Неопределенности и их раскрытие

Рассмотрим примеры.

Найдем

Теорему о пределе частного применять нельзя (4.3). Так как (x² -9) – бесконечно малая величина при , то обратная ее величина, т.е. , есть бесконечно большая величина при . Итак, при имеем произведение величины (5x+2), имеющей конечный предел, т.е.ограниченной, на бесконечно большую , это есть бесконечно большая величина.

4.8.1. Раскрытие неопределенности вида

2)

Числитель и знаменатель имеют бесконечные переделы при , т.е. имеем отношение двух бесконечно больших величин. Применять теорему о пределе частного нельзя. В этом случае говорят, что имеем неопределенность вида , а вычисление предела называют раскрытием неопределенности.

Разделим числитель и знаменатель почленно на высшую степень x, в данном примерe на x².

3)

Имеем неопределенность вида Делим числитель и знаменатель на x².

4.8.2. Раскрытие неопределенности вида

4)

Имеем неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулу , где x₁ и x₂–корни уравнения .

Сократим дробь на (x - 1).

5)

Примеры для самостоятельного решения

1. Отв.: 6/29.

2. Отв.: 0.

3. Отв.: ¥.

4. Отв.: 3/2.

5. Отв.: ¥.

6. Отв.: 0.

7. Отв.: 1/3.

8. Отв.: ¥.

9. Отв.: 0.

10. Отв.: 11/4.

11. Отв.: -2.

12. Отв.: ¥.

Понятие непрерывности функции

Пусть функция y = f(x) определена в некотором промежутке, содержащем т. x₀. Разность x-x₀ называется приращением аргумента x в точке x₀ и обозначается Dx, т.е. , отсюда

. (4.4)

Разность называется приращением функции в точке x₀ и обозначается .

Таким образом,

или

. (4.5)

Рис. 22.

Определение 1. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x₀, если:

1. функция определена в окрестности точки x₀;

2. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

(4.6)

То же самое, Отсюда

При т.е. , значит

(4.7)

Определение 2. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x₀, если:

1. функция определена в некоторой окрестности точки x₀;

2. функция имеет предел в точке x₀ ;

3. и он равен значению функции в точке x₀:

Графиком непрерывной функции является непрерывная линия.

Определение. Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Все основные элементарные функции непрерывны на области определения. При сложении, вычитании, умножении и делении (при условии, что делитель не равен 0) непрерывных функций в т. x₀ в результате получаются непрерывные функции в этой точке.

Точка x₀, в которой нарушается условие непрерывности функции, называется точкой разрыва, а функция в этой точке терпит разрыв. Например, функция (рис. 23)имеет разрыв в точке x=0, т.к. в этой точке функция не определена.

Рис. 23.

Дифференцирование функций

Производная. Ее геометрический и экономический смысл

Пусть задана функция y = f(x). Проделаем следующие 5 операций:

1. Закрепим некоторое значение х и найдем соответствующее значение функции f(x).

2. Придадим аргументу х приращение Dx, получим новое значение аргумента х+Dx и новое значение функции f(x+Dx).

3. Найдем приращение функции Dy = f(x+Dx) – f(x).

4. Составим отношение .

5. Устремим Dx к нулю и будем искать предел этого отношения .

Если этот предел существует, хотя бы и бесконечный, то он называется производной данной функции в точке х и обозначается или , или .

Таким образом, или .

Производная есть предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Производная при частном значении x=x₀ есть число, которое обозначают или .

Если функция y = f(x) в точке х имеет конечную производную, то она называется дифференцируемой в точке x₀.

Геометрический смысл производной

С геометрической точки зрения производная есть угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке М, абсцисса которой есть точка дифференцирования.

Рис. 24.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 Следующая ⇒