Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат

Во многих задачах, требующих применения двойных интегралов, прямоугольная система координат не является наилучшей.

Поэтому следует уметь переходить от одной системы координат к другой, более удобной, например, полярной.

Если 1) подынтегральная функция или 2) уравнение границы области интегрирования В содержит сумму , то в большинстве случаев упрощение интеграла достигается преобразованием его к полярным координатам, т.к. в полярных координатахх.

Рассмотрим, как двойной интеграл в прямоугольных координатах преобразовать в двойной интеграл в полярных координатах.

Пусть имеем двойной интеграл

где функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D.

Будем считать, что область D такова, что любая прямая, проходящая через начало координат, пересекает границу области более, чем в 2-х точках.

Преобразуем интеграл от прямоугольных координат к полярным координатам r и q.

При выводе формулы преобразования мы воспользуемся, хотя и не вполне строгим, но простым и наглядным геометрическим методом рассуждений.

Отнесём область D к полярным координатам, приняв ось ОХ за полярную ось, а начало координат за полюс.

В этом случае, как легко установить, прямоугольные координаты точки связаны с полярными координатами следующим соотношениями:

Для того, чтобы получить все точки плоскости ОХУ, достаточно, очевидно, ограничиться знчениями r³ 0 и 0 £ q£ 2p.

По определению двойной интеграл

Поскольку этот предел не зависит от способа разбиения области D на частичные области, то мы можем разбить область D по своему усмотрению.

Рассмотрим такое дробление области D, чтобы легче было осуществить преобразование двойного интеграла к полярным координатам.

Разобъём область D на частичные области с помощью 1) концентрических окружностей с центром в полюсе и 2) лучей, исходящих из полюса О.

Пусть этому разбиению области D отвечает интегральная сумма

( Площади частичных областей D_i( i =1, 2, ..., n) обозначим через DS_i ).

Частичная область D_i представляет собой криволинейную фигуру, ограниченную двумя дугами концентрических окружностей радиусов r_i и r_i+1 и двумя отрезками лучей.

Обозначим ( Средний радиус между r_i и r_i+ Dr_i).

Тогда .

Для составления интегральной суммы для функции f(x, y) в качестве точек ( x_i, h_i ) областей D_i выбираем точки, лежащие на средних окружностях радиуса r_i.

Согласно формулам для произвольно выбранной т. ( x_i, h_i ) будем иметь

(взяли , т.к. точка находится на окружности радиуса ).

Угол q_i – между полярной осью и лучом, проходящим через т. ( x_i, h_i )

Тогда

В пределе получим:

Т.к. слева в равенстве стоит интегральная сумма для непрерывной функции f (x, y), а справа – интегральная сумма также для непрерывной функции f(rcosq, rsinq)r, то пределы этих сумм существуют и равны соответствующим двойным интегралам.

Подставив в сумму получим

Его можно сформулировать так:

Правило преобразования.

Для того чтобы преобразовать двойной интеграл в прямоугольных координатах в интеграл в полярных координатах, нужно:

1) в подынтегральной функции f(x, y) заменить х и у соответственно через rcosq и rsinq;

2) элемент площади dxdy в прямоугольных координатах заменить произведением rdrdq( которое называют элементом площади в полярных координатах ).

Сначала отмечают крайние значения a и b полярного угла q.

Угол a соответствует точке А, угол b – точке В контура. точки А и В разбивают контур ( границу области D) на 2 части: АСВ и ВЕА, уравнения которых соответственно обозначают через r₁ = r₁( q ) и r₂ = r₂( q ), где r₁( q ) и r₂( q ) – непрерывные функции, заданные на сегменте [a, b]. Следовательно, область D ограничена 1) линиями

r₁ = r₁( q ) – уравнение АСВ,

r₂ = r₂( q ) – уравнение ВЕА и

2) двумя лучами, образующими с полярной осью углы a и b; причём a< b; r₁( q ) и r₂( q ) – непрерывные функции.

Следовательно, пределы внешнего интеграла будут a и b. Найдём пределы внутреннего интеграла.Для этого фиксируем произвольное значение угла q между a и b, затем из полюса О под углом q проводим луч ОЕ.

Точка входа этого луча в области D лежит на линии r₁ = r₁( q ), а точка выхода его из области D лежит на линии r₂ = r₂( q ).

Уравнения этих линий и дают соответственно нижний и верхний пределы внутреннего интеграла:

. (

Пример 6.8.7.

Перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в следующем интеграле:

Решение

Пример6.8.8.Вычислить двойной интеграл ,

где область D есть кольцо, заключенное между окружностями х² + у² = е²и х² + у² = 1.

Пример 6.8.9.Вычислить , где (D) область, ограниченная полярной осью и кривой с дополнительным условием: полярный угол .

Решение.

Кривая - лемниската. Определим, как изменяется угол j в области D. С увеличением угла j ( при условии j< p/2) полярный радиус r уменьшается. При некотором значении j он становится равным нулю. Найдём это значение j.

Подставим в уравнение лемнискаты r = 0 и получим уравнение для определения j:

( учтено условие, что j< p/2 ).

Таким образом, в области D полярный угол изменяется от 0 до p/4.

Переменная r изменяется в области D от r= 0 до , по формуле

Поверхностные интегралы

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 7 8 91011 12 Следующая ⇒