Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6

Признак сравнения. Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех n выполняется неравенство , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

При исследовании рядов на сходимость и расходимость по этому признаку, для сравнения часто используются:

1. Ряд геометрической прогрессии , (a> 0), который сходится при и расходится при .

2. Гармонический ряд являющийся расходящимся всегда;

3. Обобщенно – степенной ряд , который сходится при и расходится при .

Признак Даламбера.Пусть дан ряд с положительными членами

и существует , тогда при l < 1 ряд сходится, при l > 1 – расходится.

Замечание. При l=1, ряд может как сходиться, так и расходиться. В этом случае необходимо дополнительное исследование ряда с помощью признака сравнения или других признаков.

Признак Коши.Пусть дан ряд с положительными членами

и существует , тогда при l < 1 ряд сходится, при l > 1 – расходится, при l=1 требуются дополнительные исследования.

Интегральный признак.Пусть дан ряд , члены которогоявляются значениями некоторой функции , положительной, непрерывной и убывающей на полуинтервале . Тогда если несобственный интеграл сходится, то сходится и ряд ; если же расходится, то ряд так же расходится.

Рассмотрим примеры исследования числовых рядов на сходимость.

Пример 1. Доказать, что ряд расходится.

Решение: Проверим, выполняется ли необходимое условие сходимости: .

Следовательно , а значит ряд расходится.

Пример 2. Исследовать ряд на сходимость.

Решение: Применим признак Даламбера:

Здесь .

Вычислим предел:

Так как , то по признаку Даламбера ряд сходится.

Пример 3. Исследовать ряд на сходимость.

Решение: Применим признак Даламбера

, так как , то по признаку Даламбера ряд расходится.

Пример 4.Исследовать ряд на сходимость.

Решение: Применим признак Коши: .

Так как , то по признаку Коши ряд сходится.

Знакочередующиеся ряды

Определение.Ряд с членами произвольных знаков называется знакопеременным.

Определение. Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если положительные и отрицательные члены следуют друг за другом поочередно

Приведем достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда.

Признак сходимости Лейбница.Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда монотонно убывают: и общий член ряда стремится к нулю: , то ряд сходится.

Абсолютная и условная сходимости рядов.

Возьмем знакопеременный ряд , где числа могут быть как положительными, так и отрицательными, причем их расположение в ряде произвольно.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда .

Определение. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов .

Из сходимости ряда следует сходимость ряда .

Определение. Если ряд расходится, а сам знакопеременный ряд сходится, то он называется условно сходящимся.

Так как ряд является рядом с положительными членами, то для исследования вопроса о его сходимости можно применять рассмотренные раннее признаки сходимости: признаки сравнения, Даламбера, интегральный и др.

Пример 1. Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .

Решение: Составим ряд из модулей: - это гармонический ряд, он расходится. Для исследования на сходимость исходного знакочередующегося ряда применим признак Лейбница: - первое условие выполнено;

- второе условие выполнено.

Таким образом, по признаку Лейбница ряд сходится.

Так как ряд из модулей расходится, а сам знакочередующийся ряд сходится, значит, он сходится условно.

Пример 2. Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .

Решение: Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда: - это обобщенно-степенной ряд. Так как показатель степени , то он сходится. Если сходится ряд из модулей, то знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Степенные ряды.

Определение. Выражение вида

называется функциональным рядом.

Определение.Степенным рядом называется функциональный ряд вида где x – независимая переменная, - фиксированное число, - постоянные коэффициенты.

При степенной ряд принимает вид:

Определение. Областью сходимости степенного ряда называется совокупность всех значений x, при которых данный ряд сходится.

Нахождение области сходимости состоит из двух этапов:

Определяется интервал сходимости степенного ряда, т.е. интервал числовой оси, симметричный относительно точки x=0 и обладающий тем свойством, что при всех - ряд сходится. R – радиус сходимости находится по формуле: .

Исследуется сходимость ряда на концах интервала сходимости, т.е. в точках x= -R и x=R.

В зависимости от результатов исследования, область сходимости запишется одним из следующих неравенств:

или ;

или .

Для степенного ряда вида интервал сходимости имеет вид или .

Пример 1.Найти область сходимости степенного ряда .

Решение: Найдем радиус сходимости степенного ряда.

В данном случае , тогда

Запишем интервал сходимости: .

Исследуем сходимость степенного ряда на концах интервала.

При получаем числовой ряд - это гармонический ряд, он расходится.

При получаем знакочередующийся ряд . Исследуем его на сходимость с помощью признака Лейбница: и

Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, ряд сходится.

Рассмотрим ряд из модулей его членов . Как показано выше данный ряд расходится. Отсюда можно сделать вывод, что при заданный степенной ряд сходится условно.

Ответ: Область сходимости ряда .

Литература: [4] стр.391-403, 405; [5], стр. 130-136, 137; [6], стр. 151-158, 162; [7], стр. 223-251, 245-251, 253-258.

Контрольные вопросы:

1. Что называется частичной суммой числового ряда?

2. Что называется суммой ряда?

3. Какой ряд называется сходящимся?

4. Какой ряд называется расходящимся?

5. Сформулируйте необходимое условие сходимости ряда с неотрицательными членами.

6. Сформулируйте достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

7. Какой ряд называется знакочередующимся?

8. Сформулируйте признак Лейбница для знакочередующихся рядов?

9. Дать понятие функционального ряда.

10. Что называется интервалом и областью сходимости степенного ряда?

11. Приведите алгоритм нахождения области сходимости.

Основная литература.

1.А.А.Дадаян «Математика», Учебник (Профессиональное образование), М., «Форум», 2008г.

2.А.А.Дадаян «Сб.задач по математике», Учебное пособие (Профессиональное образование), М., «Форум», 2008г.

3.Богомолов Н.В. «Математика», Учебник для ссузов, М., Дрофа, 2005.

4.Н.В.Богомолов «Практические занятия по математике», Учебное пособие для техникума, М.: Высшая школа, 1990.

5.В.С.Шипачев «Сборник задач по высшей математике», Учебное пособие, М.: Высшая школа, 1993.

6.С.Г.Григорьев, С.В. Задулина «Математика», Учебник для студентов проф. учреждений, М.: Издательский центр «Академия», 2009.

7.В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский «Элементы высшей математики», Учебник для студ. учреждений сред. проф. образования, М.: Издательский центр «Академия», 2009.

Дополнительная литература.

1. Справочник по математике, М.: «Лист»., 1999.

2. Математика. Большой энциклопедический словарь, М., Большая Российская энциклопедия, 1988.

3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. «Краткий курс математического анализа», М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. литературы, 1975.

4. Мордкович А.Г. Солодовников А.С. «Математический анализ», Учебник для техникумов, М., Высшая школа, 1990.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 56