Начальные и граничные условия

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 10Следующая ⇒

Начальные условия отвечают на вопрос о том, каково было температурное поле в момент времени, принятый за начало отсчета. Они описываются выражением Θ |_τ₌₀ = f_o(x, y, z). Очень часто температура компонентов технологических подсистем в начальный момент времени может быть принята равной температуре окружающей среды Θ _o, т. е. f_o(x, y, z) = Θ _o. В этом случае удобно, как отмечалось выше, вести расчет в так называемых избыточных температурах, условно считая, что f_o(x, y, z) = 0, а затем по окончании расчета к результату прибавляя Θ _o.

Граничными называются условия взаимодействия тел с окружающей средой или другими телами. Различают несколько разновидностей граничных условий. При граничных условиях первого рода (ГУ1) предполагают, что известен закон распределения температур на граничных поверхностях тела:

. (3.1)

Частным случаем ГУ1 является условие изотермичности поверхностей тела, когда Θ _S = const.

Граничные условия второго рода (ГУ2) предусматривают, что известен закон распределения плотности тепловых потоков, следующих через граничные поверхности:

. (3.2)

Частным случаем ГУ2 является условие адиабатичности поверхностей тела, когда q_S = 0, что означает, что тело не обменивается теплотой с окружающей средой. Выполняя тепловые расчеты, относящиеся к технологическим системам, во многих случаях с достаточной для практики точностью можно пренебречь теплообменом той или иной поверхности с окружающей средой, т. е. принять q_S = 0, что упрощает расчеты.

Граничные условия третьего рода (ГУ3) используют в том случае, когда теплообменом поверхности с окружающей средой пренебречь нельзя. в этом случае должны быть заданы температура окружающей среды Θ _o, с которой соприкасается тело, и коэффициент теплоотдачи α (Вт/м^2оС), характеризующий теплообмен между средой и поверхностью.

Согласно закону Ньютона – Рихмана плотность теплового потока пропорциональна разности температур поверхности Θ _S и окружающей ее среды Θ _o:

. (3.3)

Выражение (2.9) представляет собой математическое описание ГУ3.

Граничные условия четвертого рода (ГУ4) возникают тогда, когда рассматриваемое твердое тело находится в беззазорном контакте с другим твердым телом и между ними происходит теплообмен. Этот вариант граничных условий весьма часто встречается в теплофизике технологических процессов. Например, при обработке давлением детали штампа практически беззазорно соприкасаются с обрабатываемой заготовкой; при резании металла поверхности инструмента на определенных участках соприкасаются со стружкой и заготовкой. При граничных условиях четвертого рода, когда контакт между телами идеален, температура в любой точке поверхности соприкосновения как со стороны одного, так и со стороны другого тела одна и та же, т. е.

Θ _S₁ = Θ _S₂ (3.4)

С целью упрощения расчетов часто вместо равенства температур в каждой точке контакта в качестве ГУ4 принимают равенство средних температур на поверхности контакта:

Θ _ср_S₁ = Θ _ср_S₂ (3.5)

Граничные условия четвертого рода, используют при решении балансовых задач, т. е. при анализе распределения теплоты между телами, находящимися в контакте, Распределив между соприкасающимися телами теплоту, образующуюся на контактной поверхности, и рассчитав плотность теплового потока в каждом из тел, далее пользуются граничными условиями второго рода.

Метод непосредственного интегрирования дифференциального

Уравнения теплопроводности

Существуют три основные группы методов решения дифференциального уравнения теплопроводности: аналитические, численные и методы математического моделирования.

К аналитическим относятся классический метод непосредственного интегрирования, метод интегральных преобразований и метод источников. При методе непосредственного интегрирования дифференциального уравнения решение выполняют одним из известных способов. Покажем применение этого метода при решении одномерной стационарной задачи. Примером, иллюстрирующим такую задачу, является определение температурного поля в инструменте при иглофрезеровании.

В современном машиностроении используют процесс обработки деталей инструментом, поверхность которого (например, торец) снабжена большим количеством жестких металлических проволочек (игл). Такой инструмент позволяет повышать чистоту поверхности заготовки, придавать ей некоторое упрочнение. При назначении режима работы, в частности частоты вращения металлической щетки, важно рассчитать температуру иголки па рабочем торце, так как от нее зависит изнашивание инструмента и качество обработанной поверхности.

Схематизируя процесс, представим иголку как стержень, на торце которого действует источник теплоты, возникающий в результате преобразования механической энергии трения в тепловую (рис. 3.1).

Граничные условия:

а) на нижнем торце иголки задана плотность теплового потока, т, е. ГУ2:

; (3.6)

б) поскольку конец проволочки заделан в массивный корпус инструмента и не успевает прогреваться, можно предположить, что на верхнем торце температура равна температуре окружающей среды т. е. имеем типичный случай пассивной границы с ГУ1:

; (3.7)

в) теплоотдачей с боковой поверхности проволочки, т.е. считать эту поверхность адиабатической; кроме того, при обработке достаточно широких поверхностей быстро устанавливается:

. (3.8)

Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности приводится к виду:

. (3.9)

Интегрируя это уравнение первый раз, получаем . Далее, разделив переменные и интегрируя второй раз, имеем

Для определения постоянных интегрирования используем граничные условия (3.6) и (3.7). Тогда:

. (3.10)

Выражение (3.10) представляет собой решение дифференциального уравнения теплопроводности для одномерной задачи. Оно показывает, что при принятых условиях однозначности изменение температуры по длине стержня подчинено линейному закону.

Обратим внимание на то, что, решая задачу о распространении теплоты в стержне, мы не учитывали зависимость коэффициента теплопроводности- от температуры. Если бы было необходимо учесть зависимость λ (Θ ), то при линейной зависимости λ (Θ )= λ _о+m Θ _о, интегрирование приводит к выражению:

. (3.11)

На рис. 3.1 сопоставлены законы изменения -температур по длине иголки, изготовленной из стали, для которой λ = 42—0, 02Θ при (q_o = 400 Вт/м, l== 0, 03м, Θ _о = 20°С. Как видно, распределение температур здесь мало отличается от линейного закона, причем наибольшее различие между температурами, рассчитанными по формулам (3.10) и (3.11), не выходит за пределы 6 %.

Лекция 4. Метод источников теплоты

1. Основные положения метода источников теплоты

2. Мгновенные точечные источники в неограниченных телах и

интегральные переходы

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒