Исследование функции с помощью производной

Определение. Точка х₀ называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х₀ выполняется неравенство:

.

Определение. Точка х₀ называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х₀ выполняется неравенство:

.

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.

 

Правило нахождения экстремумов функции

С помощью первой производной

1. Найти производную функции .

2. Найти критические точки по первой производной, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.

3. Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции . Полученные промежутки называются промежутками монотонности функции. Если на промежутке , то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке , то на этом промежутке функция возрастает.

4. Если в окрестности критической точки меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.

5. Вычислить значения функции в точках минимума и максимума.

 

С помощью приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки монотонности функции.

 

Пример 1. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: .

Решение: Найдем первую производную функции .

Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение

Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.

 

		0		2
	+	0	-	0	+
		т. max		т. min -4

 

Ответ: Функция возрастает при ;

функция убывает при ;

точка минимума функции ;

точка максимума функции .

 

Правило нахождения экстремумов функции

С помощью второй производной

1. Найти производную .

2. Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых .

3. Найти вторую производную .

4. Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек. Если при этом вторая производнаяокажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.

5. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Пример 1. Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию: .

Решение: Находим производную: .

Решая уравнение , получим стационарную точку х =1. Найдем теперь вторую производную: .

Так как вторая производная в стационарной точке положительна, , то при функция имеет минимум: .

Ответ: Точка минимума имеет координаты .

 

Направление выпуклости графика функции.

Точки перегиба

Определение. Кривая называется выпуклой вниз в промежутке , если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.

Определение. Кривая называется выпуклой вверх в промежутке , если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

 

y y

 

 

x x

Определение. Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

 

Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции , характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке , то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же , то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Определение. Точка графика функции , разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.

 

 

 

y

 

x

 

Точками перегиба могут служить только критические точки II рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции , в которых вторая производная обращается в нуль или терпит разрыв.

 

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. II. ОЩУЩЕНИЯ. ИССЛЕДОВАНИЕ ОЩУЩЕНИЙ ПСИХОФИЗИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ
2. III. Задачи, решаемые организацией с помощью ИСУ и ИТУ.
3. IV.1. Исследование самооценки
4. Microsoft Office Word. Дополнительные функции
5. VI. Выберите подчинительный союз, с помощью которого стиль и смысл высказывания передается точнее других.
6. VIII. Проделки с помощью прута и колокольчика
7. А. Сделайте свое лицо красивым с помощью массажа рта
8. Абсорбционные ткани. Формирование, строение и выполняемые функции.
9. Анализ базовых функций гражданского общества. Демократические функции гражданского общества.
10. Анализ данных с помощью команд Подбор параметра и Поиск решения
11. Анализ — это такой логический приём, с помощью которого мы мысленно расчленяем приметы, явления, выделяя отдельные их части, свойства.
12. Анатомо-морфологические особенности и основные физиологические функции организма