Определенный интеграл и его свойства

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 6Следующая ⇒

Пусть функция определена на отрезке . Разобьем отрезок на n частей точками , выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку x_k и обозначим через длину каждого такого отрезка.

Интегральной суммой для функции на отрезке называется сумма вида

Определение. Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

Для любой функции , непрерывной на отрезке , всегда существует определенный интеграл

Простейшие свойства определенного интеграла

1) Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций:

2) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла

3) При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

4) Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

5) Отрезок интегрирования можно разделить на части:

с-точка, лежащая между а и b.

6) Если на отрезке , то .

Для вычисления определенного интеграла от функции , в том случае, когда можно найти соответствующую первообразную , служит формула Ньютона-Лейбница:

=F(b)-F(a)

Рассмотрим нахождение простейших определенных интегралов.

Пример 1. Вычислить определенный интеграл .

Решение: =

Пример 2. Вычислить определенный интеграл: .

Решение:

.

Вычисление определенного интеграла

Методом замены переменной

При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (способом подстановки) определенный интеграл преобразуется с помощью подстановки или в определенный интеграл относительно новой переменной t. При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются соответственно новыми пределами t₁ и t₂, которые находятся из исходной подстановки.

Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно: .

Из второй подстановки новые пределы интегрирования находятся путем решения уравнений .

Таким образом, имеем

Пример 1. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной

Решение: =

Пример 2. Вычислить определенный интеграл: .

Решение:

Литература: [1] стр. 309-315, 322-335; [3], стр. 261-270, 271-282; [4], стр. 188-198, 205-208; [5] стр. 82-87, 102.

Вопросы для самопроверки:

1. В чем заключается смысл действия, обратного дифференцированию?

2. Дать определение первообразной функции

3. Чем отличаются друг от друга любые две первообразные данной функции ?

4. Как проверить, правильно ли найдена первообразная данной функции ?

5. Дать определение неопределенного интеграла.

6. Перечислить свойства неопределенного интеграла

7. Дать определение определенного интеграла.

8. Перечислить свойства определенного интеграла.

9. Запишите формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.

10. В чем отличия методов замены переменной в определенном и неопределенном интегралах?

Дифференциальные уравнения

Определение. Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков, называется дифференциальным уравнением.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

(Например, y΄ sinx + ytgx = 1 - первого порядка;

- второго порядка.

Определение. Функция y =φ (x), удовлетворяющая дифференциальному уравнению, называется решением этого уравнения. Решение дифференциального уравнения, содержащее столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения, называется общим решением этого уравнения.

Для уравнения 1-го порядка: y = φ (x, C)

2-го порядка: y = φ (x, C₁, C₂)

Определение. Функции, получаемые из общего решения при различных числовых значениях произвольнх постоянных, называются частными решениями этого уравнения.

Определение. Задача на нахождение частного решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях называется задачей Коши.

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 Следующая ⇒