Экономический смысл производной

 

Пусть функция u = f(t) выражает количество произведенной продукции за время t. В момент времени t = t₀ количество произведенной продукции f(t₀). В момент времени t₀+Dt количество произведенной продукции будет равно f(t₀+Dt). Тогда за промежуток времени Dt количество произведенной продукции изменится на . Тогда выражает производительность труда в момент времени t₀.

Непрерывность дифференцируемой функции

 

Теорема. Если функция y = f(x) в точке x имеет конечную производную, (т.е., если функция дифференцируема в точке), то она в этой точке непрерывна.

Обратная теорема неверна: из непрерывности функции, вообще говоря, не следует ее дифференцируемость.

 

 

Производная сложной функции

 

Если , а , т.е. , то y называется функцией от функции или сложной функцией от x, при этом переменная u – промежуточный аргумент, x - независимый аргумент.

Пусть существуют производные и . Тогда сложная функция имеет производную , которая находится по формуле

 

.

 

Производная сложной функции по независимому аргументу равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Таблица основных формул дифференцирования

(5.1)

(5.2)

(5.3)

(5.4)

 

(5.5)

(5.6)

(5.7)

 

(5.8)

 

(5.9)

 

(5.10)

 

(5.11)

 

(5.12)

(5.13)

 

(5.14)

 

(5.15)

 

(5.16)

 

(5.17)

 

Правила дифференцирования

(5.18)

 

(5.19)

 

(5.20)

 

(5.21)

Производная сложной функции

Если , , т.е. – сложная функция y от x, то

 

. (5.22)

 

 

Примеры. Найти производные функций.

 

1) .

Применим формулу (5.18).

Найдем производные каждого слагаемого отдельно.

. Вынесли постоянный множитель за знак производной (5.20) и применили (5.3). Далее объяснения аналогичны.

 

; ;

 

Итак,

 

 

2)

 

Применяя сначала формулу (5.19), затем формулы (5.4), (5.2), (5.8), (5.11), (5.1) таблицы, получим

 

 

 

3) .

 

Применим формулу (5.21).

 

 

Найдем y’(0):

 

4)

Это сложная функция y от x.

Обозначим Тогда имеем Применим формулу (5.22):

5) сложная функция от x.

Обозначим Итак, Применим формулу (5.22):

 

6)

 

Обозначим

Итак,

Использованы формулы (5.22), (5.8), (5.14).

 

 

7)

 

 

Примеры для самостоятельного решения

 

Найти производные функций:

 

1) . 2) . Найти

 

3) . 4) 5)

 

6) 7) 8)

 

9) 10) 11)

 

12) 13)

 

Дифференциал функции

 

Дана функция , где x – независимая переменная. Приращение независимой переменной называется дифференциалом независимой переменной и обозначается .

 

 

Дифференциалом функции называется произведение производной этой функции на дифференциал независимой переменной, обозначается или .

или

 

 

Примеры. Найти дифференциалы функций

 

1)

;

 

2) Функция обозначена буквой s, аргумент – буквой t, поэтому .

 

3)

.

 

.

 

Примеры для самостоятельного решения

 

Найти дифференциалы функций:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

 

Ответы: 1) 2)

3) 4) 5)

 

6)

 

Исследование функций одной переменной с помощью производных

Аналитические признаки возрастания и убывания функции

Функция называется возрастающей на некотором промежутке X, если из неравенства , где , – любые два значения из X, следует неравенство .

Функция называется убывающей на некотором промежутке X, если из неравенства , где , – любые два значения из X, следует неравенство .

Необходимые условия возрастания и убывания функции

Теорема 1 . Если дифференцируемая в интервале (a, b) функция возрастает , то для всех

Теорема 2. Если дифференцируемая в интервале (a, b) функция убывает , то для всех

 

Достаточные условия возрастания и убывания функции

 

Теорема 1 . Если функция непрерывна на отрезке [a, b] и для всех , то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке [a, b] и для всех , то эта функция убывает на отрезке [a, b].

Экстремумы функции

 

Функция имеет максимум (max) в точке x₀, если существует такая окрестность точки x₀, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство .

Функция имеет минимум (min) в точке x₀, если существует такая окрестность точки x₀, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство .

Максимумы и минимумы функции называются экстремумами.

 

Необходимое условие существования экстремума

 

Теорема . Если дифференцируемая функция имеет в точке x₀ экстремум, то .

 

Точки, в которых производная обращается в нуль или не существует, называются критическими точками.

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I. Если глагол в главном предложении имеет форму настоящего или будущего времени, то в придаточном предложении может употребляться любое время, которое требуется по смыслу.
2. II. Соотношение — вначале самопроизвольное, затем систематическое — между положительным мышлением и всеобщим здравым смыслом
3. VI. Выберите подчинительный союз, с помощью которого стиль и смысл высказывания передается точнее других.
4. Анализ влияния иностранных инвестиций на экономический рост принимающих стран.
5. Базовые элементы электротехники и ПЭ: R, C, L и их физический смысл.
6. Бессмысленность всей метафизики
7. Биологический смысл основных религиозных понятий. Краткий словарь.
8. Бытовой уровень. Что такое счастье и смысл жизни.
9. В тексте раскрыто значение термина «политика социального развития» в узком и широком смысле. Приведите их, обязательно отметив, какое значение соответствует узкому смыслу, а какое – широкому.
10. В чем физический смысл активной, реактивной и полной мощностей? Назовите единицы измерения?
11. В. С. Соловьев. «Смысл современных событий»
12. Внешний экономический износ.