ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ объектов

МЕТОДАМИ стохастической аппроксимации

Регрессионные модели

В различных исследованиях как лабораторного, так и производственного характера часто приходится изучать связи между различными процессами. Если какая-либо величина y однозначно связана с величиной x, то такая связь y = f(x) называется функциональной. На практике между двумя случайными величинами может существовать стохастическая связь, проявляющаяся в изменении законов распределения этих величин. Обнаруживается эта связь лишь на основе многочисленных измерений и соответствующей статистической обработки экспериментальных данных.

Для установления аналитической зависимости при стохастической связи процессов, т.е. для идентификации модели, используется регрессионный анализ. Различают положительную (линейную и нелинейную) и отрицательную (линейную и нелинейную) регрессии. Функция регрессии определяется в виде математического уравнения того или иного типа. С помощью функции регрессии можно установить значение зависимой переменной внутри интервала заданных значений независимой переменной (задача интерполяции) или оценить течение процесса вне заданного интервала (задача экстраполяции). Внедрение в практику ЭВМ и создание стандартных программ регрессионного анализа значительно ускоряет и облегчает обработку обширного статистического материала и предоставляет возможность построения многофакторных моделей.

Линейная регрессия. Под этой зависимостью понимают одностороннюю стохастическую связь вида

, (24)

причем имеется n наблюдений . Неизвестные параметры регрессии и вычисляются с помощью МНК по уравнениям:

. (25)

В соответствии с правилом Крамера

(26)

Практическое значение имеет коэффициент b₁, называемый коэффициентом регрессии.

Помимо простой линейной регрессии вида (24) возможна линейная множественная регрессия

, (27)

когда переменные x_i (i = l, …, m) оказывают совместное влияние на зависимую переменную y. Расчет коэффициентов b_i в уравнении (27) ведется по формулам, имеющимся в специальной литературе по анализу многофакторных процессов [18].

Примером линейной регрессии является зависимость размеров последовательно обработанных деталей, например, при токарной обработке, от времени при существенном влиянии износа инструмента (в период нормального износа) при минимальном воздействии тепловых и других процессов.

Нелинейная регрессия. Под этой зависимостью понимают более сложную одностороннюю стохастическую зависимость в виде полиномиальной модели:

, (28)

или гиперболической модели:

. (29)

Применяются также степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции, полиномы Чебышева, Лагерра, Якоби, Лежандра, Эрмита и др. Подбор конкретной функции осуществляется на теоретической базе той науки, в рамках которой изучается данный процесс. Различают два класса нелинейной регрессии. Первый класс охватывает регрессии, нелинейные относительно переменных x, но линейные относительно параметров b. Для этого класса непосредственно применим МНК. Второй класс охватывает регрессии, нелинейные и по параметрам b, что требует для их определения не МНК, а итерационных методов.

Достаточно часто в различных технических исследованиях встречается параболическая регрессия 2-го порядка:

. (30)

Для нахождения коэффициентов b составляются три уравнения:

(31)

В специальной литературе есть формулы для вычисления коэффициентов b_i.

Примером нелинейной регрессии является зависимость размеров последовательно обработанных деталей от времени при существенном влиянии тепловых деформаций станка и при незначительном воздействии износа инструмента и других процессов.

после вычисления коэффициентов b_i всегда осуществляется проверка их значимости по специальной методике, незначимые коэффициенты обнуляются, т.е. исходная модель упрощается.

Временные ряды. При изучении развития процессов в технических системах, экономике, биологии важную роль играет последовательность возникновения значений характерных признаков. По результатам наблюдений строятся хронологические ряды, называемые также временными рядами или рядами динамики. Для таких рядов разработаны специальные методы статистической обработки – авторегрессионные, т.к. значения членов временного ряда (ВР) взаимосвязаны. Идентификация моделей таких ВР осуществляется итерационными методами, причем модели бывают трех видов [3]:

1) авторегрессионные (АР-модели);

2) авторегрессионные со скользящим средним (АРСС-модели);

3) авторегрессионные с проинтегрированным скользящим средним (АРПСС-модели).

По указанным моделям осуществляют с достаточной степенью точности прогнозирование развития процессов.

Примером ВР служит точностная диаграмма из размеров последовательно обработанных деталей, причем в зависимости от режима и условий обработки модель может иметь различный порядок.

Характерной особенностью АР-моделей является то, что чем выше порядок модели, тем большее число членов ВР необходимо учитывать при прогнозировании и тем более сложной является вид математической зависимости.

Методы идентификации моделей ВР в последнее время интенсивно развиваются и находят широкое практическое приложение в связи с интенсивным использованием возможностей ЭВМ.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒