Идентификация случайных закономерностей.

Цель работы:

Методические указания

В инженерной практике необходимо исследовать не только детерминированные, но и стохастические процессы. Практически все процессы в технологических и технических объектах выполняются в непрерывно меняющихся непредвиденным образом условиях. В связи с этим приходится анализировать случайные величины в этих объектах.

Под случайной величиной понимают величину, принимающую в результате испытания значение, которое принципиально нельзя предсказать исходя из условий опыта. Случайная величина обладает целым набором допустимых значений, но в результате каждого отдельного опыта принимает лишь какое-то одно из них. Она может принимать различные значения даже при неизменном комплексе основных факторов.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Возможные значения дискретных случайных величин можно заранее перечислить. Значения непрерывной случайной величины не могут быть заранее перечислены, они непрерывно заполняют некоторый промежуток. Чтобы полностью охарактеризовать случайную величину, необходимо не только указывать, какие значения она может принимать но и как часто.

Законы распределения случайной величины. При решении многих прикладных задач необходимые вероятностные характеристики соответствующих случайных величин неизвестны исследователю и должны определяться по экспериментальным данным. Такое статистическое описание результатов наблюдений, построение и проверка различных математических моделей, использующих понятие вероятности, составляет основное содержание математической статистики.

Фундаментальными понятиями статистической теории являются понятия вероятности и распределения вероятности случайной величины.

Пусть дискретная случайная величина может принимать в результате опыта значения . Отношение числа опытов , в результате которых случайная величина приняла значение , к общему числу производимых опытов называется частотой проявления события (частотное определение вероятности). Частота сама является случайной величиной и меняется в зависимости от количества произведенных опытов. Но при большом числе опытов она имеет тенденцию стабилизироваться около некоторого значения , называемого вероятностью события (статистическое определение вероятности):

(7.1)

Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице

так как тот факт, что случайная величина примет в результате опыта одно из своих значений, есть достоверное событие. Эта суммарная вероятность распределена определенным образом между отдельными значениями.

Дискретную случайную величину можно полностью задать вероятностным рядом, указав вероятность для каждого значения :

				...
				...

Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения. Вероятностный ряд является одним из видов законов распределения случайной величины.

Распределение непрерывной случайной величины нельзя задавать при помощи вероятностей отдельных значений. Число значений так велико, что для большинства из них вероятность принять эти значения равна нулю, т.е. событие может произойти, а вероятность его равна нулю. Для непрерывных случайных величин изучается вероятность того, что в результате опыта значение случайной величины попадет в некоторую заданную область.

Аналитическими выражениями законов распределения случайной величины являются функции распределения вероятностей - интегральная и дифференциальная.

Интегральная функция распределения случайной величины показывает вероятность того, что случайная величина не превышает некоторого заданного или текущего значения , т.е.

(7.2)

Следовательно, вероятность того, что значение случайной величины заключено между и , равна разности значений функции распределения, вычисленных в двух этих точках:

. (7.3)

Аналогично,

. (7.4)

Интегральная функция распределения случайной величины обладает следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3) для всех ;

4) если .

В виде функции распределения можно задать распределение как непрерывной, так и дискретной случайной величины. Как видно из определения, есть неубывающая функция . Ордината кривой , соответствующая точке , представляет собой вероятность того, что случайная величина при испытании окажется меньше .

Интегральная функция распределения дискретной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков равна единице.

Возможные виды интегральных функций распределения изображены на рисунке 7.1 для непрерывной (а) и дискретной (б) случайной величины:

Рисунок 7.1 - Виды интегральных функций распределения

Если функция дифференцируема для всех значений случайной величины , то закон распределения вероятностей может быть выражен в аналитической форме также с помощью дифференциальной функции распределения вероятностей:

(7.5)

Таким образом, значение функции приближено равно отношению вероятности попадания случайной величины в интервал к длине этого интервала, когда - бесконечно малая величина. Поэтому функцию называют также функцией плотности распределения вероятностей (или короче - функцией плотности вероятности).

Отметим основные свойства функции :

1) ;

2) ;

3) ;

(- переменная интегрирования).

С помощью дифференциальной функции распределения вычисляется вероятность нахождения случайной величины в любой области из множества ее возможных значений. Например,

; (7.6)

; (7.7)

. (7.8)

Для непрерывной случайной величины вероятность можно определить как относительную долю площади под кривой плотности распределения вероятностей . Так, например, вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее , равна относительной доле площади под кривой слева от точки (рисунок 7.2, а); вероятность того, что эта величина примет значение, большее , равна относительной доле площади под кривой справа от точки (рисунок 7.2, б); вероятность того что она примет значение, заключенное между значениями и равна относительной доле площади под кривой между точками и (рисунок 7.2, в).

Рисунок 7.2 – Непрерывная случайная величина

Задание к работе

Порядок выполнения работы:

1. Изучение теоретических сведений по теме лабораторной работы

2. По индивидуальному заданию написать программу по следующему алгоритму:

a) Ввод параметров k (общее число процессов в системе) и N (число повторений имитационного просчета), а также параметров законов распределения и параметров системы. TM – период планирования, Q – число единиц – заявок

b) Время прихода первой заявки считается равным 0, генерируется время обработки этой заявки в каждом процессе

c) Просчитывается время пребывания заявки в каждом процессе

d) Проверяется, не превышается ли системное время период планирования.

e) Генерируется время прихода в систему заявки и время обработки ее в каждом процессе

f) Увеличивается на единицу количество поступивших в систему заявок

g) Находится разность между окончанием обработки заявки в j-м процессе и временем поступления заявки

h) В зависимости от знака разности определяется время ожидания заявки в очереди и время простоя j-го процесса

i) Пересчитывается время пребывания очередной заявки в j-м процессе

j) Определяется время окончания обработки предыдущей заявки в j+1- м процессе и время прихода последующей заявки в этот процесс

k) Подсчитывается системное время

l) Вывод результатов

Задание:

3. Оформление отчета по лабораторной работе, который должен содержать:

Название, цель работы

Описание варианта индивидуального задания

Листинг программы с полученными результатами

Результаты оформить в виде гистограмм

Ответы на контрольные вопросы

4. Защита лабораторной работы

Контрольные вопросы

1. Какие переменные используются в k-этапной модели?

2. Как считается полное время нахождения заявки в k-этапной системе?

3. Какие различия между k-этапной моделью и многоканальной?

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 67