Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского

Мы видели, что интегрирование некоторых рациональных дробей часто связано с утомительными выкладками.

Метод Остроградского значительно сокращает и упрощает интегрирование этих дробей, что делает этот метод ценным.

В основе указанного метода лежит следующая формула Остроградского:

Где - правильная несократимая рациональная дробь;

- общий наибольший делитель многочлена его производной ;

- частное от деления на ;

- неизвестные многочлены, степень каждого из которых по крайней мере на единицу ниже соответствующего знаменателя; при этом называется рациональной частью интеграла.

Как практически выполняется интегрирование правильных рациональных дробей с помощью метода Остроградского, покажем на примере:

Пример6.6.60. ;

Применяем метод Остроградского. Здесь ;

Поэтому наибольший общий делитель: и есть ;

Тогда ;

Следовательно, согласно формуле Остроградского, мы будем иметь:

где и - многочлены степени не выше второй.

Напишем их с неопределенным коэффициентом

Дифференцируя обе части этого равенства найдем:

;

Освобождаясь от знаменателя, получим тождество:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левых частях этого тождества, получим систему уравнений:

, Решая ее, найдем:

. Следовательно

; ;

и т.д.

Подстановки Эйлера

Интегралы вида

Где - рациональная относительно и функция;

; могут быть вычислены с помощью специальных рационализирующих подстановок, называемых подстановками Эйлера.

Вообще, для вычисления интегралов этого вида существует много различных приемов, например, тригонометрические подстановки и другие, о которых шла речь выше.

Рассмотрим эти подстановки:

1-я подстановка Эйлера.

Так называется подстановка

Она применяется, если

Обе указанные разновидности этой подстановки (со знаком «+» и со знаком «-») однотипны (вопрос о том, какая из них удобнее, решается в каждом отдельном случае по-своему).

Рассмотрим одну из них: ; возводя обе части в получим:

видим, что член уничтожается – в этом “соль” данной подстановки

Тогда ;

т.е. вопрос свелся к интегрированию рациональной функции

Пример6.6.61. .

Где, .

2-я подстановка Эйлера:

;

Она применяется, когда

Пусть

Откуда видно, что рационально выражаются через t и dt.

Пример6.6.62.

где

3 -я подстановка Эйлера:

Пусть , но корни трехчлена действительны (если корни мнимые, то трехчлен при любом значении – при - отрицателен).

Пусть и - корни трехчлена, кроме того, пусть .

Пример6.6.63.

Где,

Определенные интегралы

Понятие определенного интнграла

Пусть на [a; b] задана непрерывная функция у =f(x).

Разобьем отрезок [a; b] на n частичных отрезков с помощью произвольно выбранных на нем точек .

На каждом из отрезков (частичных) возьмем произвольные точки ξ _i (i=1, 2, 3…n). Во взятых точках вычислим значения функции f(x): f(ξ ₁), f(ξ ₂), f(ξ ₃)…, f(ξ _n).

Составим произведения длин ∆ x₁, ∆ x₂, …, ∆ x_n частичных отрезков на значения функции f(ξ _i).

Все эти произведения сложим и выразим сумму их через

(6.7.1)

где σ =f(ξ ₁)∆ х₁+f(ξ ₂) ∆ х₂+f(ξ ₃)∆ х₃+…+ f(ξ _n)∆ х_n; или

Сумму такого вида называют интегральной суммой, составленной для функции f(x)на отрезке [a; b].

Будем неограниченно увеличивать число делений отрезка [a; b]однако так, чтобы длина ∆ x_iкаждого отрезка [x_i_-1; x] стремилась к нулю; и рассмотрим получающееся при этом множество интегральных сумм σ.

Еслипри этом разбиении интегральные суммы будут стремиться к одному и тому же пределу, то этот предел называют определенным интегралом от функции f(x)на отрезке[a; b].

Определение.

Если существует пределсуммы (1) при ∆ х_i→ 0, то говорят, что функция f(x) интегрируема на [a; b], число I называют определенным интегралом от функции f(x) на [a; b]. ,