![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Поверхности II порядка. Канонические уравнения
![]()
![]() Рисунок 6.2.2 Рисунок 6.2.1.
Рисунок 6.2.3.
Рисунок 6.2.4.
Рисунок 6.2.6. Рисунок 6.2.5.
Введение в математический анализ Пределы функций При вычислении предела элементарной функции f(x) приходится сталкиваться с двумя существенно различными типами примеров.
1 Функция f(x) определена в предельной точке x=a. Тогда
2 Функция f(x) в предельной точке х=а не определена или же вычисляется предел функции при
Приведем основные теоремы, на которых основано вычисление пределов. 1 Если существуют а) б)
Частные случаи:
в) 2 Если в некоторой окрестности точки х=а (кроме, быть может, точки а) выполнено условие f(x)=q(x) и если предел одной из этих функций в точке а существует, то
3 Если существует
Например:
4 Первый замечательный предел: 5 Второй замечательный предел: Также при вычислении пределов следует знать ряд эквивалентных бесконечно малых функций:
Примеры 6.3.1. Вычислите пределы: 1)
Функция f(x) в предельной точке х=2 не определена; так как числитель и знаменатель дроби обращается в нуль, то имеем неопределенность вида 0/0. Преобразуем дробь, и по формуле (1) получим
2)
В этом случае также получается неопределенность вида 0/0. Преобразование функции сводится к уничтожению иррациональности в числителе: для этого умножим числитель и знаменатель на выражение
3)
Здесь имеет место неопределенность вида
4) Здесь получается неопределенность вида
5) Функция Преобразуем функцию таким образом, чтобы использовать второй замечательный предел:
=
6) Используя второй замечательный предел, находим
Дифференциальные исчисления функций одной переменной Основные формулы: Производная от функции у=f(х) по аргументу х
Формулы дифференцирования основных функций:
Основные правила дифференцирования
Пусть С–постоянная, u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие производные. Тогда: 1) С'=0; 2) х'=1; 3) (u'±v')= u'±v'; 4) (Сu)'=Сu'; 5) (uv)'=u'v+ uv'; 6) у'х= у'u∙ u'х. Дифференцирование функций заданных параметрически: х=φ (t), y=ψ (t).
Уравнение касательной к кривой у=f(х) в точке М0(х0; у0): у–y0=y'0(х–х0). Уравнение нормали: у–y0= Угол между двумя кривыми у=f1(х) и у=f2(х) в точке их пересечения М0(х0; у0)
Производная n-го порядка от функции у=f(x): у(n)=(у(n–1))', обозначение: у(n), f(n) (x), Дифференциалы высших порядков: dy=y'dx. Основные свойства дифференциала: 1. dC=0, где С=const. 2. d(Cu)=Cdu. 3. d(u±v)=du±dv. 4. d(uv)=udv+vdu. 5. 6. df(u)=f'(u)du.
Дифференциал n-го порядка: dny=d(dn–1y).
Теорема Лагранжа
Теорема Коши
Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей 0/0, ∞ /∞:
Пример 6.3.2. у=(sinx)tgx. Решение. Имеем ln у=tgx∙ lnsinx, откуда
Пример 6.3.3. Решение. Здесь заданную функцию следует предварительно прологарифмировать: ln y=3 ln (2x-1) +
Пример 6.3.4.Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функции у=(2х–3)3.
Решение. dy=3(2x–3)2∙ 2dx=6(2x–3)2dx, d2y=12(2x–3)2∙ 2dx2=24(2x–3)dx2, d3y=24∙ 2dx3=48dx3.
Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-03; Просмотров: 634; Нарушение авторского права страницы