Свойства неопределённого интеграла.

Неопределённый интеграл обладает след. Основными свойствами.

1. Производная неопределённого интеграла равна подинтегральной функции; дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:

(т.е. знаки в и , тогда первый помещен перед вторым, взаимно сокращаются ).

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого:

(т.е. знаки dи сокращается и тогда, когда d стоит после , только при этом к рез – ту нужно прибавить производную постоянную.)

 

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла.

(k=const)

4. Неопределённый интеграл от суммы нескольких слагаемых функции.

так, для 2-х слагаемых:

. (*)

При вычислении неопределенного интегралов полезно знать следующее правило:

Если то

Дано,

Пример6.6.4. .

Проверка: .

(следует, равенство выполняется).

.

Таблица основных неопределенных интегралов

Таблицу простейших неопределённых интегралов нетрудно получить, воспользовавшись тем, что интегрирование является операцией, обратной дифференцированию.

Будем исходить из следующего: если , то .

Например 6.6.5.Поскольку то .

Применяя аналогичное рассуждение к каждой из формул таблицы дифференциалов, получаем следующую таблицу простейших неопределённых интегралов:

1. .

2.

3. .

4. . 4a. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. . (если ).

20. .

21. .

22.

Пример6.6.6. .

Пример6.6.7. .

Отметим, что все указанные формулы справедливы в тех промежутках, в которых определены соответствующие функции. Например, формула 3 справедлива для любого промежутка, не содержащего точку х=0, формула 9 – для интервала и т.п.

Эти формулы часто употребляются, поэтому их необходимо помнить наизусть.

Основные формулы интегрирования получаются путем обращения формул для производных, поэтому перед изучением настоящей темы необходимо повторить основные формулы дифференцирования функций.

Сравнивая операции дифференцирования и интегрирования функций, видим:

1) если для дифференцируемости функции непрерывность функции является условием необходимым, но не достаточным, то для интегрируемости функции непрерывность функции на данном отрезке является только условием достаточным, но необходимым.

2) В то время как операция дифференцирования однозначна, операция интегрирования многозначна, ибо если функция имеет первообразную на отрезке, то она имеет и бесчисленное множество первообразных на этом отрезке.

Однако задача отыскания совокупности всех первообразных сводится к задаче отыскания только одной первообразной, так как все первообразные данной функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Непосредственное интегрирование

Метод непосредственного интегрирования является одним из простейших методов интегрирования.

Он опирается на:

1) таблицу интегралов;

2) основные свойства неопределенных интегралов.

Рассмотрим несколько примеров на применение метода непосредственного интегрирования:

Пример 6.6.8.Найти неопределенный интеграл

I = (использовать свойства 4 и 3; формулы 2, 4а, 6таблицы простейших интегралов.) = =

Проверка:

Пример 6.6.9.

.

Пример 6.6.10. .

Пример 6.6.11.

Прибавим и вычтем в числителе

В некоторых случаях сложное на первый взгляд выражение, стоящее под знаком интеграла, удается преобразовать и свести к простейшим формулам интегрирования:

Пример 6.6.12. .

Замечание. В таблице основных интегралов предполагалось, что х является независимой переменной.

Однако формулы этой таблицы остаются справедливыми и в случае, когда ; где - любая дифференцируемая функция новой переменной t.

Доказано, пусть (*) , , и пусть дифференцируемая функция х.

В силу инвариантности формы первого дифференциала

, откуда (**)

Итак, из справедливости формулы (*) следует справедливость формулы (**), которая получается из первой формулы формальной заменой х на U.

На основании этого свойства получаем обобщенную таблицу простейших интегралов.

,

и т. д., где u – любая дифференцируемая функция х.

Примеры 6.6.12.

1) ;

2) ;

3) ;

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Употребление будущего неопределенного времени
2. Употребление прошедшего неопределенного времени