Техника вычисления пределов.

Функции f(x)называется бесконечно малой при х, стремящемусяк а, если ^.

Функции f(x)называется бесконечно большой при х, стремящемусяк а, если ^.

При вычислении предела элементарной функции f(x) приходится сталкиваться с двумя типами примеров.

· Функция f(x) определена в предельной точке x = a. Тогда

· Функция f(x) в предельной точке x = a не определена или же вычисляется предел функции при x→ ∞. Тогда вычисление предела требует в каждом случае индивидуального подхода.

Необходимо помнить, что

^{, , , , , .}

Более сложными случаями нахождения предела являются такие, когда функция f(x) в точке x = a или при x→ ∞ представляет собой неопределенность (типа , , , , , , ).

При вычислении пределов при основные теоремы о пределах сохраняют силу и, кроме того, используются правила:

а) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной;

б) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наименьшую степень переменной;

в) чтобы раскрыть неопределенность типа , иногда достаточно числитель и знаменатель дроби разложить на множители и затем сократить дробь на множитель, приводящий к неопределенности;

г) чтобы раскрыть неопределенность типа , зависящую от иррациональности, достаточно перевести иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель и сократить на множитель, приводящий к неопределенности;

д) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби одновременно умножить на сопряженное выражение и тем самым свести к неопределенности вида или .

Рассмотрим некоторые примеры.

Вычислить пределы функций:

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Пример 4:

Пример 5:

Литература: [ 1], стр. 193-208; [4], стр.76-82

Вопросы для самопроверки:

1. Что называется функцией?

2. Что такое область определения и область значений функции

3. Перечислите способы задания функций, их достоинства.

4. Перечислите основные свойства функций.

5. Дайте определение предела функции в точке.

6. Какая функция называется непрерывной в точке?

7. Сформулируйте основные свойства пределов.

8. Как раскрывается неопределенность вида , ?

Дифференциальное исчисление

Понятие производной.

Определение. Производной функции по аргументу x называется предел отношения ее приращения к приращению аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x. Если же этот предел есть ∞, то говорят, что функция y=f(x) имеет в точке x бесконечную производную.

Физический смысл производной: скорость есть первая производная пути по времени, т.е. .

Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной к графику функции равен первой производной этой функции, вычисленной в точке касания, т.е.

Уравнение касательнойк графику функции в точке :

Уравнение нормали к графику функции в точке :

Таблица производных

Процесс нахождения производных называетсядифференцированиемфункции.

Рассмотрим примеры.

Найти производные функций:

Пример 1:

Решение:

Пример 2:

Решение:

Пример 3:

Решение:

Дифференциал функции

Определение. Дифференциалом функции y=y(x) называется произведение ее производной на дифференциал независимой переменной:

Для большей наглядности рассмотрим пример.

Пример 1. Найти дифференциал функции

Решение:

Так как , то .

Дифференцирование сложной функции

Пусть y= y(u), где u= u(x) – дифференцируемые функции. Тогда сложная функция y=y[u(x)] есть также дифференцируемая функция, причем

, или

Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляющих .

Производные сложных функций находятся при помощи таблицы:

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Найти производную функции

Решение: =

Пример 2. Найти производную функции

Решение:

=

+

Производные высших порядков

Определение. Производная второго порядка (вторая производная) от функции y=f(x) есть производная от ее первой производной: .