Правило нахождения точек перегиба

графика функции

1. Найти вторую производную .

2. Найти критические точки II рода функции , т.е. точки, в которой обращается в нуль или терпит разрыв.

3. Исследовать знак второй производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции . Если при этом критическая точка разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то является абсциссой точки перегиба графика функции.

4. Вычислить значения функции в точках перегиба.

Пример 1. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба следующей кривой: .

Решение: Находим , .

Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение: , .


+		-
	точка перегиба

Ответ: Функция выпукла вверх при , функция выпукла вниз при , точка перегиба .

Общая схема для построения графиков функций

1. Найти область определения функции .

2. Найти точки пересечения графика функций с осями координат.

3. Исследовать функцию на четность или нечетность.

4. Исследовать функцию на периодичность.

5. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции.

6. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции.

7. Найти асимптоты функции.

8. По результатам исследования построить график.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график:

Решение:

1) Функция определена на всей числовой оси, т.е. ее область определения .

2) Найдем точки пересечения с осями координат:

с осью ОХ: решим уравнение

с осью ОY:

3) Выясним, не является ли функция четной или нечетной:

Отсюда следует, что функция является нечетной.

4) Функция свойством периодичности не обладает, т.к. является целой рациональной функцией.

5) Найдем промежутки монотонности и точки экстремума функции: .

Критические точки: .

	-1		1
+	0	-	0	+
	т. max		т. min -2

6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

Критические точки: .

	0
-	0	+
	точка перегиба

7) Функция непрерывна, асимптот у нее нет.

8) По результатам исследования построим график функции:

1 x

-2

Литература: [1], стр. 289-300; [3], стр. 238-248; [4], стр. 105-115; [5], стр. 71.

Вопросы для самопроверки:

1. Что такое критические точки функции?

2. Сформулировать достаточные условия возрастания и убывания функции.

3. Какими точками отделяются промежутки возрастания от промежутков убывания функции?

4. Сформулируйте правила нахождения точек экстремума функции.

5. Сформулировать достаточное условие выпуклости функции. Приведите алгоритм нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба.

Интегральное исчисление

Неопределенный интеграл. Методы вычисления

Определение. Функция F(x) называется первообразнойдля функции f(x), если или .

Отыскание первообразной функции по заданной её производной f(x) или по дифференциалу есть действие, обратное дифференцированию, - интегрирование.

Определение. Совокупность F(x)+С всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается:

Здесь f(x) –подынтегральная функция; - подынтегральное выражение; С-произвольная постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1. 2. ;

3. 4. ;

5. ; 6. .

Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование предполагает использование при нахождении неопределенных интегралов таблицы интегралов

Таблица интегралов

Рассмотрим нахождение интегралов непосредственным методом.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл:

Решение: =

Пример 2. Найти неопределенный интеграл: .

Решение: =

Пример 3. Найти неопределенный интеграл

Решение: =

Метод подстановки в неопределенном интеграле

(метод замены переменной)

Этот метод заключается в том, что заменяют переменную х на , где -непрерывно дифференцируемая функция, полагают и получают

При этом получают искомую функцию, выраженную через переменную t. Для возвращения к переменной х необходимо заменить t значением , которое находится из соотно-шения .