Интегрирование по частям в определенном интеграле

Пусть функции U(x) и V(x) имеют непрерывные производные на [a; b], тогда справедлива формула

. (6.7.3)

Пример6.7.2. Вычислить: .

Решение: пусть , т. к. функции и непрерывны на вместе со своими производными, то согласно формуле (I) находим

Замена переменной в определенном интеграле

Пусть требуется вычислить , где f(x)- непрерывная на [a; b] функция. Часто здесь бывает удобно применить, как и в случае вычисления неопределенного интеграла, замену переменной путем введения вместо старой переменной новой переменной t, связанной со старой соотношением .

Итак, введем новую переменную t, положив .

Пусть выполняются следующие условия:

а) функция определена и непрерывна на отрезке ;

б) при изменении tна значения функции не выходят за пределы отрезка . При этом ;

в) Функция на отрезке имеет непрерывную производную .

Тогда имеет место равенство

(6.7.4)

При пользовании формулой (6.7.4) следует функцию стараться выбирать так, чтобы новый интеграл был более простым для вычисления, чем первоначальный.

Пример 6.7.3.Вычислить:

Решение: применим подстановку: . Найдем пределы интегралов для новой переменной при , при .

Следовательно, при применении x от1/3 до 1 новая переменная t изменяется от 3 до 1.

Функция - убывает и непрерывна вместе со своей производной

на отрезке

Пример 6.7.4. Вычислить: .

Решение.

Интегрирование в симметричных пределах четных и нечетных функций

При вычислении определенных интегралов от четных и нечетных функций полезно иметь в виду следующие формулы:

(в предположении, что f(x) – непрерывная на симметричном относительно начала координат отрезке [-a; a] функция).

Пример 6.7.5. Вычислить: .

Решение: подынтегральная функция чётная, поэтому

Интеграл от периодической функции по периоду

Пусть фуккция f(x) – непрерывная, периодическая с периодом Т, т.е. f(x+T)=f(x).

Для такой функции имеет место следующее свойство: интеграл от периодической функции по периоду не зависит от положения интервала интегрирования: , (т.е. на любом промежутке длины Тинтеграл от периодической функции имеет одно и то же значение).Пример Пример 6. Вычислить: .

Решение: подынтегральная функция имеет период T=π, поэтому из верхнего и нижнего периодов можно вычесть 2π , полученный интеграл будет равен данному:

Вычисление площади Фигур

Площадь в прямоугольных декартовых координатах Площадь криволинейной трапеции

При постановке задачи определенного интегрирования мы уже рассмотрели вопрос о вычислении площади криволинейной трапеции, т.е. фигуры, ограниченной прямыми x=a, x=b, y=0 и кривой y=f(x), гдеf(x) - неотрицательная, непрерывная на отрезке [a; b] функция, и установили, что площадь указанной фигуры вычисляется по формуле (рис. 1)

Если криволинейная трапеция ограничена.осью ОХ и другой кривой y= f(x), где f(x) - непрерывная, неотрицательная на данном отрезке функция, то для вычисления площади такой фигуры надо предварительно найти абсциссы точек пересечения кривой с осью OX, затем применить формулу (I) (рис. 2).

Если плоская фигура ограничена и снизу и сверху кривыми, уравнения которых y=f₁(x) и y=f₂(x), где a≤ x≤ b и функции f₁(x), f₂(x) – непрерывны причём f₁(x)≤ f₂(x), искомая площадь будет представлять собой разность площадей криволинейных трапеций aABb и aCDb:

или (рис. 3).

Пусть фигура ограничена сверху или

снизу дугами нескольких кривых. Для

вычисления площади такой фигуры стараются разбить эту фигуру на части прямыми, параллельными оси Оу, так, чтобы каждая часть была ограничена только одной кривой, как сверху, так и снизу.

( для случая, указанного на рис. 4).

Если непрерывная на [a; b] функция f(x) меняет на нем знак так, что некоторые части графика данной функции находятся с одной стороны от оси ОХ, а иные - с другой, то для вычисления площади фигуры поступим следующим образом: в отдельности вычисляют площадь фигуры, расположенной выше оси ОХ, и фигуры ниже оси ОХ.

А затем берут сумму абсолютных величин всех полученных интегралов.

Пример 6.7.6.Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью ОХ и синусоидой при 0≤ х≤ 2π .

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме

Пусть кривая, ограничивающая криволинейную трапецию сверху, задана уравнениями в параметрической форме:

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 789 10 11 12 Следующая ⇒