Достаточные условия существование экстремума

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 7

Теорема 1. Если непрерывная функция имеет производную во всех точках некоторого интервала, содержащего критическую точку x₀ (кроме, быть может, самой точки x₀) и, если производная при переходе слева направо через критическую точку x₀ меняет знак с плюса на минус, то функция в этой точке имеет максимум; если же при переходе через точку x₀ производная меняет знак с минуса на плюс, то функция в этой точке имеет минимум.

Теорема 2. Если функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀ и , а , и, если , то в точке x₀функция имеет max, если , то в точке x₀функция имеет min

Выпуклость, вогнутость

График дифференцируемой функции называется выпуклым на интервале (a, b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале (рис.25).

Рис. 25. Рис. 26.

График дифференцируемой функции называется вогнутым на интервале (a, b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале (рис. 26).

Теорема. Пусть функция непрерывна вместе со своей производной на отрезке [a, b], и имеет в интервале (a, b) вторую производную .

Если во всех точках (a, b), то график функции в этом интервале выпуклый .

Если во всех точках (a, b), то график функции в этом интервале вогнутый .

Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба (рис. 27).

Точка, в которой называется точкой, подозрительной на перегиб.

Рис.27.

План исследования функции

1. Найти область определения функции.

2. В случае, если область определения функции симметрична относительно начала координат, проверить, не является ли функция четной или нечетной.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Найти интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума.

5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба.

6. Определить поведение функции при , по необходимости вычислить дополнительно точки.

7. Построить график.

Задача

Исследовать и построить график функции

1. Область определения:

Функция определена и непрерывна при

– функция ни нечетная;

функция ни четная.

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.

С 0y:

c 0x:

График проходит через О(0; 0), (3; 0).

4. Найдем интервалы монотонности функции, точки экстремума.

точки, подозрительные на экстремум.

Функция убывает при , т.к.

функция возрастает при , т.к.

y_min =y(1)= -2× 1³+12× 1² -18× 1 = -8.

y_man =y(3)= -2× 3³+12× 3² -18× 3 = 0.

5. Найдем интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

точка, подозрительная на перегиб.

y(2)= -2× 2³+12× 2² -18× 2 = -4.

(2; -4) – точка перегиба графика функции.

График функции выпуклый при , т.к.

График функции вогнутый при , т.к.

Видим, что при

при

7. Строим график.

Рис.28.

Функция двух независимых переменных

Основные понятия

Переменная Z называется функцией двух независимых переменных x и y, если каждой паре чисел (x, y) из множества D по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение из множества Е.

Обозначение: , где z – зависимая переменная или функция;

x, y – независимые переменные или аргументы.

Областью определения функции называется множество пар чисел (x, y), которым соответствуют определенные числовые значения z.

Обозначение: D(z) – область определения функции.

Так как каждой паре чисел (x, y) соответствует единственная точка М плоскости x0y, то областью определения является множество точек плоскости x0y.

Пример.

Найти и построить область определения функции

Функция z определена при условии или Итак, областью определения функции является множество точек круга (рис. 29), включая его границу.

Рис.29.

7.2. Частные производные функции

Пусть в области D задана непрерывная функция . Переменной x дадим произвольное приращение , оставляя значение переменной y неизменным. Тогда функция z получит приращение

которое называется частным приращением функции по переменной x в точке М(x, y).

Переменной y дадим произвольное приращение , оставляя значение переменной x неизменным. Тогда функция z получит приращение

которое называется частным приращением функции по переменной y в точке М(x, y).

Частной производнойпо x от функции называется предел отношения частного приращения по x к приращению при и обозначается или .

По определению

Частной производной по y от функции называется предел отношения частного приращения по y к приращению при и обозначается или .

По определению

Частную производную по x находят в предположении, что y=const, а частную производную по y – в предположении, что x=const.

Частные производные функции находят по формулам и правилам дифференцирования функций одной переменной.

Примеры.

1) Найти частные производные функции

2) Дана функция Доказать, что

Найдем частные производные.

Подставим в левую часть данного равенства.

Равенство доказано.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 67