Теорема об оценке двойного интеграла

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 12Следующая ⇒

Если функция f(x, y) непрерывна в области D и удовлетворяет неравенствам

m£ f(x, y) £ M, (x, y) Î D,

то ,

где m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения

функции f(x, y) в замкнутой области D;

S – площадь области D.

7. Теорема о среднем значении

Разделим все части неравенства

на S;

положим .

Тогда m£ m£ M.

По теореме о промежуточных значениях в области D найдётся такая точка (x, h), что f(x, h) = m:

Последняя формула выражает собой теорему о среднем и показывает, что если функция f(х, у) непрерывна в замкнутой области D площади S, то в этой области найдётся такая точка (x, h), что

. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат

Рассмотрим способ вычисления двойного интеграла путём его приведения к повторному (двукратному) интегралу, т.е. последовательному вычислению двух простых интегралов.

Мы ограничимся не вполне строгим, но зато простым геометрическим выводом, основанным на том, что двойной интеграл представляет объём цилиндричес-кого тела с основанием D, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y).

В разделе " Определённый интеграл " мы уже имеем дело с задачей вычисления объёма тела по его поперечным сечениям.

Рассмотрим цилиндрическое тело, содержащееся между параллельными плоскостями х = а и х = b.

Допустим, что в сечении тела плоскостью, проведённой через точку х = х₀, х₀Î [ a, b], перпендикулярной оси Ох, получается фигура, имеющая площадь S(x₀) ( причём S(x) – непрерывная функция, х Î [ a, b] ).

Тогда, как известно, объём V тела вычисляется по формуле

. (6.7.9.)

Пусть данное тело ограничено сверху поверхностью z = f(x, y) ³ 0, с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, снизу - плоской фигурой D на плоскости Оху ( область D – простая ).

Пусть y₂ = у₂(x) – уравнение ANB;

у₁ = у₁(x) – уравнение AМB.

Криволинейная трапеция MPQN ограничена сверху линией z = f(x₀, y), где уÎ [у₁, y₂]. Как известно, площадь криволинейной трапеции

Поскольку сечение х = х₀ было взято произвольно, то для любой точки хÎ [a, b] будем иметь

, (6.7.10)

где уже пределы интегрирования у₁(х) и у₂(х) – переменные величины; они зависят от х.

Подставляя это значение в формулу ( 6.7.4 ), получим

. (6.7.11)

Выражение, стоящее в правой части формулы (6.7.12), называется повторным (двукратным) интегралом функции f(x, y) по области D.

Но объём цилиндрического тела выражается двойным интегралом:

. (6.7.12)

Сопоставляя равенства (6.7.11) и (6.7.12), получаем формулу

(6.7.13)

приводящую двойной интеграл к повторному, в котором интегрирование 1) сначала выполняется по у при произвольном, но постоянном х – внутреннее интегрирование, 2) а затем полученный результат интегрируется по х – внешнее интегрирование; при этом пределы внутреннего интеграла у₁(х) и у₂(х) – функции от х, а пределы внешнего интеграла - постоянные а и b.

Производя сечение цилиндрического тела плоскостями, параллельными плоскости Oxz, и рассуждая аналогичным образом, мы найдём, что

. (6.7.14)

Здесь интегрирование сначала производится по переменной х при постоянном у, а затем полученный результат интегрируется по у; при этом пределы внутреннего интеграла х₁(у) и х₂(у) – известные функции от у ( мы их находим из уравнений контура ), заданные в промежутке [c, d], а пределы внешнего интеграла – постоянные с и d, являющиеся ординатами крайних ( снизу и сверху соответственно точек контура z ( точек С и F).

Сопоставляя формулы (6.7.13) и (6.7.14), находим

. (6.7.15)

Последнее равенство показывает, что при перемене порядка интегрирования пределы внутреннего и внешнего интеграла изменяются ( в зависимости от формы контура z ).

Значение формул и состоит в том, что они сводят вычисление двойного интеграла по области D к последовательному вычислению двух " обычных " (" однократных" ) определённых интегралов от функции одной переменной ( методы вычисления таких интегралов уже ранее были изучены ).

Какую из этих формул удобнее применить в том или ином случае, устанавливается в зависимости 1) от вида функции f(x, y) или от 2) вида области D.

Были установлены в предположении, что область D простая ( т.е. граница области D пересекается прямыми, параллельными как оси Ох, так и оси Оу, не более чем в 2 точках.)

В ряде случаев область D интегрирования не является простейшей областью, но может быть разбита на несколько простых областей, например, на D_1,D₂, D₃ ( рис.1.7).

В этих случаях, пользуясь свойством 3 двойного интеграла, двойной интеграл по всей области D представится в виде суммы интегралов по этим областям и каждый из них вычисляется путём сведения к повторному интегралу.

Если область интегрирования представляет собой прямоугольник D: а £ х £ b, c£ y£ d ( т.е. со сторонами, параллельными осям координат ), то пределы как внешнего, так и внутреннего интеграла постоянны.

Доказано, для любого значения х, заключённого между а и b, переменная у меняется в пределах от с до d. Обратно, для любого у меняется в пределах между с и d, переменная х меняется в пределах от а и b.

Следует твёрдо помнить, что в случае произвольной области интегрирования постоянны только пределы внешнего интеграла; пределы же внутреннего интеграла переменны ( являются функциями переменной внешнего интеграла ).

Практика показывает, что при вычислении двойных интегралов студент, как правило, испытывает трудности, связанные с расстановкой пределов интегрирования.

Рассмотрим ряд примеров

Пример 6.8.1.

Записать двойной интеграл в виде повторных интегралов двумя способами, если область D ограничена прямой у = х².

Решение

а. Сначала применим формулу (т.е. интегрируем сначала по у, считая х постоянным, а затем по х в пределах от а= 0 до b =1, представляющих собой абсциссы крайних точек контура области ).

Чтобы найти пределы для у, поступают так: возьмём на оси Ох произвольную точку х между 0 и 1 и проведём через неё прямую, параллельную оси Оу, в направлении этой оси.

Точка входа этой прямой в области D лежит на параболе у = х², а точка выхода этой прямой из области D лежит на прямой у= х.

Уравнения этих линий дают нам соответственно нижний и верхний пределы внутреннего интеграла.

Таким образом имеем:

б. Применим теперь к двойному интегралу формулу (9).

В этом случае внутренний интеграл берётся по переменной х, считая у постоянным, а затем по у, уÎ [0, 1] ( где 0 и 1 – наименьшая и наибольшая ординаты крайних этих точек контура области D).

Чтобы установить, каковы будут пределы внутреннего интеграла по х, возьмём произвольную точку у на оси Оу в промежутке [0, 1] и проведём через неё прямую. параллельную оси Ох, в направлении этой оси.

Так как точка входа этой прямой в области D лежит на прямой х = у, а точка выхода её из области D лежит на параболе , то из уравнения этих линий дадут нам нижний и верхний пределы внутреннего интеграла.

Следовательно имеем:

Пример 6.8.2.

Вычислить

Область D: - 1 £ х £ 1, 0 £ у £ 2 ( т.е. задана такими неравенствами)

Пример 6.8.3.

=? Область D: у = х, х = 2, ху = 1.

Решение

При +1 £ х£ 2 у изменяется от у = 1/х до у= х.

Пределы внешнего интеграла по переменной х: это будет абсциссы самых левых и самых правых точек области D.

Чтобы установить пределы внутреннего интеграла по у, возьмём произвольную точку х между 1и 2 на оси Ох и проведём через неё прямую, параллельную оси Оу. Точка входа этой прямой в область D лежит на гиперболе у = 1/х , а точка выхода на прямой у = х . Уравнения этих линий дают нам соответственно нижний и верхний пределы внутреннего интеграла.

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 7 8910 11 12 Следующая ⇒