ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ КРОВИ В КРОВЕНОСНЫХ СОСУДАХ

Стр 1 из 7Следующая ⇒

ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ КРОВИ В КРОВЕНОСНЫХ СОСУДАХ

БАКАЛАВРСКАЯРАБОТА

Направление: 03.03.02 Физика

Профиль: медицинская физика

Выполнила: студентка 4 курса

группы Ф-12-1ФТИ СВФУ

Ефимова Мария Николаевна

Руководитель: к.ф-м.н., доцент

Габышев Н.Н.

__________________________

(подпись)

Якутск – 2016 г.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………........ 1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ФИЗИОЛОГИИКРОВООБРАЩЕНИЯ ЧЕЛОВЕКА ………………………………………………………………...... 1.1. Общее строение сердечно-сосудистой системы (ССС).……………… 1.2. Строение и функционирование сердца …………………………….…... 1.3. Сердечный цикл (полная последовательность сокращения и расслабления) …………………………………………………..…………. 1.4. Электрическая активность сердца ………………………………………. 1.5. Основы строения сосудистой сети …………………………………….. 2. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЕРДЕЧНО-СОСУДИСТОЙ СИСТЕМЫ (ССС)…….………………..... 2.1 Основы механики жидкостей …………………………………………… 2.2 Уравнение гидродинамики ………………………………………………. 2.3. Закон гидравлики ………………………………………………………. 2.4. Механические свойства стенок кровеносных сосудов ………………… 2.5. Упругие и сократительные свойства сердечной мышцы ……………… 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМЕ КРОВООБРАЩЕНИЯ………………………………………. 3.1. Упрощенная модель однокамерного сердца …………………………… 3.2. Упрощенная модель артериального кровотока ………………………… 3.3. Модель работы четырехкамерного сердца …………………………..… 3.4. Квазиодномерная модель гемодинамики ………………………………. 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ КРОВИ В СИСТЕМЕ СОСУДОВ С УПРУГИМИ СТЕНКАМИ….……………….. 4.1 Материалы и методы …………………………………………………….. ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………… ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………………...

ВВЕДЕНИЕ

В данной выпускной квалификационнойработе изложены сущность движения крови по сосудам человека, основные понятия о гемодинамике и рассмотрены математические модели движения крови в системе сосудов с упругими стенками.

Целью данной работы является рассмотрение физико-медицинской связи динамики движения крови в кровеносных сосудах человека с точки зрения физики с использованием математической модели движения крови в системе сосудов с упругими стенками, которая позволит упростить принятие решений при точной диагностике заболеваний кровеносных сосудов.

Нередко для восстановления кровообращения в пораженных сосудах помимо медикаментозного лечения проводятся реконструктивные операции, и часто невозможно объективно оценить, какой тип оперативного вмешательства будет оптимальным для конкретного пациента, а также насколько близок будет кровоток в сосуде к нормальному после операции. Основная проблема при выполнении таких расчетов состоит в определении механических свойств стенок сосудов, параметров кровотока и других параметров с точки зрения физики.

Еще одной важной проблемой при прогнозировании результатов лечения является скорость расчетов: как правило, большинство современных математических моделей требуют численного решения, причем во многих случаях вычисления получаются затратными по времени и требуют довольно мощные компьютеры. При этом снижение времени расчетов путем упрощений может привести к неточности полученных результатов, что, безусловно, недопустимо.

Часто для численных расчетов применяют метод конечных элементов. Однако решение задач гемодинамики с помощью МКЭ требует больших затрат по времени.

Таким образом, актуальной является задача понимания с точки зрения физических представлений проблем гемодинамики, которая бы достаточно полно описывала движение крови в кровеносных сосудах, учитывая взаимодействие жидкости со стенкой, и являлась легко адаптируемой под конкретного пациента.

Применение математических методов в биологии, физиологии и медицине исторически началось несколько позднее, чем в физике, химии и других естественных науках, хотя основные закономерности теории упругости, гидравлики, гидродинамики, мышечного сокращения были установлены еще в 19-м веке (Гук, Пуазейль, Стокс, Франк и многие другие). С другой стороны, многие математические понятия и вычислительные алгоритмы возникли непосредственно под влиянием медико-биологических проблем, например, теория вероятностей и математическая статистика, уравнения Вольтерра, теория игр, теория оптимального управления, распознавание образов и др.

В 20-м веке использование математики в медицине неуклонно расширялось, особенно с момента появления компьютеров и математического (компьютерного) моделирования. Это привело к расширению взаимно полезного общения математиков и медиков. Одна из первых совместных групп появилась в Институте прикладной математики под руководством академика И.М. Гельфанда и профессора А.Л. Сыркина, опубликовавших пионерские работы в нашей стране. Большой вклад внесли группы академиков О.М. Белоцерковского и Ю.И. Журавлева, группы исследователей в Институте математического моделирования и на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Имеются многочисленныетрудыпосвященные соединению математических подходов и практического опыта врачей.

Многие современные книги по физиологии и медицине (например, монографии Е.И. Чазова, К. Каро, Д. Мормана и Л. Хеллера включают серьезный математический аппарат.

Однако пока ощущается недостаток в литературе, излагающей биомедицинские проблемы в данной области.

В настоящей работе делается попытка исследования динамики движения крови с учетомоснов функционирования сердечно-сосудистой системы и ее частей, регистрации ее параметровс точки зрения математического анализа и моделирования. При этом основной упор делается на формулировку тех медико-биологических задач, которые поддаются адекватному математическому описанию и могут быть решены точными или приближенными аналитическими методами.

Объектом исследования в данной работе является математическая модель движения крови в системе сосудов человека с упругими стенками.

Задачей настоящей работы является упрощение расчетов математической модели движения крови в системе сосудов путем применения программного пакетаMathcad, всредекоторой, задачи выполнения, документирования и совместного использования расчетов интегрированы в единый процесс, что существенно повышает производительность работы и сокращает время расчетов.

Список литературы содержит 30 наименований различных авторов по направлению математических моделей биомеханики в медицине.

Основной упор делался на учебное пособие под редакцией Калябина Г.А. и автореферата диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Доль А.В.

Результаты исследования могут быть использованы для проведения дальнейших исследований в данной области.

Структура работы: выпускная квалификационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы.

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ФИЗИОЛОГИИ КРОВООБРАЩЕНИЯ ЧЕЛОВЕКА

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЕРДЕЧНО-СОСУДИСТОЙ СИСТЕМЫ (ССС)

Основы механики жидкостей

Равнодействующая всех сил, действующих на произвольно выбранную в некотором плоскую малую площадку, в первом приближении пропорциональна площади S площадки. Предел отношения к S при S®0 называется напряжением . Вектор имеет нормальную (перпендикулярную) и касательную (вдоль площадки) составляющие, именующиеся соответственно давлением p и вязким напряжением ..

Рисунок 2.1. Силы и напряжения в движущейся жидкости

В покоящейся жидкости (гидростатика, рис. 2.1) касательные напряжения отсутствуют, а разность давлений в любых двух точках А и В равна работе (отнесенной к единице объема) по перемещению элементарного объема из А в В. В частности, в гравитационном поле, создаваемом земным тяготением

= = (1)

где - плотность жидкости (плотность крови можно считать постоянной и равной в системе СИ (м·кг·сек) крови = 1060 кг/м3 ), , - вектор и абсолютное значение ускорения свободного падения ( = 9.81 м/сек² ), h_A, h_B высоты точек А и В, отсчитываемые по вертикали вниз от одного и того же горизонтального уровня.

Рисунок 2.2. Гидростатические силы

Касательное напряжение (рис. 2.3) в ньютоновской жидкости пропорционально градиенту касательной составляющей скорости

= (2)

где U (z) - касательная компонента вектора скорости, ось z направлена перпендикулярно площадке, а параметры µ, n: = µ/r, которые характеризуют вязкие свойства конкретной жидкости, называются соответственно физической вязкостью (или просто вязкостью) и кинематической вязкостью.

Рисунок 2.3. Касательные силы в движущейся жидкости

Единицей вязкости µ в СИ служит 1 кг/м·сек, которая в 10 раз больше употреблявшейся ранее единицы вязкости в системе СГС (см·г·сек), называвшейся пуаз. Экспериментально установлено, что чистая вода ведет себя как ньютоновская жидкость с вязкостью, составляющая при 20°C примерно 1 сантипуаз, т.е. 10^-3 единиц СИ. Соответственно, кинематическая вязкость воды n_воды = 10^-6 м² /сек = 10^-2 см² /сек = 10-² cтокс (ст.).

Кровь можно рассмотреть как суспензию (взвесь эритроцитов в плазме), вязкость которой при больших и средних значениях скорости сдвига в 4 – 7 раз больше вязкости воды. При малой скорости вязкость крови резко возрастает (до 1 пуаза, т.е. примерно в 200 раз), что связано с агрегированием красных кровяных телец в так называемые монетные столбики, которые существенно повышают сопротивление протеканию крови. Поэтому постоянство вязкости крови (ньютоновость) имеет место только в крупных и средних сосудах, но никак не в артериолах и капиллярах.(рис. 2.4).

Рисунок 2.4. Зависимость вязкости крови от скорости сдвига и гематокрита (процентного содержания эритроцитов)

Уравнение гидродинамики

В крупных кровеносных сосудах, диаметр которых значительно больше размеров эритроцитов, течение кровиможет быть описано классическим векторным уравнением Навье – Стокса, первое из которых есть уравнение неразрывности несжимаемой жидкости, а второе является законом Ньютона для элементарного объема жидкости

div , (3)

= - grad p + µ∆ , (4)

где - вектор скорости, ∇: = (∂ /∂ x, ∂ /∂ y, ∂ /∂ z) символический операторГамильтона, p - давление, и µ – плотность и вязкость жидкости, ∆: = ∂ ² /∂ x² + ∂ ² /∂ y ² + ∂ ² /∂ z ² – оператор Лапласа.

В случае стационарных, т.е. не зависящих от времени, течений из уравнений (3), (4) следуют соотношения между сечениями тонких трубок S, скоростями U вдоль линий тока, давлениями p, высотами h:

U₁S₁ = U₂S₂; P₁ + + = P₂ + + , (5)

выражающие физические законы сохранения массы и механической энергии в отсутствие трения, т.е. при µ = 0 (закон Бернулли). Эти зависимости иллюстрируют рис 2.5 и 2.6.

Рисунок 2.5. Изменение скорости течения в участках трубки с разным поперечным сечением

Рисунок 2.6. Закон Бернулли для трубки тока

Заметим, что скорость крови на стенках является неизвестной величиной, которое зависит от движения самой стенки. Поэтому сложные уравнения Навье – Стокса редко используются при исследовании течения крови в сосудах, поскольку во многих случаях необходимо учитывать упругость стенок и их смещение.

Важнейшим и практически единственным случаем, когда уравнения (3)-(4) допускают аналитическое и точное решение, является так называемое течение Пуазейля в длинном жестком прямом (неизогнутом) цилиндрическом сосуде постоянного радиуса r, вектор скорости которого не меняется со временем (установившийся режим). Если направить ось x по оси цилиндра, а y, z – перпендикулярно ей, то решение системы Навье – Стокса представляет собой набор функций

= - ; V_x= V(1 - ), V_y= 0, V_z= 0; (6)

где V = const - скорoсть на оси цилиндра (= максимум скорости в сосуде). Данное решение удовлетворяет условию прилипания на стенке цилиндра: |_y²_+z²_=r² = . Интегрирование V_x (y, z) по поперечному сечению сосуда y ² + z ² ≤ r² приводит к формуле Пуазейля для суммарного объема, который протекает через сечение трубки в единицу времени (кровотока)

Q = = - (7)

Знак " -" указывает на тот естественный факт, что перенос вещества происходит в сторону уменьшения (а не увеличения) давления.

Введем теперь очень важный в гидродинамике безразмерный параметр – число Рейнольдса, показывающее отношение инерционных сил к вязким, и равное

Re = V · r/v

Эксперименты показывают, что при Re< 1700 течение Пуазейля, описываемое соотношениями (6), является ламинарным (плавным, устойчивым) и происходит без завихрений, наоборот, при Re> 1700 наблюдаются хаотические завихрения и движение жидкости становится турбулентным.

Рисунок 2.8. Ламинарное и турбулентное течение

Из рисунка 2.8 видно, что первоначально ламинарный пуазейлевский (параболический) профиль скорости при достаточно быстром уменьшении радиуса (что в силу неразрывности приводит к квадратичному увеличению скорости и к возрастанию числа Рейнольдса) переходит в неупорядоченный турбулентный режим с компонентами скорости, перпендикулярными оси потока, что резко увеличивает градиент давления.

Выбирая типичные для средних сосудов значения V = 0.1 м/сек., r = 10^-3 м и учитывая, что крови = 5 · 10^{- 6} м² /сек., приходим к выводу, что во всех сосудах Re˂ 1000, т.е. течение далеко от турбулентности.

Исключение составляют аорта (r = 10^-2 м) и крупнейшие артерии, скорость кровотока по которым достигает 1.5 м/сек, число Рейнольдса в них доходит до 75000, и следовательно, в них может возникать турбулентность (особенно при наличии повреждений стенок).

Закон гидравлики

Любой участок сосуда (рис. 2.9) можно рассматривать как цилиндрическую трубку длины L радиуса r, по которой течет кровь.

Рисунок 2.9. Течение крови по отрезку сосуда

Формулы (5), которые описывают течение Пуазейля, позволяют заключить, что величина кровотока Q, т.е. объема крови (в мл), протекающего через сосуд в единицу времени (1 сек.), пропорциональна разности давлений на входе и выходе трубы P, четвертой степени радиуса и обратно пропорциональна длине трубы

Q= , (9)

где Q = кровоток (мл/мин), P = градиент давления, т.е. разность давлений на входе и выходе (в физиологии давление чаще всего измеряется в миллиметрах ртутного столба - 1 мм рт.ст.= 133 Па, 1 Па = 1 Н/м ² – единица давления в системе СИ (м·кг·сек) ), L длина трубки (см), r внутренний радиус трубки (см), µ вязкость крови, которая в " физиологической" системе единиц (размеры - в см, давление - в мм.рт. ст., время - в минутах) равна 24 физиол.ед., тогда как в " стандартной" системе СИ µ = 5 · 103 кг/м· сек, а в " физической" системе СГС µ = 0.05 пуаза.

Это уравнение применимо только к ламинарным (без завихрений) течениям жидкости по трубке с жесткими неупругими стенками. В частности, в турбулентном режиме разность давлений пропорциональна не кровотоку, а его квадрату и может значительно превышать значения, рассчитанные по формулам ламинарного течения.

Из уравнения (9) видно, что увеличение кровотока может быть достигнуто как повышением градиента давления, так и увеличением внутреннего радиуса трубки. Оба этих механизма регулирования кровотока имеют большое значение в физиологии.

Вводя так называемое гидравлическое сопротивление, в простом случае течения Пуазейля определяющееся формулой

R: = , (10)

мы приходим к соотношениям между градиентом давления и кровотоком в сосуде, полностью аналогичным закону Ома для электрического тока

Q= , или, другими словами,

= · (11)

где кровоток Q соответствует силе электрического тока I, проходящего по проводнику, а ∆ P - падению напряжения U на сопротивлении R.

Формулы для электрического и гидравлического сопротивлений также аналогичны, но электрическое сопротивление обратно пропорционально квадрату, а гидравлическое – четвертой степени радиуса трубки.

Заменяя вязкость в (10) ее значением, запишем соотношения (11) между кровотоком и падением давления в отрезке сосуда в следующем виде:

Q =λ , т.е. =λ ^-1 Q; (12)

λ = ≈ 60 физиол. ед., λ ^-1 ≈ 0, 0166 физиол. ед.

В конкретном примере, когда длина сосуда L =1 см, внутренний радиус r = 1 мм = 0.1 см, по формуле (11) находим, что для поддержания в сосуде кровотока Q =60 мл/мин разность давлений на входе и выходе сосуда должна составлять 1 мм рт. ст.

Основное уравнение гидравлики (11) применимо не только к одиночному сосуду, но и к стационарным течениям в разветвляющейся сети трубок и даже во всей системе кровообращения в целом. При этом оказывается, что эквивалентное гидравлическое сопротивление R^* сосудов большого круга составляет около

R^* ≈ 60 физиол. ед. = 133·10⁶ кг/м²·сек. = 133·10⁵г/см²·сек. (13)

Гидравлические сопротивления складываются, подобно соединению резисторов в электрических схемах (рис. 2.10), при последовательном соединении; при параллельном же соединении складываются проводимости, т.е. величина, обратная к общему сопротивлению параллельно соединенных трубок равна сумме обратных величин к сопротивлениям отдельных трубок

Рисунок 2.10. Последовательное и параллельное соединение сосудов (гидравлических проводников)

R_посл= R₁+ R₂+ …R_п; (14)

В общем случае, сложная сеть артериальных сосудов может являться графом, ребра которого представляют отдельные сосуды, а вершины - узлы, в которых сосуды расщепляются (или сливаются). Сопротивление каждого ребра рассчитывается по формулам (10) или (12).

Выбирая в качестве искомых неизвестных давления P_k в N ≈ 10⁹ вершинах, через них по уравнению (11) записываем кровотоки во всех сосудах, удовлетворяющие (в стационарном случае) условию баланса: в каждом узле алгебраическая сумма кровотоков равна нулю.

Добавляя сюда те или иные граничные условия (например, задавая величину давления или кровотока в аорте, и приравнивая нулю давление на концах артериол), приходим к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Практическое решение, даже на самом мощном компьютере, получающейся NхN СЛАУ не представляется возможным без дополнительных предположений, например, агрегирования (укрупнения) групп сосудов одного поколения.

На рис. 2.11 лишь левый сердечный насос и главные артерии большого круга кровообращения и последовательно с ними соединенные системы артериол (более узкие прямоугольники). Короткие черточки (как в электрических схемах) указывают на переход к капиллярной и венозной системам, давление в которых очень мало и его можно считать нулевым. Пунктиром помечены части тела, относящиеся к соответствующим участкам АСС.

Через R₁, R₂, R₉, R₁₀, R₁₁ обозначены отрезки восходящей аорты, R₃ - R₆- коронарные артерии и артериолы, R₇, R₈ нисходящие ветви аорты R₁₂ - R₁₆ - артерии и артериолы, питающие мозг, R₁₇- R₂₀ - лучевые сосуды рук, R₂₁- R₂₄ сосуды внутренних органов, R₂₅- R₂₈- артериальные сосуды ног.

В табл. 2.1. приведены данные к рис. 2.11, которые будут использоваться в расчетной задаче № 3.

Таблица 2.1. Ориентировочные значения гидравлических сопротивлений (в физиологических единицах)

R1	R8	R15	R22
R2	R9	R16	R23
R3	R10	R17	R24
R4	R11	R18	R25
R5	R12	R19	R26
R6	R13	R20	R27
R7	R14	R21	R28

Важно учесть также гравитационные силы (отсутствующие лишь в состоянии невесомости), что осуществляется добавлением к давлению P_k в каждой вершине слагаемого p h_k, где h_k высота данной точки над некоторым уровнем (обычно уровнем расположения сердца).

Несмотря на упрощенный характер гидравлического описания, оно дает возможность строить удовлетворительные модели начального приближения.

Рис. 2.11. Схема укрупненного графа артериальной сосудистой системы человека

Материалы и методы

Рассматриваем осесимметричное течение крови, которая принимается вязкой и несжимаемой жидкостью, в цилиндрическом сосуде постоянного радиуса R. Движение происходит в цилиндрической системе координат (x, r, θ ), причем ось x совпадает с осью симметрии движения. Материал стенки считаем идеально упругим и изотропным.

Перемещения стенок будем представлять в виде суммы:

u_общ(x, t) = u(x, t) + u₀(x, t), w_общ(x, t) = w(x, t) + w₀(x, t),

где: u(x, t) - упругие движения в продольном направлении, w(x, t) – в поперечном, а функции u ₀(x, t), w₀(x, t) описывают дополнительное смещениестенки сосуда, вызываемое реактивным мышечным сокращением припрохождении по сосуду пульсовой волны давления, то есть при работевторичного сердца.

Система уравнений движения кровотока в гибких цилиндрических сосудах в таком случае будет:

, (1)

где p – давление; μ – вязкость крови; ρ – плотность крови; v_x – осевая компонента скорости крови; t – время; u, w – перемещения стенки в продольном и поперечном направлениях; v_r – радиальная компонента скорости крови; R – радиус сосуда; Sʹ, Tʹ – силы натяжения в окружном и продольном направлениях соответственно; S₀, T₀ – начальные значения сил натяжения в окружном и продольном направлениях; коэффициент Пуассона; E – модуль Юнга стенки; ν –h – толщина стенки сосуда; ρ ₀ – массовая плотность материала стенки сосуда.

Третье уравнение системы получено изуравнений Навье-Стокса для осесимметричного течения вязкой несжимаемойжидкости. Оно заменяет уравнение неразрывности.

На стенке задаются кинематическиеи статические контактныеусловия:

1. Статическиеусловия:

(2)

2. Кинематические условия:

│ _{𝑟 =𝑅} = + ,

│ _{𝑟 =𝑅} = + .

(3)

Цель и задачазаключаетсявнахожденииобщегорешениясистемыуравнений(1) с граничными условиями (2), (3). В силу линейности уравнений задачараспадается на однородную и неоднородную. Сначала построится общеерешение однородной задачи, после чего найдем частное решениенеоднородной.

В этом однородном случае решение будем искать в виде простыхгармонических волн вида:

𝘶 = ,

.(4)

Здесьχ –волновоечисло; –частотапульсациикровотока.

Подставляя функции (4) в первые три уравнения системы (1), получимзначения для амплитуд скоростейидавления:

.(5)

где - функцииБесселяпервогородапорядков1и0.

Далее, будем строить частные решения для каждой волновой гармоники , подставим в однородную систему (1) значения (5), а также функции(4) и выполним однородные кинематические условия (2). Получая системулинейных однородных алгебраических уравнений относительнопроизвольных постоянных , A и B. Ненулевое решение системысуществует тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Такимобразом, получим дисперсионное уравнение следующего вида:

Здесь: .

Для решения, полной краевой задачи с учетом граничных условий навходе и выходе из ССС необходимо решить дисперсионноеуравнение для конечных значений волновых чисел (конечных гармонических частотколебаний). Для определения числа решений и начальногоприближения может быть использован контурный график начальных точекдисперсионных кривых, полученный в программном пакете РТС Mathcad.

В случае ( 0.00001)малых коэффициентов вязкости дисперсионноеуравнение имеет два комплексных решения. Контурныйграфик представлен на рисунке 4.1.

Рис. 4.1. Начальные точки дисперсионных кривых в случае малой вязкости крови

Рис. 4.2. Начальные точки дисперсионных кривых в случае большой вязкости крови

Используя полученные точки в качестве начальных приближений дляпостроения нашего решения дисперсионного уравнения, можно построитьнеобходимые для данного случая дисперсионные кривые. Наличие дисперсионных кривыхпозволяет завершить решение полной краевой задачи с учетом краевых иконтактных условий поставленной задачи.

Таким образом, общее решениеуравнений однородной системы (1) построено.После перейдем к построению частного решения неоднородной системы.

Решение частнойнеоднородной системы для каждойволновой гармоники будет:

= ,

.(6)

где ,

параметр Уомерсли, – скорость пульсовой волны давления Моянса-Кортевега.

Функции , , показывающие работу распределенногосердца, определяются из данного эксперимента. Следует отметить, чтоустановившееся течение вязкой жидкости при дополнительном мышечномвоздействии возможно, если среднее ускорение реактивного перемещениястенок равно 0. В простейшем случае функции реактивного перемещениястенок могут быть прописаны в таком виде:

где: - параметры, характеризующие степень мышечной активности, 0 q 1, T - период пульсации жидкости (крови).

В таком случае, график ускорения реактивного перемещения стенокбудет антисимметричным, и среднее ускорение будет равно нулю (рисунок 4.3).

Рис. 4.3. Реактивное ускорение стенок сосуда ССС

Затем, раскладывая в ряды Фурье функции скорости и ускорения реактивного перемещения стенок сосуда и подставляя в неоднородную систему (1) и в контактные условия (2) функции (6), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно постоянных u₁₀, w₁₀, A₀, B₀, «определитель» которого будет отличен от нуля, так как не является корнем дисперсионного уравнения.

Решая данную систему, определим неизвестные постоянные и построим базовые частные решения для продольной и поперечной частей скорости. Сумма решений, найденных для каждой волновой гармоники , даст решение системы уравнений (1) с кинематическими контактными условиями (2).

В последствии, задача о построении решения системы уравнений (1) с граничными условиями (2), (3) будет решена. Расчеты с помощью построенной трехмерной аналитической модели трудоемки, поэтому нами принято решение о необходимости ее упрощения.

Ставя среднее значения радиуса сосуда в уравнение системы (1), получим одномерную систему течения вязкой несжимаемой жидкости (крови):

(9)

где: Q = объемный расход крови человека.

Не учитывая инерционными силами, действующими на оболочки сосуда, а также конвективной составляющей ускорения частиц крови, из замкнутой системы уравнений (9) получим более простую системууравнений динамики движения кровотока:

Из системы уравнений (10) с учетом разложения функций (7), (8) в ряды Фурье, получаем разрешающее уравнение для объемного потока крови:

(11)

Здесь: – коэф. разложения в ряд Фурье.

Построение аналитического решения задачи по определениюобъемного потока крови в системе кровеносных сосудов проводилось дляучастка сосудистой системы ССС с двумя узлами бифуркации. Рассматриваетсясистема артерий, состоящая из 5 сегментов, в которых происходит«периодическая пульсация» крови. Каждый отдельный участок обладает своейпространственной одномерной системой координат, начало которой находится навходе, а ось x направлена в сторону выходного отверстия сосуда.

На каждом i-м участке запишем уравнение для объемного потока крови: