Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении имеет вид:

(1.4)

где (x₁, y₁) – координаты данной точки М₁,

k – угловой коэффициент прямой.

Рис. 4.

Пучком прямых называется совокупность прямых плоскости, проходящих через одну и ту же точку M₁(x₁, y₁) – центр пучка.

Уравнение (4) можно рассматривать как уравнение пучка прямых.

Задача 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М₁(-3, 4) и наклоненной к оси Ох под углом 135^о.

Решение. Воспользуемся уравнением пучка прямых .Здесь x₁= -3, y₁= 4, k = tg135^o= -1. Значит y-4=-1(x+3), y-4+x+3=0, x+y-1=0.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки M₁(x₁, y₁), M₂(x₂, y₂) имеет вид:

(1.5)

Если точки М₁ и М₂ определяют прямую, параллельную оси Ох (т.е. ) или оси Оу (т.е. ), то уравнение прямой записывается в виде или .

Задача 4. Составить уравнение прямой, проходящей через:

1) М₁(-3, 5) и М₂(7, -2); 2) М₁(3, -4) и М₂(3, 6).

Решение. 1) Воспользуемся уравнением (5).

x₁= -3, y₁= 5, x₂ = 7, y₂ = -2,

2) прямая, параллельная Оу.

Задача 5. Составить уравнение прямой, проходящей через т. М₁(-2, 8) и середину отрезка АВ, где А(6, -5), В(-2, 1).

Решение. Найдем координаты середины отрезка по формулам:

Запишем уравнение прямой М₁М₂ по (5).

Угол между двумя прямыми.

Условие параллельности и перпендикулярности прямых

Углом между прямыми L₁ и L₂ называется угол, на который нужно повернуть против хода часовой стрелки прямую L₁ до совмещения с L₂ или чтобы они были параллельны.

Уравнение L₁: y=k₁ x+b₁, k₁=tgα ₁.

Уравнение L₂: y=k₂ x+b₂, k₂=tgα ₂.

Рис. 5.

- тангенс угла между прямыми. (1.6)

Рис. 6.

Если прямые параллельны, то α ₂ = α ₁, следовательно, tgα ₂= tgα ₁,

k₂=k₁ – условие параллельности прямых. (1.7)

Если прямые перпендикулярны, то но не существует, значит

1 + k₁k₂ = 0, отсюда

условие перпендикулярности прямых(1.8)

Задача 6. Найти угол между прямыми 2x-3y+4=0 и 5x+2y-1=0.

Решение. Найдем угловые коэффициенты прямых:

По формуле (6)

Задача 7. Даны вершины Δ АВС: А(-5, 6), B(2, 3), C(-3, 2). Найти:

1) длину стороны ВС;

2) уравнение стороны ВС;

3) уравнение высоты АН;

4) уравнение медианы ВМ;

5) уравнение прямой, проходящей через вершину А, параллельно стороне ВС;

6) точку F пересечения медианы ВМ и высоты АН;

7) сделать чертеж.

Решение.

1) Найдем длину ВС по формуле расстояния между двумя точками:

Рис. 7.

2) Составим уравнение стороны ВС:

уравнение ВС;

3) Так как высота , то но значит .

Уравнение высоты АН составим, пользуясь пучком прямых, проходящих через А(-5, 6).

y-y_A= k(x-x_A), y-6=-5(x-(-5)), y-6=-5x-25,

5x+y+19=0 – уравнение высоты АН.

4) Найдем координаты точки М по формулам:

M(-4, 4).

Напишем уравнение медианы ВМ по формуле

-6(y-3)=x-2, -6y+18=x-2,

x+6y-20=0 – уравнение ВМ.

5) Прямая l параллельна ВС, следовательно, (см. п.2). Тогда

уравнение прямой l.

6) Найдем точку F пересечения прямых ВМ и АН.

Понятие о кривых второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, которые аналитически определяются уравнениями второй степени, относительно переменных координат x и y. К ним относятся: окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Окружность

Задача 8. Составить каноническое уравнение окружности с центром в точке С(a, b) и радиусом R.

Решение. M(x, y) – произвольная точка окружности. По определению окружности Найдем длину отрезка СМ. но , отсюда

(1.9)

– каноническое уравнение окружности.

Рис. 8.

Если центр окружности в т. О(0, 0), то

(1.10)

– каноническое уравнение окружности с центром в начале координат.

Эллипс

Каноническое уравнение эллипса:

. (1.11)

2а – большая ось, а – большая полуось;

2b – малая ось, b – малая полуось;

2с – фокусное расстояние, с – полуфокусное расстояние.

b²= а²– с². (1.12)

A₁(a, 0), A₂(-a, 0), B₁(0, b), B₂(0, -b) – вершины, F₁(c, 0), F₂(-c, 0) – фокусы.

Рис. 9.

Гипербола

Гиперболой называют множество точек плоскости, координаты которых в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению

(1.13)

Рис. 10. Рис. 11.

1) Гипербола (13) не пересекает оси координат.

2) При k> 0 график расположен в I и III координатных углах, а при k< 0 – во II и IV.

3) Прямые x=0 и y=0 – оси координат являются асимптотами гиперболы.

Асимптотой кривой называется прямая, если расстояние от переменной точки М кривой до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат по кривой.

4) Точка О(0, 0) – центр симметрии гиперболы.

Уравнение

(1.14)

также определяет гиперболу на плоскости x0y. Это уравнение с помощью параллельного переноса осей координат

приводится к виду

(1.15)

Значит уравнение (14) определяет гиперболу в системе x0y, но ее центр находится в т. О(a, b), а асимптоты параллельны координатным осям и имеют уравнения x=a и y=b.

Рис. 12.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 Следующая ⇒