Системы 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

(2.4)

а₁₁, a₁₂, …, a₃₃ – коэффициенты при неизвестных,

b₁, b₂, b₃ – свободные члены.

Решить систему (2.4) – значит найти такую упорядоченную тройку чисел x₁=c₁, x₂=c₂, x₃=c₃, при подстановке которых в уравнения системы последние обращаются в тождества.

Система уравнений, имеющая решения (единственное или бесчисленное множество), называется совместной, система уравнений, не имеющая решений, – несовместной.

Приведем три способа решений системы (2.4).

Правило Крамера

Составим определитель системы из коэффициентов при неизвестных

(2.5)

Если , то система (2.4) имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

(2.6)

где , , получены из определителя заменой соответственно первого, второго, третьего столбца столбцом из свободных членов системы (2.4).

(2.7)

Пример 7. Решить систему

Вычисляем определитель системы (2.5) и определители , , (2.6).

следовательно, система имеет единственное решение.

По формулам Крамера (2.6) находим:

Можно сделать проверку, подставив значения неизвестных в уравнения системы.

Итак, x₁=x₂=x₃=1 – решение системы.

Метод Гаусса

Рассмотрим систему (2.4):

Метод Гаусса, иначе метод последовательного исключения неизвестных, состоит в следующем. Пусть Исключим из 2-го и 3-го уравнений системы x₁. Получим систему:

Далее исключим x₂ из 3-го уравнения:

Получим систему треугольного вида. Из 3-го уравнения найдем x₃, подставляя его во 2-ое уравнение, найдем x₂, затем из 1-го уравнения найдем x₁, подставляя в него x₂ и x₃.

Пример 8. Решить систему

Переставим 3-е и 1-ое уравнения, чтобы в 1-ом уравнении коэффициент при x₁ был равен 1.

Исключим x₁ из 2-го и 3-его уравнений. Для этого умножим 1-ое уравнение на (-4) и сложим его со 2-м уравнением; затем умножим 1-ое уравнение на (-6) и сложим с 3-м уравнением. Получим систему:

Исключим x₂ из 3-его уравнения. Для этого умножим 2-ое уравнение на (-13/10) и сложим с 3-м уравнением. Получим систему:

Из последнего уравнения находим x₃= -1, подставляем во 2-ое уравнение:

-10x₂ - 13(-1) = -7, -10x₂ = - 20, x₂ = 2.

Подставляя x₂ и x₃ в 1-ое уравнение, получим

Итак, решение системы: x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = -1.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Дана система: (2.8)

Составим матрицу А из коэффициентов при неизвестных, матрицу-столбец Х – из неизвестных, матрицу-столбец В – из свободных членов.

Систему (2.8) можно записать в матричной форме так:

Матрица-решение Х находится по формуле:

(2.9)

А^-1 – обратная матрица для матрицы А, она составляется из алгебраических дополнений элементов матрицы А по формуле (2.3):

– детерминант или определитель матрицы А, .

Пример 9. Решить систему:

Введем матрицы: ,

Обратная матрица вычислена в примере 6. По формуле (2.9) находим решение системы

Итак, x₁=1, x₂=1, x₃=1.

Элементы векторной алгебры

Вектор – направленный отрезок; обозначается или . А – начало вектора, В – конец.

Длина или модуль вектора обозначается .

Рис. 21.

В координатном пространстве 0xyz вектор может быть представлен в виде

(3.1)

Эта формула дает разложение вектора по базису векторов , , ; , , - прямоугольные декартовые координаты вектора (иначе проекции вектора на оси координат).

Формулу (3.1) можно записать так:

– вектор имеет координаты , , .

Длина (модуль) вектора находится по формуле:

. (3.2)

Если вектор задан задан координатами начала A(x₁, y₁, z₁)и конца B(x₂, y₂, z₂), то координаты находятся по формулам:

(3.3)

Если известны разложения векторов и по осям координат , то при сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются), при умножении вектора на число координаты вектора умножаются на это число, т.е.