Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 6Следующая ⇒

Определение. Дифференциальное уравнение с разделяющи-мися переменными имеет вид

M₁(x)· N₁(y))dx + M₂(x)· N₂(y)dy=0.

Алгоритм решения:

1) Поделим все члены уравнения на N₁(y)· M₂(x), получим:

Таким образом переменные разделены.

2) Интегрируем обе части уравнения:

после чего находим общее решение данного дифференциального уравнения в виде

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения:

соs²y· ctgxdx + sin²x tgydy=0.

Решение:

Разделим на cos²y·sin²y

, переменные разделены.

Проинтегрируем обе части полученного равенства.

Интегралы находим методом подстановки.

или

Произведя обратную подстановку, получим:

или

Отсюда,

Ответ: -общее решение дифференциального уравнения.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Однородной функцией переменных x и y называется функция, все члены которой имеют одинаковую степень.

Например, - однородные функции второй и третьей степени соответственно.

Определение. Уравнение вида , где и - однородные функции одной и той же степени, называетсяоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющими переменными подстановкой, где – новая искомая функция.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Решение: Положим . Дифференцируя равенство y = ux, получим . Подставляя выражения в уравнение, получим:

Разделим переменные в полученном уравнении.

;

Интегрируем, . Отсюда, .

Сделаем обратную замену: , получим .

Ответ: .

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Уравнение вида называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Уравнения такого вида сводятся к двум уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где , - некоторые функции, зависящие от x.

Алгоритм решения:

1) Вводится подстановка , тогда .

2) Исходное уравнение принимает вид:

3) Группируются слагаемые при u.

4) Выражение в скобках приравнивается к нулю:

Это уравнение с разделяющимися переменными, решая его, находим .

5) Полученное значение v подставляется в выражение:

Решив уравнение с разделяющимися переменными, получим функцию .

6) Общее решение уравнения запишется в виде:

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Решение: Обозначим , тогда .

Уравнение примет вид .

Вынесем во втором и третьем слагаемом общий множитель за скобки, получим .

Выражение в скобках приравняем к нулю v′ - vtgx = 0

Перепишем в виде

Умножая обе части уравнения на , получим ,

интегрируем

находим , применим замену

получим ,

откуда или , .

Пропотенцируем обе части равенства v = .

Найденную функцию подставим в выражение и решим полученное уравнение

du = sinx∙ cos∙ xdx или

Интегрируем ,

Получим .

Зная функции u и v, можно записать ответ.

Ответ: Общее решение уравнения у = .

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения , если при .

Решение: Пусть , тогда .

Отсюда, .

Вынесем u за скобки: .

Приравняв скобку к 0, получим: .

Отсюда, , .

Интегрируем ,

, , .

Подставив в выражение , получим уравнение относительно функции u и решим его.

, , , .

Проинтегрируем . Функция .

Запишем общее решение уравнения: .

Частное решение найдем из условия при .

, , .

Частное решение заданного уравнения имеет вид: .

Ответ: - частное решение уравнения.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка в общем случае имеют вид: .

Дифференциальные уравнения вида y″ = f(x) решаются двукратным интегрированием.

Полагая y′ = z, имеем y″ = z′ или z′ = f(x), = f(x), dz = f(x)dx.

Интегрируя , получим z = F(x) + C_1.

Возвращаясь к функции y, имеем

, .

- это есть общее решение уравнения

y″ = f(x).

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение: Пусть , тогда .

После подстановки имеем или .

Интегрируя обе части равенства, получим .

Вернувшись к функции y, получаем уравнение .

Интегрируя его , получим -это есть общее решение уравнения.

Ответ: .

Линейные однородные дифференциальные уравнения

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 Следующая ⇒