Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Техника вычисления пределов.



 

Функции f(x)называется бесконечно малой при х, стремящемусяк а, если .

Функции f(x)называется бесконечно большой при х, стремящемусяк а, если .

При вычислении предела элементарной функции f(x) приходится сталкиваться с двумя типами примеров.

· Функция f(x) определена в предельной точке x = a. Тогда

.

· Функция f(x) в предельной точке x = a не определена или же вычисляется предел функции при x→ ∞. Тогда вычисление предела требует в каждом случае индивидуального подхода.

Необходимо помнить, что

, , , , , .

Более сложными случаями нахождения предела являются такие, когда функция f(x) в точке x = a или при x→ ∞ представляет собой неопределенность (типа , , , , , , ).

При вычислении пределов при основные теоремы о пределах сохраняют силу и, кроме того, используются правила:

а) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной;

б) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наименьшую степень переменной;

в) чтобы раскрыть неопределенность типа , иногда достаточно числитель и знаменатель дроби разложить на множители и затем сократить дробь на множитель, приводящий к неопределенности;

г) чтобы раскрыть неопределенность типа , зависящую от иррациональности, достаточно перевести иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель и сократить на множитель, приводящий к неопределенности;

д) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби одновременно умножить на сопряженное выражение и тем самым свести к неопределенности вида или .

Рассмотрим некоторые примеры.

 

Вычислить пределы функций:

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

=

Пример 4:

 

Пример 5:

 

 

Литература: [ 1], стр. 193-208; [4], стр.76-82

 

Вопросы для самопроверки:

1. Что называется функцией?

2. Что такое область определения и область значений функции

3. Перечислите способы задания функций, их достоинства.

4. Перечислите основные свойства функций.

5. Дайте определение предела функции в точке.

6. Какая функция называется непрерывной в точке?

7. Сформулируйте основные свойства пределов.

8. Как раскрывается неопределенность вида , ?

Дифференциальное исчисление

 

Понятие производной.

Определение. Производной функции по аргументу x называется предел отношения ее приращения к приращению аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю:

.

Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x. Если же этот предел есть ∞, то говорят, что функция y=f(x) имеет в точке x бесконечную производную.

Физический смысл производной: скорость есть первая производная пути по времени, т.е. .

Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной к графику функции равен первой производной этой функции, вычисленной в точке касания, т.е.

Уравнение касательнойк графику функции в точке :

Уравнение нормали к графику функции в точке :

 

    Таблица производных      

 

Процесс нахождения производных называетсядифференцированиемфункции.

Рассмотрим примеры.

Найти производные функций:

Пример 1:

Решение:

+

Пример 2:

Решение:

Пример 3:

Решение:

Дифференциал функции

 

Определение. Дифференциалом функции y=y(x) называется произведение ее производной на дифференциал независимой переменной:

.

 

Для большей наглядности рассмотрим пример.

 

Пример 1. Найти дифференциал функции

Решение:

Так как , то .

 

 

Дифференцирование сложной функции

Пусть y= y(u), где u= u(x) – дифференцируемые функции. Тогда сложная функция y=y[u(x)] есть также дифференцируемая функция, причем

, или

Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляющих .

Производные сложных функций находятся при помощи таблицы:

 

 

Рассмотрим примеры.

 

Пример 1. Найти производную функции

Решение: =

Пример 2. Найти производную функции

Решение:

=

+

 

Производные высших порядков

Определение. Производная второго порядка (вторая производная) от функции y=f(x) есть производная от ее первой производной: .

 

Определение. Производная третьего порядка (третья производная) от функции y=f(x) есть производная от ее второй производной: .

Определение. Производная n-ого порядка(n-я производная) от функции y=f(x) есть производная от ее (n-1)-й производной: .

 

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Найти производную второго порядка функции .

Решение:

 

Пример 2. Найти производную второго порядка функции .

Решение:

 

Литература: [1] стр.270-288, 302-306; [3] стр.211-236, 250-254; [4] стр. 92-104, 171-174, 180-187; [5] стр.54-55, 59.

 

Вопросы для самопроверки:

1. Дать определение производной функции.

2. Что называется приращением аргумента, приращением функции?

3. Какой механический смысл имеет производная?

4. Сформулировать геометрический смысл производной.

5. Как найти производную суммы или разности?

6. Как найти производную произведения?

7. Как найти производную частного двух функций?

8. Дать определение дифференциала функции.

9. Сформулируйте правила нахождения производной сложной функции?

10. Как найти производную второго порядка? производную четвертого порядка.

 

 


Поделиться:



Популярное:

  1. V. Жизнь как созидание. Техника и желания
  2. V. Игровое оружие и пиротехника
  3. VI. Иные запреты, меры предосторожности и техника безопасности
  4. А15. Вычисления массовой доли химического элемента в веществе.
  5. В каждой религии есть подобная техника, которая и составляет деятельную основу религии.
  6. Ввод формулы. Вычисления по формулам
  7. ВЕДОМОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЯ КООРДИНАТ ВЕРШИН ТЕОДОЛИТНОГО ХОДА
  8. Вопрос 3. Процесс контроля и техника его проведения.
  9. Вторая техника, использующая звуки: Купайся в центре звука, как в неумолкающем звуке водопада. Или, заткнув уши пальцами, слушай звук звуков.
  10. Вы рассказывали нам о многих медитационных техниках. Не правда ли, однако, что ни один метод не сможет работать на полную мощность, если вы не посвящены в него?
  11. Вычисления с помощью формул и функций.
  12. Допуск всегда является положительной величиной, независимо от способа его вычисления.


Последнее изменение этой страницы: 2017-03-03; Просмотров: 854; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.05 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь