Теория пределов и непрерывность

Числовая последовательность.

Переменная, пробегающая числовую последовательность

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие действительное число x_n, т. е.

1, 2, 3, 4, …, n, …

x₁, x₂, x₃, x₄, …, x_n, …

 

то говорят, что задана числовая последовательность с общим членом x_n. В дальнейшем будем говорить, что задана переменная x, пробегающая числовую последовательность с общим членом x_n. В этом случае эту переменную будем обозначать x_n. Значения переменной x_n изображаются точками на числовой оси.

Например, даны переменные:

: или ;

 

 

 

: 1, 4, 6, …, 2n..

 

 

Число а называется пределом переменнойx_n, если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдется такое натуральное число N, что все значения переменной x_n, у которых номер n больше числа N, удовлетворяют неравенству .

Этот факт символически записывается так:

или

 

Геометрически это означает, что точки, изображающие значения переменной x_n, сгущаются, накапливаются около точки а.

Отметим, что если переменная имеет предел, то он единственный. Предел постоянной, есть сама постоянная, т.е. , если c=const. Переменная может вовсе не иметь предела.

Например, переменная x_n=(-1)ⁿ не имеет предела, т.е. нет единственного числа, около которого накапливаются значения переменной. Геометрически это очевидно .

 

Ограниченная переменная

Переменная x_n называется ограниченной, если существует такое число M > 0, что |x_n| < M для всех номеров n.

Дана переменная . В качестве числа М можно взять, например, 3. Очевидно, что для всех номеров n. Следовательно, – ограниченная переменная.

Переменная x_n = 2n является неограниченной, т.к. с ростом номера n ее значения увеличиваются и нельзя подобрать такое число M > 0, чтобы |2n| < M для всех номеров n.

 

Теорема. Если переменная имеет конечный предел, то она ограничена.

Обратная теорема неверна.

Бесконечно малые величины

Переменная x_n называется бесконечно малой, если ее предел равен 0.

Например, бесконечно малыми являются величины:

, так как ;

, так как

Величина не является бесконечно малой, это величина конечная.

Сумма (разность) конечного числа бесконечно малых есть величина бесконечно малая.

Произведение бесконечно малой на постоянную величину или на бесконечно малую или на величину, имеющую конечный предел, есть величина бесконечно малая.

 

 

Бесконечно большие величины

Переменная x_n называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа A> 0, найдется такое натуральное число N, что все значения переменной x_n, у которых номер n> N, удовлетворяют неравенству .

В этом случае пишут или .

Например, бесконечно большими являются переменные:

x_n = n²: 1, 4, 9, 16, …; x_n = -5n: -5, -10, -15, -20, …;

x_n= (-1)ⁿ× n : -1, 2, -3, 4, -5, 6, ….

Видно, что модули значений этих переменных неограниченно возрастают.

, , .

 

Произведение бесконечно большой на бесконечно большую или на величину, имеющую предел, есть бесконечно большая величина.

Сумма бесконечно больших одного знака есть бесконечно большая.

Величина обратная бесконечно большой есть бесконечно малая.

Величина обратная бесконечно малой есть бесконечно большая.

 

Замечание.

Если , а – число, то говорят, что x_n имеет конечный предел.

Если , то говорят, что x_n имеет бесконечный предел.

 

 

Арифметические действия над переменными величинами

Если переменные x_n и y_n имеют конечные пределы, то их сумма, разность, произведение и частное также имеют конечные пределы, причем, если и , то

(4.1)

(4.2)

(4.3)

 

Замечание: , c = const.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Функция

 

Пусть даны две переменные x и y.

Переменная y называется функцией от переменной x, если каждому значению x из некоторого множества по определенному закону соответствует определенное значение y.

При этом x называется независимой переменной или аргументом, y – зависимая переменная или функция. Обозначается: y = f(x) или y=y(x).

Множество значений x, для которых определяются значения функции y, называется областью определения функции. На числовой оси – это какой-то промежуток: отрезок [a, b], если ; интервал (a, b), если , , если .

Множество значений, которые принимает функция, называется областью значений (изменения функции).

Предел функции

 

Пусть функция y = f(x) задана в некотором промежутке, за исключением может быть точки а этого промежутка. Пусть , при этом x может принимать значения любой переменной x_n, стремящейся к а, .

Число А называется пределом функции f(x) при , если при любом способе стремления x к а, соответствующие значения функции f(x) стремятся к А.

Обозначается так: или при .

Вся теория пределов, построенная для переменной x_n, распространяется и на функцию.

 

Примеры.

1)

 

по формуле (4.1)

 

 

При вычислении предела функции вместо x подставили его предельное значение 2.

 

2)

 

Отметим, что .

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. MODULE 1 - Теория и практика
2. А. ТЕОРИЯ ЗАЩИТНЫХ МЕХАНИЗМОВ
3. Аналитическая теория личности
4. Б. Теория внутреннего насилия.
5. Б3.Б.1«Теория государства и права»
6. Билет1 Теория обучения как раздел педагогики
7. Бихевиористская теория депрессии.
8. Более подробно о теоретических основаниях курса сказано в разделе «Теория и методика изучения разделов науки о языке и развития речи».
9. В 13 веке развивается теория мистического экстаза.
10. Введение в курс Теория телетрафика
11. ВЕРБОЦЕНТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СИНТАКСИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЯ
12. Вопрос: 32 Теория выбора стиля руководства