Поверхности II порядка. Канонические уравнения

		Название поверхности	Каноническое уравнение
	эллипсоид	(рис.1)
	гиперболоиды	однополостный гиперболоид	(рис.2)
	двуполостный гиперболоид	(рис.4)
	конус	(рис.5)
	пароболоиды	эллиптический параболоид	(рис.3)
	гиперболический параболоид	(рис.6)
	цилиндры	эллиптический цилиндр
	гиперболический цилиндр
	параболический цилиндр
		пара плоскостей	левая часть уравнения распадается на произведение двух линейных множителей

Рисунок 6.2.2

Рисунок 6.2.1.

 

 

Рисунок 6.2.3.

 

 

Рисунок 6.2.4.

 

 

Рисунок 6.2.6.

Рисунок 6.2.5.

 

Введение в математический анализ

Пределы функций

При вычислении предела элементарной функции f(x) приходится сталкиваться с двумя существенно различными типами примеров.

 

1 Функция f(x) определена в предельной точке x=a. Тогда

 

. (6.3.1)

 

2 Функция f(x) в предельной точке х=а не определена или же вычисляется предел функции при . Тогда вычисление предела требует в каждом случае индивидуального подхода. В одних случаях (наиболее простых) вопрос сводится непосредственно к применению теорем о свойствах бесконечно больших и бесконечно малых функций и связи между ними. Более сложными случаями нахождения предела являются такие, когда функция f(x) в точке х=а или при представляет собой неопределенность

.

 

Приведем основные теоремы, на которых основано вычисление пределов.

1 Если существуют и , то

а) ;

б) ;

 

Частные случаи:

 

в) .

2 Если в некоторой окрестности точки х=а (кроме, быть может, точки а) выполнено условие f(x)=q(x) и если предел одной из этих функций в точке а существует, то

.

3 Если существует U(х) и f(х) – элементарная функция, то

.

Например: ,

.

 

4 Первый замечательный предел: . (6.3.2)

5 Второй замечательный предел: . (6.3.3)

Также при вычислении пределов следует знать ряд эквивалентных бесконечно малых функций:

при

Примеры 6.3.1.

Вычислите пределы:

1) .

 

Функция f(x) в предельной точке х=2 не определена; так как числитель и знаменатель дроби обращается в нуль, то имеем неопределенность вида 0/0.

Преобразуем дробь, и по формуле (1) получим

 

.

 

2) .

 

В этом случае также получается неопределенность вида 0/0. Преобразование функции сводится к уничтожению иррациональности в числителе: для этого умножим числитель и знаменатель на выражение и затем сократим дробь на . Отсюда

 

.

 

3) .

 

Здесь имеет место неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель на (наивысшую степень х в данной дроби). Тогда

 

.

 

4) .

Здесь получается неопределенность вида . Представим функцию в виде дроби, которая в точке х=0 дает неопределенность вида 0/0, после чего преобразуем её так, чтобы можно было воспользоваться первым замечательным пределом:

 

 

 

 

5)

Функция при x-> представляет собой степень, основание которой стремится к единице, а показатель – к бесконечности, неопределенность вида .

Преобразуем функцию таким образом, чтобы использовать второй замечательный предел:

= = = = = =

= = =

 

6) .

Используя второй замечательный предел, находим

= = =

Дифференциальные исчисления функций одной переменной

Основные формулы:

Производная от функции у=f(х) по аргументу х

или (6.3.4)

 

Формулы дифференцирования основных функций:

 

1.(хm)'=mxm–1.	11.(ctg x)'=–cosec2x.
2.	12. (arcsin x)'=
3.	13.(arccos x)'=
4. (ex)'=ех.	14. (arctg x)'=
5. (аx)'=ахln a.	15. (arcсtg x)'= –
6.	16.(sh x)'= =ch x.
7.	17. (ch x)'= =sh x.
8. (sin x)'=cos x.	18. (th x)'=
9. (cos x)'=–sin x.	19. (cthx)'=
10. (tgx)'=sec2x.

 

Основные правила дифференцирования

 

Пусть С–постоянная, u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие производные. Тогда:

1) С'=0; 2) х'=1; 3) (u'±v')= u'±v'; 4) (Сu)'=Сu'; 5) (uv)'=u'v+ uv';

6) ; 7) если y=f(x), u=u(x), т.е. у=f[u(x)], то

у'_х= у'_u∙ u'_х.

Дифференцирование функций заданных параметрически: х=φ (t), y=ψ (t).

(6.3.5.)

Уравнение касательной к кривой у=f(х) в точке М₀(х₀; у₀): у–y₀=y'₀(х–х₀).

Уравнение нормали: у–y₀= (х–х₀).

Угол между двумя кривыми у=f₁(х) и у=f₂(х) в точке их пересечения М₀(х₀; у₀)

 

(6.3.6.)

Производная n-го порядка от функции у=f(x): у⁽ⁿ⁾=(у^(n–1))', обозначение: у⁽ⁿ⁾, f⁽ⁿ⁾ (x), .

Дифференциалы высших порядков: dy=y'dx.

Основные свойства дифференциала:

1. dC=0, где С=const.

2. d(Cu)=Cdu.

3. d(u±v)=du±dv.

4. d(uv)=udv+vdu.

5.

6. df(u)=f'(u)du.

 

Дифференциал n-го порядка: dⁿy=d(d^n–1y).

 

Теорема Лагранжа . (6.3.7.)

 

Теорема Коши . (6.3.8.)

 

Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей 0/0, ∞ /∞:

(6.3.9)

Пример 6.3.2. у=(sinx)­^tgx.

Решение.

Имеем ln у=tgx∙ lnsinx, откуда

 

 

Пример 6.3.3.

Решение.

Здесь заданную функцию следует предварительно прологарифмировать:

ln y=3 ln (2x-1) + ln (3x+2)-2ln(5x+4) - ln(1-x);

 

Пример 6.3.4.Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функции у=(2х–3)³.

 

Решение.

dy=3(2x–3)²∙ 2dx=6(2x–3)²dx,

d²y=12(2x–3)²∙ 2dx²=24(2x–3)dx²,

d³y=24∙ 2dx³=48dx³.

 

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. В задачах (258–266) вычислить, сколько молей веществ, подчеркнутых в уравнениях реакций, прореагировало или образовалось в результате химических превращений, если при этом выделилось 2500 кДж тепла
2. В задачах 392–420 определить электродвижущую силу элементов, написать уравнения реакций, за счет которых возникает разность потенциалов. Составить схемы элементов
3. Вид Нептуна с поверхности спутника
4. Влияние на процесс износа: температуры поверхности трения
5. Влияние ширины основной укрепленной поверхности дороги
6. Все сущее имеет эти три слоя. Глубочайшим слоем является свидетельствующее сознание. Посредине лежит жизненная энергия, и лишь на поверхности - материя, материальное тело.
7. Государственная власть является необходимым условием существования общества и используется для руководства совместной деятельностью людей и поддержания общественного порядка.
8. Даны координаты вершин треугольника А, В, С. Найти уравнения сторон АВ и АС и угол между ними. Сделать чертеж
9. Деление и разметка ледовой поверхности
10. Диофантовы уравнения первого и второго порядка с двумя неизвестными.
11. Дифференциальные уравнения высших порядков. Общие понятия.
12. Дифференциальные уравнения движения материальной точки