Основы строения сосудистой сети

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 7Следующая ⇒

Кровь после выхода из аорты последовательно протекает через множество различного типа сосудов: артерии, артериолы, капилляры, венулы и вены. Типичные значения физических характеристик сосудов разных видов приведены в таблице (рис. 1.10).

Рисунок 1.10. Структура периферической сосудистой системы

Артерии имеют достаточно эластичные стенки и расширяются, запасая в себе некоторое количество крови, изгоняемой во время систолы, и затем за счет пассивного упругого сокращения снабжая этой кровью удаленные органы во время диастолы. Самой крупной артерией является аорта, внутренний диаметр составляет около 25 мм. По мере отделения каждой новой ветви внутренний диаметр артерий уменьшается (диаметр самых мелких артерий 0.1 мм). Последовательное разделение артерий приводит к экспоненциальному росту их числа.

Артериолы имеют меньший диаметр, чем артерии, и другое строение стенок. Стенки артериол содержат много гладкомышечных клеток, и поэтому артериолы могут активно изменять свой диаметр, регулируя тем самым кровоток через периферические органы.

Капилляры являются самыми мелкими сосудами, для прохождения через них эритроциты с диаметром 7 мкм должны деформироваться.

Толщина стенки капилляра составляет всего 1 мкм, а средняя длина – около 0.5 мм. Число капилляров настолько велико (10 миллиардов), что общая поверхность стенок капилляров, через которые осуществляется обмен веществ между кровью и межклеточной жидкостью, составляет более 100 кв. метров.

После прохождения капилляров кровь собирается в венулы и вены и возвращается в правое предсердие. Венозные сосуды имеют очень тонкие стенки, содержащие гладкомышечные клетки и поэтому способные как к активному сокращению, так и к эластичному сокращению. Многие венозные сосуды (особенно крупные) имеют клапаны (сфинктеры), препятствующие обратному току крови в венах.

Особое место в ССС занимает подсистема коронарных (венечных) сосудов, которая питает кровью саму сердечную мышцу (миокард). Левая и правая коронарные артерии берут начала в синусах (впадинах), расположенных непосредственно в корне аорты и перекрываемых при открытом аортальном клапане. Коронарные артерии имеют многочисленные ответвления к стенкам предсердий и желудочков. Отток крови из миокарда происходит в венечный синус, передние вены сердца и особые вены, впадающие непосредственно в правое сердце.

Рисунок 1.11. Кровоток в коронарных артериях (синхронно с давлениями в аорте и левом желудочке)

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЕРДЕЧНО-СОСУДИСТОЙ СИСТЕМЫ (ССС)

Основы механики жидкостей

Равнодействующая всех сил, действующих на произвольно выбранную в некотором плоскую малую площадку, в первом приближении пропорциональна площади S площадки. Предел отношения к S при S®0 называется напряжением . Вектор имеет нормальную (перпендикулярную) и касательную (вдоль площадки) составляющие, именующиеся соответственно давлением p и вязким напряжением ..

Рисунок 2.1. Силы и напряжения в движущейся жидкости

В покоящейся жидкости (гидростатика, рис. 2.1) касательные напряжения отсутствуют, а разность давлений в любых двух точках А и В равна работе (отнесенной к единице объема) по перемещению элементарного объема из А в В. В частности, в гравитационном поле, создаваемом земным тяготением

= = (1)

где - плотность жидкости (плотность крови можно считать постоянной и равной в системе СИ (м·кг·сек) крови = 1060 кг/м3 ), , - вектор и абсолютное значение ускорения свободного падения ( = 9.81 м/сек² ), h_A, h_B высоты точек А и В, отсчитываемые по вертикали вниз от одного и того же горизонтального уровня.

Рисунок 2.2. Гидростатические силы

Касательное напряжение (рис. 2.3) в ньютоновской жидкости пропорционально градиенту касательной составляющей скорости

= (2)

где U (z) - касательная компонента вектора скорости, ось z направлена перпендикулярно площадке, а параметры µ, n: = µ/r, которые характеризуют вязкие свойства конкретной жидкости, называются соответственно физической вязкостью (или просто вязкостью) и кинематической вязкостью.

Рисунок 2.3. Касательные силы в движущейся жидкости

Единицей вязкости µ в СИ служит 1 кг/м·сек, которая в 10 раз больше употреблявшейся ранее единицы вязкости в системе СГС (см·г·сек), называвшейся пуаз. Экспериментально установлено, что чистая вода ведет себя как ньютоновская жидкость с вязкостью, составляющая при 20°C примерно 1 сантипуаз, т.е. 10^-3 единиц СИ. Соответственно, кинематическая вязкость воды n_воды = 10^-6 м² /сек = 10^-2 см² /сек = 10-² cтокс (ст.).

Кровь можно рассмотреть как суспензию (взвесь эритроцитов в плазме), вязкость которой при больших и средних значениях скорости сдвига в 4 – 7 раз больше вязкости воды. При малой скорости вязкость крови резко возрастает (до 1 пуаза, т.е. примерно в 200 раз), что связано с агрегированием красных кровяных телец в так называемые монетные столбики, которые существенно повышают сопротивление протеканию крови. Поэтому постоянство вязкости крови (ньютоновость) имеет место только в крупных и средних сосудах, но никак не в артериолах и капиллярах.(рис. 2.4).

Рисунок 2.4. Зависимость вязкости крови от скорости сдвига и гематокрита (процентного содержания эритроцитов)

Уравнение гидродинамики

В крупных кровеносных сосудах, диаметр которых значительно больше размеров эритроцитов, течение кровиможет быть описано классическим векторным уравнением Навье – Стокса, первое из которых есть уравнение неразрывности несжимаемой жидкости, а второе является законом Ньютона для элементарного объема жидкости

div , (3)

= - grad p + µ∆ , (4)

где - вектор скорости, ∇: = (∂ /∂ x, ∂ /∂ y, ∂ /∂ z) символический операторГамильтона, p - давление, и µ – плотность и вязкость жидкости, ∆: = ∂ ² /∂ x² + ∂ ² /∂ y ² + ∂ ² /∂ z ² – оператор Лапласа.

В случае стационарных, т.е. не зависящих от времени, течений из уравнений (3), (4) следуют соотношения между сечениями тонких трубок S, скоростями U вдоль линий тока, давлениями p, высотами h:

U₁S₁ = U₂S₂; P₁ + + = P₂ + + , (5)

выражающие физические законы сохранения массы и механической энергии в отсутствие трения, т.е. при µ = 0 (закон Бернулли). Эти зависимости иллюстрируют рис 2.5 и 2.6.

Рисунок 2.5. Изменение скорости течения в участках трубки с разным поперечным сечением

Рисунок 2.6. Закон Бернулли для трубки тока

Заметим, что скорость крови на стенках является неизвестной величиной, которое зависит от движения самой стенки. Поэтому сложные уравнения Навье – Стокса редко используются при исследовании течения крови в сосудах, поскольку во многих случаях необходимо учитывать упругость стенок и их смещение.

Важнейшим и практически единственным случаем, когда уравнения (3)-(4) допускают аналитическое и точное решение, является так называемое течение Пуазейля в длинном жестком прямом (неизогнутом) цилиндрическом сосуде постоянного радиуса r, вектор скорости которого не меняется со временем (установившийся режим). Если направить ось x по оси цилиндра, а y, z – перпендикулярно ей, то решение системы Навье – Стокса представляет собой набор функций

= - ; V_x= V(1 - ), V_y= 0, V_z= 0; (6)

где V = const - скорoсть на оси цилиндра (= максимум скорости в сосуде). Данное решение удовлетворяет условию прилипания на стенке цилиндра: |_y²_+z²_=r² = . Интегрирование V_x (y, z) по поперечному сечению сосуда y ² + z ² ≤ r² приводит к формуле Пуазейля для суммарного объема, который протекает через сечение трубки в единицу времени (кровотока)

Q = = - (7)

Знак " -" указывает на тот естественный факт, что перенос вещества происходит в сторону уменьшения (а не увеличения) давления.

Введем теперь очень важный в гидродинамике безразмерный параметр – число Рейнольдса, показывающее отношение инерционных сил к вязким, и равное

Re = V · r/v

Эксперименты показывают, что при Re< 1700 течение Пуазейля, описываемое соотношениями (6), является ламинарным (плавным, устойчивым) и происходит без завихрений, наоборот, при Re> 1700 наблюдаются хаотические завихрения и движение жидкости становится турбулентным.

Рисунок 2.8. Ламинарное и турбулентное течение

Из рисунка 2.8 видно, что первоначально ламинарный пуазейлевский (параболический) профиль скорости при достаточно быстром уменьшении радиуса (что в силу неразрывности приводит к квадратичному увеличению скорости и к возрастанию числа Рейнольдса) переходит в неупорядоченный турбулентный режим с компонентами скорости, перпендикулярными оси потока, что резко увеличивает градиент давления.

Выбирая типичные для средних сосудов значения V = 0.1 м/сек., r = 10^-3 м и учитывая, что крови = 5 · 10^{- 6} м² /сек., приходим к выводу, что во всех сосудах Re˂ 1000, т.е. течение далеко от турбулентности.

Исключение составляют аорта (r = 10^-2 м) и крупнейшие артерии, скорость кровотока по которым достигает 1.5 м/сек, число Рейнольдса в них доходит до 75000, и следовательно, в них может возникать турбулентность (особенно при наличии повреждений стенок).

Закон гидравлики

Любой участок сосуда (рис. 2.9) можно рассматривать как цилиндрическую трубку длины L радиуса r, по которой течет кровь.

Рисунок 2.9. Течение крови по отрезку сосуда

Формулы (5), которые описывают течение Пуазейля, позволяют заключить, что величина кровотока Q, т.е. объема крови (в мл), протекающего через сосуд в единицу времени (1 сек.), пропорциональна разности давлений на входе и выходе трубы P, четвертой степени радиуса и обратно пропорциональна длине трубы

Q= , (9)

где Q = кровоток (мл/мин), P = градиент давления, т.е. разность давлений на входе и выходе (в физиологии давление чаще всего измеряется в миллиметрах ртутного столба - 1 мм рт.ст.= 133 Па, 1 Па = 1 Н/м ² – единица давления в системе СИ (м·кг·сек) ), L длина трубки (см), r внутренний радиус трубки (см), µ вязкость крови, которая в " физиологической" системе единиц (размеры - в см, давление - в мм.рт. ст., время - в минутах) равна 24 физиол.ед., тогда как в " стандартной" системе СИ µ = 5 · 103 кг/м· сек, а в " физической" системе СГС µ = 0.05 пуаза.

Это уравнение применимо только к ламинарным (без завихрений) течениям жидкости по трубке с жесткими неупругими стенками. В частности, в турбулентном режиме разность давлений пропорциональна не кровотоку, а его квадрату и может значительно превышать значения, рассчитанные по формулам ламинарного течения.

Из уравнения (9) видно, что увеличение кровотока может быть достигнуто как повышением градиента давления, так и увеличением внутреннего радиуса трубки. Оба этих механизма регулирования кровотока имеют большое значение в физиологии.

Вводя так называемое гидравлическое сопротивление, в простом случае течения Пуазейля определяющееся формулой

R: = , (10)

мы приходим к соотношениям между градиентом давления и кровотоком в сосуде, полностью аналогичным закону Ома для электрического тока

Q= , или, другими словами,

= · (11)

где кровоток Q соответствует силе электрического тока I, проходящего по проводнику, а ∆ P - падению напряжения U на сопротивлении R.

Формулы для электрического и гидравлического сопротивлений также аналогичны, но электрическое сопротивление обратно пропорционально квадрату, а гидравлическое – четвертой степени радиуса трубки.

Заменяя вязкость в (10) ее значением, запишем соотношения (11) между кровотоком и падением давления в отрезке сосуда в следующем виде:

Q =λ , т.е. =λ ^-1 Q; (12)

λ = ≈ 60 физиол. ед., λ ^-1 ≈ 0, 0166 физиол. ед.

В конкретном примере, когда длина сосуда L =1 см, внутренний радиус r = 1 мм = 0.1 см, по формуле (11) находим, что для поддержания в сосуде кровотока Q =60 мл/мин разность давлений на входе и выходе сосуда должна составлять 1 мм рт. ст.

Основное уравнение гидравлики (11) применимо не только к одиночному сосуду, но и к стационарным течениям в разветвляющейся сети трубок и даже во всей системе кровообращения в целом. При этом оказывается, что эквивалентное гидравлическое сопротивление R^* сосудов большого круга составляет около

R^* ≈ 60 физиол. ед. = 133·10⁶ кг/м²·сек. = 133·10⁵г/см²·сек. (13)

Гидравлические сопротивления складываются, подобно соединению резисторов в электрических схемах (рис. 2.10), при последовательном соединении; при параллельном же соединении складываются проводимости, т.е. величина, обратная к общему сопротивлению параллельно соединенных трубок равна сумме обратных величин к сопротивлениям отдельных трубок

Рисунок 2.10. Последовательное и параллельное соединение сосудов (гидравлических проводников)

R_посл= R₁+ R₂+ …R_п; (14)

В общем случае, сложная сеть артериальных сосудов может являться графом, ребра которого представляют отдельные сосуды, а вершины - узлы, в которых сосуды расщепляются (или сливаются). Сопротивление каждого ребра рассчитывается по формулам (10) или (12).

Выбирая в качестве искомых неизвестных давления P_k в N ≈ 10⁹ вершинах, через них по уравнению (11) записываем кровотоки во всех сосудах, удовлетворяющие (в стационарном случае) условию баланса: в каждом узле алгебраическая сумма кровотоков равна нулю.

Добавляя сюда те или иные граничные условия (например, задавая величину давления или кровотока в аорте, и приравнивая нулю давление на концах артериол), приходим к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Практическое решение, даже на самом мощном компьютере, получающейся NхN СЛАУ не представляется возможным без дополнительных предположений, например, агрегирования (укрупнения) групп сосудов одного поколения.

На рис. 2.11 лишь левый сердечный насос и главные артерии большого круга кровообращения и последовательно с ними соединенные системы артериол (более узкие прямоугольники). Короткие черточки (как в электрических схемах) указывают на переход к капиллярной и венозной системам, давление в которых очень мало и его можно считать нулевым. Пунктиром помечены части тела, относящиеся к соответствующим участкам АСС.

Через R₁, R₂, R₉, R₁₀, R₁₁ обозначены отрезки восходящей аорты, R₃ - R₆- коронарные артерии и артериолы, R₇, R₈ нисходящие ветви аорты R₁₂ - R₁₆ - артерии и артериолы, питающие мозг, R₁₇- R₂₀ - лучевые сосуды рук, R₂₁- R₂₄ сосуды внутренних органов, R₂₅- R₂₈- артериальные сосуды ног.

В табл. 2.1. приведены данные к рис. 2.11, которые будут использоваться в расчетной задаче № 3.

Таблица 2.1. Ориентировочные значения гидравлических сопротивлений (в физиологических единицах)

R1	R8	R15	R22
R2	R9	R16	R23
R3	R10	R17	R24
R4	R11	R18	R25
R5	R12	R19	R26
R6	R13	R20	R27
R7	R14	R21	R28

Важно учесть также гравитационные силы (отсутствующие лишь в состоянии невесомости), что осуществляется добавлением к давлению P_k в каждой вершине слагаемого p h_k, где h_k высота данной точки над некоторым уровнем (обычно уровнем расположения сердца).

Несмотря на упрощенный характер гидравлического описания, оно дает возможность строить удовлетворительные модели начального приближения.

Рис. 2.11. Схема укрупненного графа артериальной сосудистой системы человека

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 Следующая ⇒