Закон сохранения электрического заряда.

Стр 1 из 11Следующая ⇒

МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА

Кафедра физики и химии

Пономарева В. А.

Кузьмичева В.А.

К У Р С Л Е К Ц И Й

по общей физике, ч. II

Электричество и магнетизм

Альтаир МГАВТ

Москва 2007.

УДК 530.1

Пономарева Вера Андреевна.

Кузьмичева Виктория Александровна

Курс лекций по общей физике, ч. II (Электричество и магнетизм)

М.: Альтаир МГАВТ 2007. – 83 с.

Курс лекций по общей физике, ч. II (Электричество и магнетизм) представляет собой тексты лекций по электричеству и магнетизму, составленных в соответствии с действующим Государственным общеобразовательным стандартом Министерства образования Российской Федерации.

Основные задачи курса вытекают из требований, предъявляемых к уровню знаний в области физики будущих специалистов водного транспорта, необходимых для успешного изучения технических дисциплин. Курс адаптирован для студентов МГАВТ технических специальностей.

Для студентов МГАВТ инженерно-технических факультетов и специальностей.

Рецензент:

Утверждено на заседании кафедры Физики и химии МГАВТ.

Протокол № 5 от 06.02. 2007 г.

Предисловие

Физика принадлежит к числу фундаментальных наук, составляющих основу теоретической подготовки инженеров. Без ее знания невозможна успешная деятельность инженера в любой области современной техники. Стремительное развитие новых поколений техники в современных условиях требует новых качеств от преподавателей и студентов для ее освоения. Это особенно касается нанотехнологий, энергетических машин, материалов и способов их обработки, новых методов проектирования, освоить которые без знаний основ физики невозможно. Высокие требования к инженерным разработкам подкрепляются жесткой конкуренцией идей и проектов, которые также невозможно грамотно сформулировать без знания физики. Важность изучения физики несомненна.

Функционирование морского и речного транспорта переходит на новый уровень (например, лазерная проводка судов и т.п.) и это требует от студентов МГАВТ глубоких знаний по физике. Предлагаемый курс адаптирован к начальному уровню подготовки студентов МГАВТ и доводит этот уровень подготовки до требований образовательного стандарта.

Программа курса (в 3-х частях) учитывает задачи, которые существуют в инженерном образовании в связи с перестройкой учебного процесса в вузах. Авторы пытаются связать классическую физику с современным состоянием этой науки ( вводят главы о полупроводниковых приборах, лазерных устройствах и т.п.). Это привело к пересмотру последовательности изложения курса.

Каждая часть курса состоит из 16 лекций (согласно часам, отведенным МГАВТ на изучение физики). В курсе отмечаются трудности и ошибки, которые подчас имеют место до сих пор. Отмечены границы применимости физических теорий и законов. При отборе материала использовался многолетний преподавательский опыт авторов по чтению курса общей физики в Уфимском государственном авиационном техническом университете (УГАТУ), Уфимском высшем военном авиационном училище летчиков (УВВАУЛ).

Авторы выражают глубокую благодарность за представленные конспекты некоторых лекций, полезные советы и замечания доц. Катальниковой Ирине Николаевне. Авторы благодарны заведующему кафедрой общей физики УВВАУЛ доц. Татаринову Льву Николаевичу за помощь при подготовке лекций в первом исходном варианте.

Авторы благодарны заведующему кафедрой общей физики и химии МГАВТ Савельеву Виталию Гавриловичу за полезную и стимулирующую поддержку при подготовке курса.

Авторы также искренне благодарны рецензентам, замечания которых способствовали значительному улучшению качества конспектов лекций.

Авторы.

Содержание

Лекция 1
Электростатика.............................................................................................................................. 7

1. Закон сохранения электрического заряда........................................................................... 7

2. Закон Кулона......................................................................................................................... 7

3. Электрическое поле и его напряженность......................................................................... 8

4. Поле диполя......................................................................................................................... 10

Лекция 2....................................................................................................................................... 12

1. Теорема Остроградского – Гаусса..................................................................................... 12

2. Применение теоремы Остроградского - Гаусса к расчету электростатических полей. 13

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.............................................. 13

2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных поверхностей.. 14

3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности......................................... 14

4. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити)................................ 15

Лекция 3....................................................................................................................................... 16

1. Работа по переносу заряда в электростатическом поле. Потенциал поля................... 16

2. Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом........................... 18

3. Вычисление разности потенциалов по напряженности поля........................................ 19

Лекция 4
Электрическое поле в диэлектрике........................................................................................... 21

1. Поляризация диэлектриков................................................................................................ 21

2. Напряженность поля в диэлектрике. Поляризованность............................................... 22

3. Электрическое смещение. Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля в диэлектрике......................................................................................................................... 23

4. Сегнетоэлектрики............................................................................................................... 24

5. Пьезоэлектрики................................................................................................................... 25

Лекция 5....................................................................................................................................... 26

1. Проводник во внешнем электрическом поле................................................................. 26

2. Электроемкость уединенного проводника...................................................................... 26

3. Конденсаторы...................................................................................................................... 27

4. Параллельное соединение конденсаторов....................................................................... 28

5. Последовательное соединение конденсаторов................................................................ 29

Лекция 6
Электрический ток..................................................................................................................... 32

1. Электрический ток. Сила и плотность тока.................................................................... 32

2. Сторонние силы. Электродвижущая сила (эдс) и напряжение...................................... 33

3. Закон Ома. Сопротивление проводников........................................................................ 34

4. Работа и мощность тока. Закон Джоуля- Ленца.............................................................. 36

5. Правила Кирхгофа.............................................................................................................. 37

Лекция 7
Классическая электронная теория проводимости металлов.................................................. 39

1. Природа электропроводности металлов.......................................................................... 39

2. Кристаллическая решетка металлов. Электронный газ.................................................. 39

3. Вывод основных законов электрического тока в классической теории электропроводности металлов................................................................................................................................................ 40

1. Закон Ома......................................................................................................................... 40

2. Закон Джоуля-Ленца....................................................................................................... 41

3. Закон Видемана-Франца................................................................................................ 41

4. Недостатки классической электронной теории проводимости металлов.................... 42

Лекция 8
Магнитное поле.......................................................................................................................... 43

1. Магнитное поле................................................................................................................... 43

2. Закон Био-Савара-Лапласа................................................................................................. 45

3. Закон Ампера....................................................................................................................... 46

4. Единица магнитной индукции.......................................................................................... 47

Лекция 9....................................................................................................................................... 49

1. Магнитное поле движущегося заряда.............................................................................. 49

2. Эффект Холла...................................................................................................................... 50

3. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле................................. 51

1. Явление электромагнитной индукции............................................................................ 52

2. Закон Фарадея...................................................................................................................... 52

3. Самоиндукция. Индуктивность контура.......................................................................... 53

4. Взаимная индукция............................................................................................................. 53

5. Энергия магнитного поля.................................................................................................. 54

6. Циркуляция вектора магнитной индукции..................................................................... 54

7. Магнитное поле соленоида................................................................................................ 55

Лекция 11
Магнитное поле в веществе...................................................................................................... 56

1. Магнитные моменты атомов............................................................................................. 56

2. Диамагнетики...................................................................................................................... 57

3. Парамагнетики.................................................................................................................... 58

4. Ферромагнетизм.................................................................................................................. 58

Лекция 12..................................................................................................................................... 60

1. Свободные гармонические колебания в электрическом колебательном контуре...... 60

2. Переменный ток.................................................................................................................. 61

1. Переменный ток, текущий через резистор сопротивлением R.................................. 62

2. Переменный ток, текущий через катушку индуктивности L
(R = 0, C = 0).................................................................................................................... 62

3. Переменный ток, текущий через емкость (R = 0, L = 0)............................................. 63

4. Цепь переменного тока, содержащая последовательно включенные резистор, катушку индуктивности и конденсатор..................................................................................... 64

5. Резонанс напряжений..................................................................................................... 64

6. Мощность, выделяемая в цепи переменного тока...................................................... 65

Лекция 13
Уравнения Максвелла................................................................................................................. 67

1. Первое уравнение Максвелла............................................................................................ 67

2. Второе уравнение Максвелла............................................................................................ 68

Лекция 14..................................................................................................................................... 70

1. Электромагнитные волны. Скорость их распространения........................................... 70

2. Объемная плотность энергии электромагнитного поля. Перенос энергии электромагнитной волной. Вектор Умова - Пойтинга.................................................................................................. 71

3. Шкала электромагнитных волн......................................................................................... 72

4. Эффект Доплера для упругих и электромагнитных волн.............................................. 72

Лекция 15..................................................................................................................................... 75

1. Работа выхода электронов из металлов............................................................................ 75

2. Контактная разность потенциалов.................................................................................... 75

3. Термоэлектрические явления............................................................................................. 77

4. Элементы зонной теории проводимости. Возникновение энергетических зон.......... 78

5. Металлы, диэлектрики и полупроводники по зонной теории...................................... 79

Лекция 16
Электропроводность полупроводников. Термоэлектрические явления............................... 82

1. Собственная проводимость полупроводников................................................................ 82

2. Примесная проводимость полупроводников.................................................................. 83

3. Полупроводниковый диод. p-n – переход....................................................................... 84

Лекция 1
Электростатика

Закон Кулона.

Сила взаимодействия неподвижных электрических зарядов подчиняется закону, открытому в 1785 году Кулоном.

Сила электростатического взаимодействия двух точечных зарядов, находящихся в вакууме, прямо пропорциональна произведению этих зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль соединяющей их прямой.

Точечным зарядом называется заряд, расположенный на теле, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями до других заряженных тел

где - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц. В системе СИ , = 8, 85 10^-12 Кл²/Нм² - электрическая постоянная, =9 10⁹ Нм² /Кл², - заряды, расстояние между зарядами.

Если заряды взаимодействуют в однородной изотропной среде, то закон Кулона имеет вид

где - безразмерная величина, диэлектрическая проницаемость среды, показывающая во сколько раз сила взаимодействия между зарядами в среде меньше силы взаимодействия в вакууме, . Для вакуума = 1.

Поле диполя.

Применим принцип суперпозиции для расчета поля электрического диполя.

Электрический диполь – система двух равных по модулю разноименных зарядов, расстояние между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля.

Электрический диполь характеризуется дипольным моментом

где - заряд диполя, - плечо диполя – вектор, направленный по оси диполя от отрицательного заряда к положительному,

Вектор совпадает с плечом диполя.

Рассчитаем напряженность поля на продолжении оси диполя в точке А.

Согласно принципу суперпозиции

. Согласно определению диполя

, и

можно пренебречь.

Рассчитаем напряженность поля на перпендикуляре, восстановленном к оси из его середины, в точке В.

Точка В равноудалена от зарядов, поэтому

(1)

Из подобия равнобедренных треугольников, опирающихся на плечо диполя и вектор , получим

Отсюда

. (2)

Подставив (1) в (2), получим

= .

Лекция 2

Лекция 3

Поляризация диэлектриков.

Диэлектриками называются вещества не способные проводить электрический ток. Все молекулы диэлектрика нейтральны. Суммарный заряд электронов и ядер равен нулю. Диэлектрики бывают неполярными, полярными и ионными.

Неполярные диэлектрики состоят из молекул, у которых электроны расположены симметрично относительно ядер, например, H₂, N₂, O₂. Центры тяжести положительных и отрицательных зарядов у них совпадают. В отсутствии внешнего поля дипольный момент таких молекул равен нулю.

	Под действием внешнего электрического поля заряды неполярных молекул смещаются в противоположные стороны – положительные по полю, отрицательные против поля. Возникает индуцированный дипольный момент (рис. 1.).
Рис.1.

Полярные диэлектрики состоят из молекул, у которых электроны расположены несимметрично относительно ядер, например, H₂O, HCl, CO, SO₂, NH₃. Центры тяжести отрицательных и положительных зарядов у полярных молекул смещены. Поэтому полярные молекулы в отсутствие внешнего поля обладают дипольным моментом. Однако при отсутствии внешнего поля дипольные моменты полярных молекул из-за теплового движения ориентированы в пространстве хаотично и их результирующий момент равен нулю. Если такой диэлектрик поместить во внешнее поле, то силы поля будут стремиться повернуть диполи вдоль поля и возникает отличный от нуля результирующий момент.

Ионные молекулы состоят из молекул, соединенных ионной связью (NaCl, KCl, KBr). Ионные кристаллы представляют собой пространственные решетки с правильным чередованием ионов разных знаков. При наложении на ионный кристалл поля происходит деформация кристаллической решетки, приводящая к возникновению дипольных моментов.

Таким образом, внесение всех трех групп диэлектриков во внешнее электрическое поле приводит к возникновению отличного от нуля результирующего электрического момента диэлектрика. Диэлектрик поляризуется.

Поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации диполей или появление под действием поля ориентированных диполей. Различают три вида поляризации:

1). Электронная или деформационная поляризация диэлектрика с неполярными молекулами. Под действием поля возникает индуцированный дипольный момент за счет деформации электронных орбит.

2). Ориентационная или дипольная поляризация диэлектрика с полярными молекулами.

	Она заключается в ориентации дипольных моментов молекул по полю (рис.2). В электрическом поле на диполь действует пара сил, стремящихся повернуть его по направлению поля.
Рис.2.

3). Ионная поляризация диэлектриков с ионными кристаллическими решетками, заключающаяся в смещении подрешетки положительных ионов по полю, а отрицательных против поля, приводящим к появлению дипольных моментов.

Сегнетоэлектрики.

Существует группа кристаллических веществ, которые могут обладать спонтанной (самопроизвольной) поляризованностью в отсутствии внешнего поля. Это явление было открыто первоначально для сегнетовой соли. Все вещества обладающие подобными свойствами получили название сегнетоэлектриков. Диэлектрическая проницаемость у них достигает порядка нескольких тысяч ( 10 ⁴).

В отсутствии внешнего электрического поля весь объем сегнетоэлектрика самопроизвольно разбит на небольшие области, которые поляризованы до насыщения и называются доменами. Для сегнетоэлектриков характерно явление диэлектрического гистерезиса (запаздывания).

Рис.4. Доменная структура.

Оно состоит в различии значений поляризованности образца при одной и той же напряженности электрического поля в зависимости от значения предварительной поляризованности этого образца.

С увеличением напряженности

, поляризованность образца увеличивается до насыщения

, при дальнейшем уменьшении

до нуля поляризованность уменьшается до значения

-называемого остаточной поляризованностью. Поляризация образца исчезает полностью лишь под действием электрического поля противоположного направления

. Величина

.называется коэрцетивной силой.

Рис. 5. Петля гистерезиса.

Для каждого сегнетоэлектрика существует температура при которой они превращаются в обычные диэлектрики ( то есть исчезает доменная структура). Эта температура называется точкой Кюри. Для сегнетовой соли существуют две точки Кюри -15 С и +22, 5 С, причем она ведет себя как сегнетоэлектрик в этом интервале температур, вне интервала – как обычный диэлектрик.

Пьезоэлектрики.

Пьезоэлектрики – кристаллические вещества, в которых при сжатии или растяжении в определенных направлениях возникает электрическая поляризация даже в отсутствии электрического поля (прямой пьезоэффект).

Следствием прямого пьезоэффекта является обратный пьезоэффект – появление механической деформации под действием электрического поля. Первое исследование пьезоэффектов было проведено братьями Кюри на кристалле кварца. Затем подобные свойства были обнаружены у 1500 веществ (турмалин, сегнетова соль, сахар, титанат бария и др.).

Применяются пьезоэлектрики в кварцевых взрывателях, часах, микрофонах, датчиках давления, в головке проигрывателя и др.

Лекция 5

Конденсаторы.

Уединенные проводники обладают небольшой емкостью. На практике бывает потребность в устройствах, которые бы при небольших потенциалах накапливали бы на себе (конденсировали) заметные по величине заряды.

Эти устройства получили название конденсаторов.

В основу таких устройств положен тот факт, что электроемкость проводника возрастает при приближении к нему других тел. Это вызвано тем, что под действием поля, создаваемого проводником, на поднесенном к нему теле возникают индуцированные заряды противоположного знака. Эти заряды ослабляют поле, создаваемое проводником и его потенциал понижается, что приводит к повышению его электроемкости, так как . Конденсаторы делают в виде двух проводников, помещенных близко друг к другу. Образующие конденсатор проводники называют его обкладками. Чтобы внешние тела не оказывали влияния на емкость конденсатора, обкладкам придают такую форму и так располагают друг к другу, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми на них зарядами, было сосредоточено внутри конденсатора. Этому условию удовлетворяют две пластинки, расположенные близко друг к другу, два коаксиальных цилиндра и две концентрические сферы. Так как поле сосредоточено внутри конденсатора, то линии напряженности начинаются на одной обкладке и кончаются на другой. Заряды на обкладках равны по модулю, но противоположны по знаку.

Емкостью конденсатора называется величина численно равная отношению заряда, накопленного на конденсаторе, к разности потенциалов между его обкладками,

Рассчитаем емкость конденсатора, состоящего из двух пластин площадью , расположенных на расстоянии друг от друга и несущие заряды и . При расстоянии между пластинками намного меньше их размеров, поле между пластинками можно считать однородным

Напряженность поля между пластинками

- плотность заряда, ,

Емкость прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего пространство между обкладками. Поэтому применение сегнетоэлектриков в качестве диэлектрика значительно увеличивает емкость конденсаторов. Конденсаторы характеризуются пробивным напряжением -разностью потенциалов, при которой происходит пробой – электрический разряд через слой диэлектрика. Для варьирования значениями емкости конденсаторы соединяют в батареи. При этом используется параллельное и последовательное соединение конденсаторов.

Правила Кирхгофа.

Для решения практических задач на расчет электрических цепей пользуются правилами (законами) Кирхгофа.

Первое правило: Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю .

Это следствие закона сохранения заряда. Ток к узлу считается положительным. Узел – точка, где сходится не менее трех проводников.

Второе правило: В замкнутом контуре алгебраическая сумма произведений силы тока на сопротивление соответствующего участка равна алгебраической сумме эдс,

. (8)

При этом ток и эдс считаются положительными, если их направление совпадает с направлением выбранного обхода контура. Для примера составим уравнение Кирхгофа для цепи, изображенной на рис.7.

	Для узла В: Для контура : . Для контура :
Рис. 7.

Лекция 7
Классическая электронная теория проводимости металлов.

Закон Ома.

Пусть в металлическом проводнике существует электрическое поле напряженностью . Со стороны поля на заряд электрона действует сила . Заряд приобретает ускорение . Таким образом, во время свободного пробега электроны движутся равноускоренно и приобретают скорость

- среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки.

Согласно теории Друде в конце свободного пробега электрон, сталкиваясь с ионами решетки, отдает им накопленную в поле энергию, поэтому скорость упорядоченного движения становится равной нулю. Средняя скорость электрона будет

Среднее время свободного пробега определяется средней длиной свободного пробега и средней скоростью движения электронов относительно решетки проводника, равной , но . Поэтому и тогда

- закон Ома в дифференциальной форме. Коэффициент пропорциональности

- удельная проводимость металла.

Закон Джоуля-Ленца.

К концу пробега электрон под действием поля приобретает дополнительную кинетическую энергию

При соударении электрона с ионом эта энергия передается решетке и идет на увеличение внутренней энергии металла, то есть на его нагревание За единицу времени электрон испытывает с узлами решетки столкновений, . Если - концентрация электронов, то за единицу времени будет столкновений и решетке передается энергия , которая идет на нагревание проводника.

- энергия, передаваемая решетке в единице объема за единицу времени, то есть удельная тепловая мощность тока.

Коэффициент пропорциональности между и есть удельная проводимость . Следовательно, мы получили закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Закон Видемана-Франца.

Металлы обладают как большой электропроводностью, так и теплопроводностью. Так как носители тока и теплоты одни и те же частицы – электроны. Перемещаясь они переносят не только заряд, но и присущую им энергию хаотического движения, то есть осуществляют перенос теплоты.

Видеман и Франц в 1853 году экспериментально установили закон, согласно которому отношение теплопроводности к удельной проводимости для всех металлов при одной и той же температуре одинаково и увеличиваются пропорционально термодинамической температуре,

- постоянная, не зависящая от рода металла.

Магнитное поле.

Опыт показывает, что подобно тому как в пространстве, окружающем электрический заряд, возникает электростатическое поле, в пространстве, окружающем токи и постоянные магниты, возникает силовое поле называемое магнитным. Наличие поля обнаруживается по его силовому действию на движущиеся заряды, проводники с током и постоянные магниты.

Все постоянные магниты: полосовые, подковообразные и магнитные стрелки обладают двумя разноименными полюсами – северным и южным. Одноименные полюса отталкиваются, разноименные притягиваются. Постоянные магниты оказывают ориентирующее действие на магнитную стрелку, которая может вращаться вокруг своего центра тяжести.

Исследование поведения магнитных стрелок в различных точках земного шара привели к выводу о существовании магнитного поля Земли. Магнитные полюса Земли не совпадают с ее географическими полюсами. Вблизи северного географического полюса находится южный магнитный полюс, причем угол между осью вращения Земли и линией, соединяющей магнитные полюсы, составляет 11, 5 градусов.

Опыты показали, что постоянное магнитное поле не действует на неподвижные электрические заряды. В свою очередь неподвижные электрические заряды не действуют на магнитную стрелку, то есть не создают магнитное поле.

Начало исследований электромагнитных явлений было положено опытом Эрстеда в 1812году. По проводу любой формы пропускался ток. При прохождении тока по проводнику вокруг него возникает магнитное поле. Ток это направленное движение электрических зарядов. Вокруг любого движущегося заряда должно существовать магнитное поле.

Опыты показали, что вокруг любого движущегося заряда помимо электрического поля возникает магнитное поле. Электрическое поле действует как на неподвижные так и на движущиеся заряды. Важнейшая особенность магнитного поля состоит в том, что оно действует только на движущиеся в этом поле электрические заряды.

	Подобно тому, как для исследования электрического поля мы использовали пробный точечный заряд, для исследования магнитного поля используется пробный контур с током, циркулирующем в плоском контуре малых размеров.
Рис. 1.

Ориентация контура в пространстве характеризуется направлением нормальным к контуру. За положительное направление нормали принимается направление, связанное с током, правилом правого винта (буравчика).

При внесении контура в магнитное поле оно оказывает на него ориентирующее действие. Направление положительной нормали контура в магнитном поле принимается за направление поля в данной точке.

Если контур повернуть так, что направление нормали и поля не совпадают, возникает вращательный момент, стремящийся вернуть контур в равновесное положение. Величина этого момента зависит от угла между нормалью и направлением поля, достигая наибольшей величины при , при .

Вращающий момент зависит как от свойств поля, так и от свойств контура

где - вектор магнитной индукции, являющийся силовой характеристикой магнитного поля, - магнитный момент контура. Для плоского контура с током

- площадь поверхности контура, - единичный вектор нормали к поверхности контура. Направление совпадает с положительной нормалью к контуру.

На пробные контуры с разным действуют в данной точке поля разные по величине вращательные моменты поля, однако отношение будет для всех контуров одинаковым, и может служить характеристикой магнитного поля. Оно называется магнитной индукцией

Магнитная индукция в данной точке однородного поля определяется максимальным вращающим моментом, действующим на контур с магнитным моментом равным единице.

Графически магнитные поля изображают с помощью силовых линий, или линий магнитной индукции (рис.2-5).

Силовыми линиями магнитного поля называются такие линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора магнитной индукции в этой точке поля.

Направление силовых линий определяется по правилу буравчика.


Рис.2.	Рис.3.

Силовые линии магнитного поля замкнуты. Они не начинаются и не кончаются. Линии электростатического поля разомкнуты. Они начинаются на положительных зарядах


Рис.4.	Рис.5.

и кончаются на отрицательных.

Поле, обладающее замкнутыми силовыми линиями, называется вихревым.

Закон Био-Савара-Лапласа.

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒