, зависит от того, с каких позиций происходит это описание, и может оказаться, поэтому различной для одной и той же системы.

Одна и та же система может иметь иерархическую структуру с точки зрения передачи и обработки информации, и централизованную с точки зрения выработки управляющих воздействий.

Пример. Рассмотрим систему сбора информации от нескольких датчиков в центральный пункт. Пусть заданы число входов, расположение датчиков в пространстве и число выходов. Известно, что x_i(t) представляется в виде непрерывных случайных функций времени, y_i(t) – в виде последовательности чисел, представляемых с помощью цифровых индикаторов.

Правило соответствия между x_i(t) и y_i(t), т.е. закон функционирования системы: y_i(t) = x_i(t)+Dx_i, где Dx_i – допустимая для i-го входа погрешность. Пусть для каждой пары x_i и y_i выбран алгоритм преобразования, состоящий в передаче сигнала x(t) в центр и преобразовании его в цифровую формулу.

Возможны варианты структуры системы:

1. Структура с независимыми линиями связи и независимыми для каждого из входов преобразований функции x(t) в цифровую формулу.

ЦИ₁

ЦИ₂

ЦИ₃

АЦП₁

АЦП₂

АЦП₃

Х₁

Х₂

Х₃

ЦИ – цифровой индикатор АЦП – аналого-цифровой преобразователь

2. Структура с независимыми линиями связи и последовательным опросом источников информации с помощью специальных сигналов, вырабатываемых из центра.

Как и в первом случае, преобразование информации в цифровую форму производится в центре. Поэтому, если центральное устройство преобразования и представления информации рассматривать в качестве единой подсистемы, то рассмотренные выше системы имеют одну структуру, которую можно назвать структурой с радиальными линиями связи и централизованной обработкой информации.

ЦИ₁

ЦИ₂

ЦИ₃

К₁

К₂

К₃

Распределитель

Х₁

Х₂

Х₃

АЦП

S - сумматор К – ключ распределительный

3. Адресная система сбора информации с общим каналом связи (магистральным).

ЦИ₁

ЦИ₂

ЦИ₃

ДШ

ДШ₁

Ш₁

ДШ₂

Ш₂

ДШ₃

Ш₃

АЦП₁

АЦП₂

АЦП₃

Х₁

Х₂

Х₃

Ш – шифратор ДШ – дешифратор

Здесь передача информации от i-го датчика производится по запросу от центрального пункта путем передачи специального сигнала адреса. Для приема этого сигнала в месте расположения каждого источника информации расположен дешифратор. Там же расположены АЦП и Ш, позволяющие передать по линии связи дискретное значение функции x_i(t) в момент ее опроса.

Информационные системы предназначены для накопления сведений, хранения их и выдачи по мере необходимости. Сведения эти представляют собой описания предметов реального мира или абстрактных предметов, возникающих в различных дисциплинах науки, и представляют собой некоторые истинные утверждения или сообщения. С течением времени или в результате ошибок они могут становиться «ложными». Поэтому, одной из дисциплин, лежащих в основе теории информационных систем, является математическая логика.

Математическими дисциплинами, пригодными для описания совокупностей предметов и их свойств, являются теория множеств и реляционная алгебра (математическая теория отношений). Сведения должны быть выражены на тех или иных языках. Для их обработки на ЭВМ, они должны быть выражены на формальных языках (в которых смысл предложений однозначно определяется их формой). Для обработки сведений на ЭВМ должна быть составлена программа, являющаяся машинной формой алгоритма. Наконец, обработка программы должна осуществляться за приемлемое время с допустимым расходованием систем, чем занимается теория сложных систем.

Таким образом, в основе теории информационных системлежат математическая логика, теория множеств, реляционная алгебра, теория формальных языков, теория алгоритмов и теория сложных систем.

Открытые и закрытые системы

Понятие открытой системы ввел Л. фон Берталанфи. Основные отличительные черты открытых систем - способность обмениваться с внешней средой энергией и информацией. Закрытые (замкнутые) системы изолированы от внешней среды (с точностью принятой в модели).

Методы описания систем.

Методы описания систем

Методы описания систем классифицируются в порядке возрастания формализованности – от качественных методов, с которыми в основном и связан был первоначально системный анализ, до количественного системного моделирования с применением ЭВМ. Разделение методов на качественные и количественные носит, условный характер.

- В качественных методах основное внимание уделяется организации постановки задачи, новому этапу ее формализации, формированию вариантов, выбору подхода к оценке вариантов, использованию опыта человека, его предпочтений, которые не всегда могут быть выражены в количественных оценках.

- Количественные методы связаны с анализом вариантов, с их количественными характеристиками корректности, точности и т. п. Для постановки задачи эти методы не имеют средств, почти полностью оставляя осуществление этого этапа за человеком.

Между этими крайними классами методов системного анализа имеются методы, которые стремятся охватить оба этапа – этап постановки задачи, разработки вариантов и этап оценки и количественного анализа вариантов, – но делают это с привлечением разных исходных концепций и терминологии, с разной степенью формализованности. Среди них: кибернетический подход к разработке адаптивных систем управления, проектирования и принятия решений (который исходит из развития основных идей классической теории автоматического регулирования и управления и теории адаптивных систем применительно к организационным системам); информационно-гносеологический подход к моделированию систем (основанный на общности процессов отражения, познания в системах различной физической природы); системно-структурный подход; метод ситуационного моделирования; метод имитационного динамического моделирования.

Управление как процесс.

Система управления.

Управление как процесс

Кибернетический подход к описанию систем состоит в том, что всякое целенаправленное поведение рассматривается как управление. Управление – в широком, кибернетическом смысле – это обобщение приемов и методов, накопленных разными науками об управлении искусственными объектами и живыми организмами. Язык управления – это использование понятий «объект», «среда», «обратная связь», «алгоритм» и т.д.

Среда

объект

субъект

Рис. 4.1. Кибернетический подход к процессу управления

Под управлением будем понимать процесс организации такого целенаправленного воздействия на некоторую часть среды, называемую объектом управления, в результате которого удовлетворяются потребности субъекта, взаимодействующего с этим объектом.

Анализ управления заставляет выделить тройку – среду, объект и субъект, внутри которой разыгрывается процесс управления (рис. 4.1). В данном случае субъект ощущает на себе воздействие среды Х и объекта У. Если состояние среды Х он изменить не может, то состоянием объекта У он может управлять с помощью специально организованного воздействия U. Это и есть управление.

Состояние объекта Y влияет на состояние потребностей субъекта. Потребности субъекта где - состояние i-й потребности субъекта, которая выражается неотрицательным числом, характеризующим насущность, актуальность этой потребности. Свое поведение субъект строит так, чтобы минимизировать насущность своих потребностей, т. е. решает задачу многокритериальной оптимизации:

(4.1)

где R – ресурсы субъекта. Эта зависимость выражает неизвестную, но существующую связь потребностей с состоянием среды Х и поведением U субъекта.

Пусть - решение задачи (4.1), т. е. оптимальное поведение субъекта, минимизирующее его потребности А. Способ решения задачи (4.1), позволяющий определить , называется алгоритмом управления

(4.2)

где j - алгоритм, позволяющий синтезировать управление по состоянию среды Х и потребностей А_t. Потребности субъекта изменяются не только под влиянием среды или объекта, но и самостоятельно, отражая жизнедеятельность субъекта, что отмечается индексом t.

Алгоритм управления j, которым располагает субъект, и определяет эффективность его функционирования в данной среде. Алгоритм имеет рекуррентный характер:

т. е. позволяет на каждом шаге улучшать управление. Например, в смысле

т. е. уменьшения уровня своих потребностей.

Процесс управления как организация целенаправленного воздействия на объект может реализовываться как на интуитивном, так и на осознанном уровне. Первый используют животные, второй – человек. Осознанное удовлетворение потребностей заставляет декомпозировать алгоритм управления и вводить промежуточную стадию – формулировку цели управления, т. е. действовать по двухэтапной схеме:

На первом этапе определяется цель управления , причем задача решается на интуитивном уровне:

где j₁ – алгоритм синтеза цели Z* по потребностям А_t и состоянию среды X. На втором этапе определяется управление , реализация которого обеспечивает достижение цели Z*, сформированной на первой стадии, что и приводит к удовлетворению потребностей субъекта. Именно на этой стадии может быть использована вся мощь формального аппарата, с помощью которого по цели Z* синтезируется управление

где j₂ – алгоритм управления. Этот алгоритм и есть предмет изучения кибернетики как науки.

Таким образом, разделение процесса управления на два этапа отражает известные стороны науки – неформальный, интуитивный, экспертный и формальный, алгоритмизуемый алгоритм. Если первая пока полностью принадлежит человеку, то вторая является объектом приложения формальных подходов.

Естественно, что эти различные функции выполняются разными структурными элементами. Первую функцию f₁, выполняет субъект, а вторую f₂ - управляющее устройство (УУ). На рис. 4.2 показано взаимодействие этих элементов. Штриховой линией выделена система управления (СУ), выполняющая функцию реализации целей управления U*, формируемых субъектом.

Объект

YY(f₂)

Субъект

f₂

Среда

Объект

D_x

ИМ

X’

D_y

Y’

f₂

Ряс. 4.2. Взаимодействие Рис. 4.3. Структурная схема

элементов системы управления. системы управления.

Система управления

Система управления сложный объект управления. Структурная схема СУ приведена на рис. 4.3. Здесь D_x и D_y – датчики, измеряющие состояние среды и объекта соответственно. Результаты измерений Х'=D_x(Х) и У'=D_y(У) образуют исходную информацию J = {X', У'} для УУ, которое на этой основе вырабатывает команду управления U, являющуюся лишь информацией о том, в какое положение должны быть приведены управляемые входы объекта. Следовательно, управление U есть результат работы алгоритма

Как видно, управление в широком смысле образуется четверкой

{ .}

В качестве примера рассмотрим основные понятия управления в технических и организационных системах.

Управление – целенаправленная организация того или иного процесса, протекающего в системе. В общем случае процесс управления состоит из следующих четырех элементов:

n получение информации о задачах управления (Z*),

n получение информации о результатах управления (т. е. о поведении объекта управления У’);

n анализ полученной информации и выработка решения (J = {х'. У'}),

n исполнение решения U т. е. осуществление управляющих воздействий U').

Процесс управления – это информационный процесс (рис. 4.4), заключающийся в сборе информации о ходе процесса, передаче ее в пункты накопления и переработки, анализе поступающей, накопленной и справочной информации, принятии решения на основе выполненного анализа, выработке соответствующего управляющего воздействия и доведении его до объекта управления. Каждая фаза процесса управления протекает во взаимодействии с окружающей средой при воздействии различного рода помех. Цели, принципы и границы управления зависят от сущности решаемой задачи.

Система управления – совокупность взаимодействующих между собой объекта управления и органа управления, деятельность которых направлена заданной цели управления (рис. 4.5).

Рис. 4.4. Процесс управления как информационные процесс

Входной материальный поток

Выходной материальный поток

Информационная связь с АСУ более высокого уровня

Информация об объекте

Объект управления

Управляющее воздействие

Орган управления

Окружающая среда

Цель управления

Окружающая среда

Информационные отображающие ситуации

Технические средства

Принятие решения

Технические средства

Реализация

Технические средства

Объект управления

Канал связи

Помехи

Рис. 4.5. Системы управления как совокупность объектов

В СУ решаются четыре основные задачи управления: стабилизация, выполнение программы, слежение, оптимизация.

Задачами стабилизации системы являются задачи поддержания ее выходных величин вблизи некоторых неизменных заданных значений, несмотря на действие помех. Например, стабилизация напряжения U и частоты f тока в сети вне зависимости от изменения потребления энергии.

Задача выполнения программы возникает в случаях, когда заданные значения управляемых величин изменяются во времени заранее известным образом.

В системах оптимального управления требуется наилучшим образом выполнить поставленную перед системой задачу при заданных реальных условиях и ограничениях. Понятие оптимальности должно быть конкретизировано для каждого отдельного случая.

Прежде чем принимать решение о создании СУ, необходимо рассмотреть все его этапы, независимо от того, с помощью каких технических средств они будут реализованы. Такой алгоритмический анализ управления является основой для принятия решения о создании СУ и степени ее автоматизации. При этом анализе следует обязательно учитывать фактор сложности объекта управления:

- отсутствие математического описания системы;

- стохастичность поведения;

- негативность к управлению;

- не стационарность, дрейф характеристик;

- невоспроизводимость экспериментов (развивающаяся система все время как бы перестает быть сама собой, что предъявляет специальные требования к синтезу и коррекции модели объекта управления).

Особенности сложной системы часто приводят к тому, что цель управления таким объектом в полной мере никогда не достигается, как бы совершенно ни было управление.

Системы управления делятся на два больших класса: системы автоматического управления (САУ) и автоматизированные системы управления (АСУ). В САУ управление объектом или системой осуществляется без непосредственного участия человека автоматическими устройствами. Это замкнутые системы. Основные функции САУ: автоматический контроль и измерения, автоматическая сигнализация, автоматическая защита, автоматические пуск и остановка различных двигателей и приводов, автоматическое поддержание заданных режимов работы оборудования, автоматическое регулирование. В отличие от САУ в АСУ в контур управления включен человек, на которого возлагаются функции принятия наиболее важных решений и ответственности за принятые решения. Под АСУ обычно понимают человеко-машинные системы, использующие современные экономико-математические методы, средства электронно-вычислительной техники (ЭВТ) и связи, а также новые организационные принципы для отыскания и реализации на практике наиболее эффективного управления объектом (системой).

Автомат Мили

X_i	z_k
	z₀	z₁	...	z_k
переходы
x₁	j(z₀, x₁)	j(z₁, x₁)	...	j(z_k, x₁)
x₂	j(z₀, x₂)	j(z₁, x₂)	...	j(z_k, x₂)
...	...	...	...	...
x_i	j(z₀, x_i)	j(z₁, x_i)	...	j(z_k, x_i)
выходы
x₁	y(z₀, x₁)	y(z₁, x₁)	...	y(z_k, x₁)
x₂	y(z₀, x₂)	y(z₁, x₂)	...	y(z_k, x₂)
...	...	...	...	...
x_i	y(z₀, x_i)	y(z₁, x_i)	...	y(z_k, x_i)

Графовый способ задания автоматов (на основе направленных графов)

Граф задается следующим образом: вершины графа представляют внутренние состояния z, ребра – переходы из одного состояния в другое z_i-> z_j при воздействии входного сигнала, x_k – дуга на графе. Для задания функции выходов дуги графа отмечают соответствующим выходным сигналом.

1. Для автомата Мили – дуга маркируется входным сигналом x_k, которое вызвало переход из состояния z_i в состояние z_j. Сюда же ставится значение выходного сигнала y=y(z_j, x_k).

2. Для автомата Мура – дуга x_k дополняется выходным сигналом y=y(z_j, x_k) при z_i-> z_j.

Матричный способ задания автоматов

Матричный способ является наиболее общим способом описания автомата. Матрица соединения автомата – квадратная матрица С_ij=||c_ij||, строки которой соответствуют исходным состояниям системы, а столбцы - состояниям переходов. Элемент матрицы c_ij=x_k/y_s, где x_k – входной сигнал, вызывающий переход z_i-> z_j, y_s – значение выходного сигнала, выдаваемое на этом переходе. Для автомата Мура элемент c_ij равен множеству входных сигналов при переходе z_i-> z_j, а выход описывается вектором, i-я компонента которого – это выходной сигнал. C=||C_ij||, строки – исходные состояния, столбцы – состояния перехода.

Элемент C_ij=x_k/y_s, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца (автомат Мили) – входной сигнал x_k, вызывающий переход из состояния z_i®z_j и выходной сигнал y_s.

Для автомата Мили матрица соединений:

(5.4)

Если z_i®z_j происходит под действием нескольких воздействий, то элемент матрицы C_ij – множество пар " вход – выход" для этого перехода, соединенных знаком дизъюнкции.

Для F–аппарата Мура C_ij – множество входных воздействий при переходе (z_i, z_j), а выход описывается вектором выходов

, (5.5)

где i-я компонента – выходной сигнал, отмечающий состояние z_i.

Для детерминированных автоматов выполняется условие однозначности переходов: автомат, находящийся в некотором состоянии, под действием любого входного воздействия не может перейти более чем в одно состояние, то есть для графического задания: в графе автомата из любой вершины не могут выходить два и более ребра, отмеченные одним и тем же входным сигналом. Аналогично в матрице соединений в каждой строке любое входное воздействие не должно встречаться более одного раза.

Рассмотрим таблицу переходов и граф асинхронного конечного автомата. Для F-автомата состояние z_R – устойчивое, если для любого входа x_iÎ X, для которого j(z_R, x_i)=z_R, имеет место Y(z_R, x_i)=y_R. Таким образом, F-автомат называется асинхронным, если каждое его состояние z_RÎ Z устойчиво.

На практике автомат всегда является асинхронным, а устойчивость его обеспечивается, например, введением сигналов синхронизации.

1. Автомат Мили:

– табличный способ задания:

x_i	z_k
	z₀	z₁	z₂
Переходы
x₁	z₂	z₀	z₀
x₂	z₀	z₂	z₁
выходы
x₁	y₁	y₁	y₂
x₂	y₁	y₂	y₁

– графовый способ задания:

z₂

z₀

z₁

x₁

x₂

x₁

x₂

x₁

y₂

y₁

– матричный способ задания:

		z₀	z₁	z₂
	z₀	x₂/y₁	–	x₁/y₁
C₁ =	z₁	x₁/y₁	–	x₂/y₂
	z₂	x₁/y₂	x₂/y₁

2. Автомат Мура:

– табличный способ задания:

	y
x_i	y₁	y₁	y₃	y₂	y₃
	z₀	z₁	z₂	z₃	z₄
x₁	z₁	z₄	z₄	z₂	z₂
x₂	z₃	z₁	z₁	z₀	z₀

– матричный способ задания:

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒