Уравнение прямой с угловым коэффициентом

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Аналитическая геометрия

Прямая линия

Общее уравнение прямой

Если на плоскости взята декартова система координат, то всякое уравнение первой степени относительно текущих координат x и y

Ax + By + C = 0, (1.1)

где А и В одновременно не равны нулю, определяет прямую в этой системе координат.

Верно и обратное: в декартовой системе координат всякая прямая может быть задана уравнением первой степени вида (1.1).

Уравнение (1.1) – общее уравнение прямой.

Частные случаи

Значение коэффициентов	Уравнение прямой	Положение прямой
С = 0	Ax + By = 0	Прямая проходит через начало координат
А = 0	By + C = 0, y = - C/B, -C/B=b, y=b	Прямая параллельна оси Ох
В = 0	x = a, где a = -C/A	Прямая параллельна оси Oy
А = С = 0	y = 0	Прямая совпадает с осью Ox (уравнение оси Ох)
В = С = 0	x = 0	Прямая совпадает с осью Oy (уравнение оси Oy)

Задача 1. Построить прямую 3x-2y+6=0.

Решение. Для построения прямой достаточно знать какие-либо две ее точки, например, точки пересечения с осями координат.

Пусть y=0, тогда 3x+6=0, x=-2, A(-2, 0) – лежит на оси Ох.

x=0, -2y+6=0, y=3, B(0, 3) – лежит на оси Oy (рис. 1).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Углом наклона прямой к оси Ох называется угол, на который надо повернуть в положительном направлении ось Ох, чтобы она совпадала с данной прямой (или оказалась параллельной).

Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой и обозначается k.

(1.2)

Уравнение

(1.3)

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

b – ордината точки пересечения прямой с осью Оу (рис.3, а)

При b=0 y=kx – уравнение прямой, проходящей через начало координат (рис.3, б).

При k=0 y=b – прямая параллельна оси Ох (рис. 3, в).

При k=b=0 y=0 – уравнение оси Ох.

x=a – уравнение прямой, параллельной оси Оу (рис.3, г).

x=0 – уравнение оси Оу.

Рис. 3.

Замечание. Чтобы найти угловой коэффициент прямой, заданной общим уравнением, надо привести его к виду y=kx+b (т.е. разрешить относительно y).

Задача 2. Найти угловой коэффициент прямой 2x-3y+5=0.

Решение. Выразим из уравнения y:

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении имеет вид:

(1.4)

где (x₁, y₁) – координаты данной точки М₁,

k – угловой коэффициент прямой.

Рис. 4.

Пучком прямых называется совокупность прямых плоскости, проходящих через одну и ту же точку M₁(x₁, y₁) – центр пучка.

Уравнение (4) можно рассматривать как уравнение пучка прямых.

Задача 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М₁(-3, 4) и наклоненной к оси Ох под углом 135^о.

Решение. Воспользуемся уравнением пучка прямых .Здесь x₁= -3, y₁= 4, k = tg135^o= -1. Значит y-4=-1(x+3), y-4+x+3=0, x+y-1=0.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки M₁(x₁, y₁), M₂(x₂, y₂) имеет вид:

(1.5)

Если точки М₁ и М₂ определяют прямую, параллельную оси Ох (т.е. ) или оси Оу (т.е. ), то уравнение прямой записывается в виде или .

Задача 4. Составить уравнение прямой, проходящей через:

1) М₁(-3, 5) и М₂(7, -2); 2) М₁(3, -4) и М₂(3, 6).

Решение. 1) Воспользуемся уравнением (5).

x₁= -3, y₁= 5, x₂ = 7, y₂ = -2,

2) прямая, параллельная Оу.

Задача 5. Составить уравнение прямой, проходящей через т. М₁(-2, 8) и середину отрезка АВ, где А(6, -5), В(-2, 1).

Решение. Найдем координаты середины отрезка по формулам:

Запишем уравнение прямой М₁М₂ по (5).

Угол между двумя прямыми.

Понятие о кривых второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, которые аналитически определяются уравнениями второй степени, относительно переменных координат x и y. К ним относятся: окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Окружность

Задача 8. Составить каноническое уравнение окружности с центром в точке С(a, b) и радиусом R.

Решение. M(x, y) – произвольная точка окружности. По определению окружности Найдем длину отрезка СМ. но , отсюда

(1.9)

– каноническое уравнение окружности.

Рис. 8.

Если центр окружности в т. О(0, 0), то

(1.10)

– каноническое уравнение окружности с центром в начале координат.

Эллипс

Каноническое уравнение эллипса:

. (1.11)

2а – большая ось, а – большая полуось;

2b – малая ось, b – малая полуось;

2с – фокусное расстояние, с – полуфокусное расстояние.

b²= а²– с². (1.12)

A₁(a, 0), A₂(-a, 0), B₁(0, b), B₂(0, -b) – вершины, F₁(c, 0), F₂(-c, 0) – фокусы.

Рис. 9.

Гипербола

Гиперболой называют множество точек плоскости, координаты которых в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению

(1.13)

Рис. 10. Рис. 11.

1) Гипербола (13) не пересекает оси координат.

2) При k> 0 график расположен в I и III координатных углах, а при k< 0 – во II и IV.

3) Прямые x=0 и y=0 – оси координат являются асимптотами гиперболы.

Асимптотой кривой называется прямая, если расстояние от переменной точки М кривой до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат по кривой.

4) Точка О(0, 0) – центр симметрии гиперболы.

Уравнение

(1.14)

также определяет гиперболу на плоскости x0y. Это уравнение с помощью параллельного переноса осей координат

приводится к виду

(1.15)

Значит уравнение (14) определяет гиперболу в системе x0y, но ее центр находится в т. О(a, b), а асимптоты параллельны координатным осям и имеют уравнения x=a и y=b.

Рис. 12.

Элементы линейной алгебры

Обратная матрица

Матрица называется обратной для квадратной невырожденной матрицы А, если выполняется условие:

где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А.

Для матрицы , у которой , обратная матрица А^-1 находится по формуле:

(2.3)

где А₁₁, А₁₂, …, А₃₃ – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А.

Пример 6. Для матрицы найти обратную матрицу А^-1 и проверить, что

Найдем следовательно, матрица А – невырожденная и имеет обратную А^-1.

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А.

Составляем обратную матрицу А^-1 по формуле

Проверим, что

Правило Крамера

Составим определитель системы из коэффициентов при неизвестных

(2.5)

Если , то система (2.4) имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

(2.6)

где , , получены из определителя заменой соответственно первого, второго, третьего столбца столбцом из свободных членов системы (2.4).

(2.7)

Пример 7. Решить систему

Вычисляем определитель системы (2.5) и определители , , (2.6).

следовательно, система имеет единственное решение.

По формулам Крамера (2.6) находим:

Можно сделать проверку, подставив значения неизвестных в уравнения системы.

Итак, x₁=x₂=x₃=1 – решение системы.

Метод Гаусса

Рассмотрим систему (2.4):

Метод Гаусса, иначе метод последовательного исключения неизвестных, состоит в следующем. Пусть Исключим из 2-го и 3-го уравнений системы x₁. Получим систему:

Далее исключим x₂ из 3-го уравнения:

Получим систему треугольного вида. Из 3-го уравнения найдем x₃, подставляя его во 2-ое уравнение, найдем x₂, затем из 1-го уравнения найдем x₁, подставляя в него x₂ и x₃.

Пример 8. Решить систему

Переставим 3-е и 1-ое уравнения, чтобы в 1-ом уравнении коэффициент при x₁ был равен 1.

Исключим x₁ из 2-го и 3-его уравнений. Для этого умножим 1-ое уравнение на (-4) и сложим его со 2-м уравнением; затем умножим 1-ое уравнение на (-6) и сложим с 3-м уравнением. Получим систему:

Исключим x₂ из 3-его уравнения. Для этого умножим 2-ое уравнение на (-13/10) и сложим с 3-м уравнением. Получим систему:

Из последнего уравнения находим x₃= -1, подставляем во 2-ое уравнение:

-10x₂ - 13(-1) = -7, -10x₂ = - 20, x₂ = 2.

Подставляя x₂ и x₃ в 1-ое уравнение, получим

Итак, решение системы: x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = -1.

Элементы векторной алгебры

Вектор – направленный отрезок; обозначается или . А – начало вектора, В – конец.

Длина или модуль вектора обозначается .

Рис. 21.

В координатном пространстве 0xyz вектор может быть представлен в виде

(3.1)

Эта формула дает разложение вектора по базису векторов , , ; , , - прямоугольные декартовые координаты вектора (иначе проекции вектора на оси координат).

Формулу (3.1) можно записать так:

– вектор имеет координаты , , .

Длина (модуль) вектора находится по формуле:

. (3.2)

Если вектор задан задан координатами начала A(x₁, y₁, z₁)и конца B(x₂, y₂, z₂), то координаты находятся по формулам:

(3.3)

Если известны разложения векторов и по осям координат , то при сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются), при умножении вектора на число координаты вектора умножаются на это число, т.е.

(3.4)

Скалярным произведением векторов и , обозначается , называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

. (3.5)

Если , , то

. (3.6)

Если векторы и коллинеарны (параллельны), то

. (3.7)

Если векторы и ортогональны (перпендикулярны), то

или (3.8)

Пример 10. Даны точки А₁(1, 0, -1), A₂(2, -1, 1), A₃(0, 1, -2). Средствами векторной алгебры, учитывая, что найти:

1) координаты векторов и .

Используем формулу (3.3):

или ;

или .

2) Координаты вектора

Используя формулы (3.4) и (3.5), получим

или

3) длину вектора

По формуле (3.2):

4) Скалярное произведение

По формуле (3.6):

5) Проверить, коллинеарны или ортогональны векторы и

Проверяем условия (3.7) и (3.8).

векторы и неколлинеарны.

векторы неортогональны.

Примеры для самостоятельного решения

1. Вычислить определители.

1.1. а) б)

1.2. По правилу треугольников:

а) б)

1.3. Разложив по элементам 1-ой строки:

1.4. Разложив по элементам строки (столбца), где больше нулей:

1. Решить системы и сделать проверку.

2.1. По формулам Крамера.

а) б)

2.2. По методу Гаусса.

а) б)

2.3. С помощью обратной матрицы

а) б)

2. Даны точки А(-3, 4, 1), В(2, 3, 4). Найти разложение вектора по базису векторов , , и длину вектора . Отв.:

3. Даны точки А(0, -2, 3), В(2, 1, 4), С(3, 4, 5). Найти:

а) координаты (проекции) векторов и

б) координаты вектора

с) длину вектора

4. Даны векторы Найти скалярное произведение векторов .

5. Доказать, что векторы и коллинеарны.

6. Доказать, что векторы ортогональны.

Ограниченная переменная

Переменная x_n называется ограниченной, если существует такое число M > 0, что |x_n| < M для всех номеров n.

Дана переменная . В качестве числа М можно взять, например, 3. Очевидно, что для всех номеров n. Следовательно, – ограниченная переменная.

Переменная x_n = 2n является неограниченной, т.к. с ростом номера n ее значения увеличиваются и нельзя подобрать такое число M > 0, чтобы |2n| < M для всех номеров n.

Теорема. Если переменная имеет конечный предел, то она ограничена.

Обратная теорема неверна.

Бесконечно малые величины

Переменная x_n называется бесконечно малой, если ее предел равен 0.

Например, бесконечно малыми являются величины:

, так как ;

, так как

Величина не является бесконечно малой, это величина конечная.

Сумма (разность) конечного числа бесконечно малых есть величина бесконечно малая.

Произведение бесконечно малой на постоянную величину или на бесконечно малую или на величину, имеющую конечный предел, есть величина бесконечно малая.

Бесконечно большие величины

Переменная x_n называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа A> 0, найдется такое натуральное число N, что все значения переменной x_n, у которых номер n> N, удовлетворяют неравенству .

В этом случае пишут или .

Например, бесконечно большими являются переменные:

x_n = n²: 1, 4, 9, 16, …; x_n = -5n: -5, -10, -15, -20, …;

x_n= (-1)ⁿ× n : -1, 2, -3, 4, -5, 6, ….

Видно, что модули значений этих переменных неограниченно возрастают.

, , .

Произведение бесконечно большой на бесконечно большую или на величину, имеющую предел, есть бесконечно большая величина.

Сумма бесконечно больших одного знака есть бесконечно большая.

Величина обратная бесконечно большой есть бесконечно малая.

Величина обратная бесконечно малой есть бесконечно большая.

Замечание.

Если , а – число, то говорят, что x_n имеет конечный предел.

Если , то говорят, что x_n имеет бесконечный предел.

Функция

Пусть даны две переменные x и y.

Переменная y называется функцией от переменной x, если каждому значению x из некоторого множества по определенному закону соответствует определенное значение y.

При этом x называется независимой переменной или аргументом, y – зависимая переменная или функция. Обозначается: y = f(x) или y=y(x).

Множество значений x, для которых определяются значения функции y, называется областью определения функции. На числовой оси – это какой-то промежуток: отрезок [a, b], если ; интервал (a, b), если , , если .

Множество значений, которые принимает функция, называется областью значений (изменения функции).

Предел функции

Пусть функция y = f(x) задана в некотором промежутке, за исключением может быть точки а этого промежутка. Пусть , при этом x может принимать значения любой переменной x_n, стремящейся к а, .

Число А называется пределом функции f(x) при , если при любом способе стремления x к а, соответствующие значения функции f(x) стремятся к А.

Обозначается так: или при .

Вся теория пределов, построенная для переменной x_n, распространяется и на функцию.

Примеры.

по формуле (4.1)

При вычислении предела функции вместо x подставили его предельное значение 2.

Отметим, что .

Дифференцирование функций

Производная сложной функции

Если , а , т.е. , то y называется функцией от функции или сложной функцией от x, при этом переменная u – промежуточный аргумент, x - независимый аргумент.

Пусть существуют производные и . Тогда сложная функция имеет производную , которая находится по формуле

Производная сложной функции по независимому аргументу равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Таблица основных формул дифференцирования

(5.1)

(5.2)

(5.3)

(5.4)

(5.5)

(5.6)

(5.7)

(5.8)

(5.9)

(5.10)

(5.11)

(5.12)

(5.13)

(5.14)

(5.15)

(5.16)

(5.17)

Правила дифференцирования

(5.18)

(5.19)

(5.20)

(5.21)

Производная сложной функции

Если , , т.е. – сложная функция y от x, то

. (5.22)

Примеры. Найти производные функций.

1) .

Применим формулу (5.18).

Найдем производные каждого слагаемого отдельно.

. Вынесли постоянный множитель за знак производной (5.20) и применили (5.3). Далее объяснения аналогичны.

; ;

Итак,

Применяя сначала формулу (5.19), затем формулы (5.4), (5.2), (5.8), (5.11), (5.1) таблицы, получим

3) .

Применим формулу (5.21).

Найдем y’(0):

Это сложная функция y от x.

Обозначим Тогда имеем Применим формулу (5.22):

5) сложная функция от x.

Обозначим Итак, Применим формулу (5.22):

Обозначим

Итак,

Использованы формулы (5.22), (5.8), (5.14).

Примеры для самостоятельного решения

Найти производные функций:

1) . 2) . Найти

3) . 4) 5)

6) 7) 8)

9) 10) 11)

12) 13)

Дифференциал функции

Дана функция , где x – независимая переменная. Приращение независимой переменной называется дифференциалом независимой переменной и обозначается .