Движение под углом к горизонту

Стр 1 из 7Следующая ⇒

41. Тело, брошенное под углом к горизонту, имеет дальность полета L и высоту подъема h. Чему равны угол бросания и начальная скорость тела?

42. Тело, брошенное под углом к горизонту, упало на землю через время t. Определите высоту подъема и дальность полета тела.

43. На учебном полигоне летчик должен сбросить груз в точку А, находящуюся на земле впереди по курсу самолета. На каком расстоянии S по прямой от точки А следует произвести сброс, если самолет летит горизонтально на высоте H со скоростью v?

44. Мальчик ростом 1, 5 м, стоя на расстоянии 15 м от забора высотой 5 м, бросает камень под углом 45⁰ к горизонту. С какой минимальной скоростью надо бросить камень, чтобы он перелетел через забор? [13, 8 м/с]

45. Наибольшая высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту со скоростью 20 м/с, составляет 10 м. Под каким углом оно брошено? [45⁰]

46. Деревянный шар, скатываясь с лестницы, имел горизонтальную начальную скорость 5 м/с. Высота и ширина каждой ступени равны по 0, 5 м. О какую по счету ступеньку ударится ша впервые? [10]

47. Камень бросили со скоростью 19, 6 м/с под углом 60⁰ к горизонту. Определить радиус кривизны его траектории в верхней точке. Принять g=9, 8 м/с². [9, 8 м]

48. С вертолета, летящего горизонтально на высоте Н = 125 м со скоростью V₀ = 90 км/ч, сбросили груз. На какой высоте его скорость будет направлена под углом 60⁰ к горизонту?

49. Камень бросают со скоростью V под углом к горизонту. Через какое время скорость будет составлять угол с горизонтом?

50. Под углом 60⁰ к горизонту брошено тело с начальной скоростью 20 м/с. Через какое время оно будет двигаться под углом 45⁰ к горизонту?

51. Снаряды вылетают с начальной скоростью 600 м/с под углом 30, 45, 60 градусов к горизонту. Определите радиус кривизны траектории снарядов в их наивысшей и начальной точках.

52. **Из отверстия шланга, прикрытого пальцем, бьют две струи под углом и к горизонту. На каком расстоянии от отверстия по горизонтали струи пересекутся?

53. **Какую скорость нужно сообщить футбольному мячу, чтобы он пролетел через стену высотой Н, находящуюся на расстоянии S таким образом, чтобы вершина траектории совпала с вершиной стены?

54. **Из шланга, лежащего на земле, бьет по углом 45⁰ к горизонту вода с начальной скорость 10 м/с. Площадь сечения отверстия шланга 5 см². Найдите массу воды струи, находящейся в воздухе.

55. Дальность полета тела, брошенного в горизонтальном направлении со скоростью V₀ = 10 м/с, равна высоте, с которой брошено тело. Чему равна эта высота и под каким углом к горизонту тело упало на землю?

56. Под каким углом к горизонту нужно бросить тело, чтобы его максимальная высота подъема была в 2 раза больше дальности полета?

57. Баскетболист бросает мяч в кольцо. Скорость мяча после броска V₀ = 8 м/с, он брошен под углом 60⁰ к горизонту. С какой скоростью мяч попал в кольцо, если он долетел до кольца за 1 с?

58. **Камень бросили под углом a =60⁰ к горизонту со скоростью 20 м/с. Каковы будут нормальное и касательное ускорения камня через 0, 5 с после начала движения? Через сколько времени после начала движения нормальное к траектории ускорение камня будет максимальным? Определить радиус кривизны траектории в этот момент.

59. Тело брошено под углом 60⁰ к горизонту со скоростью 10 м/с. Определить время полета, высоту и дальность полета, а также радиус кривизны траектории в наивысшей точке и в точке падения на землю.

60. *Камень бросают горизонтально с вершины горы, имеющей угол наклона к горизонту a. С какой скоростью должен быть брошен камень, чтобы он упал на расстоянии L от вершины?

61. *Тело бросают со скоростью V₀ вверх под углом a к наклонной плоскости, которая образует с горизонтом угол b. Найти расстояние от точки бросания до точки падения тела.

62. *Охотник стреляет дробью в птицу, летящую по прямой со скоростью V₁= 15 м/с. Какое упреждение S надо сделать, если в момент выстрела птица находилась на минимальном от охотника расстоянии, равном l= 30 м. Скорость дроби V₂= 375 м/с. Упреждение – это расстояние между точкой, в которую прицеливается охотник и местом нахождения птицы.

63. *Цель, находящаяся на горе, видна под углом a к горизонту. Дистанция (расстояние от орудия до цели по горизонтали) равна L. Угол возвышения (угол между направлением ствола и горизонталью) равен b. Определить начальную скорость снаряда, попадающего в цель.

64. *На горе с уклоном a = 30⁰ бросили мяч с начальной скоростью 10 м/с перпендикулярно склону горы. Найти время полета мяча и расстояние от точки бросания до точки падения мяча.

65. **Шарик падает вертикально вниз с высоты 1 м на наклонную плоскость и упруго отскакивает от нее. На каком расстоянии S от места падения он снова ударится о ту же плоскость? Угол наклона плоскости к горизонту 30⁰.

[s = 8h, sina = 4 м]

66. **Какое расстояние по горизонтали пролетит мяч, брошенный со скоростью 10 м/с под углом 60⁰ к горизонту, если он ударяется о потолок? Высота потолка 3 м, удар упругий.

67. **Футбольный мяч посылается с начальной скоростью 10, 7 м/с под углом 30⁰ к горизонту. На расстоянии S=6, 0 м от точки удара находится вертикальная стенка, о которую мяч упруго ударяется. Найти расстояние Х от точки удара до точки его приземления.

68. **Небольшое тело скользит со скоростью 10 м/с по горизонтальной плоскости, приближаясь к щели. Щель образована двумя отвесными стенками, находящимися на расстоянии 5 см друг от друга. Скорость перпендикулярна стенкам. Глубина щели 1 м. Сколько раз тело ударится о стенки, прежде чем упадет на дно? Удар о стенку считать абсолютно упругим.

69. **Мальчик ростом h = 1, 5 м, стоя на расстоянии l = 15 м перед забором высотой H = 5 м, бросает камень под углом 45⁰ к горизонту. С какой минимальной скоростью V₀ надо бросить камень, чтобы он пролетел через забор? [ ]

70. Тело массы m бросают под углом a к наклонной плоскости, которая образует с горизонтом угол b. Найти расстояние от точки бросания до точки падения тела.

71. Утка летела по горизонтальной прямой с постоянной скоростью u. В нее бросил камень неопытный «охотник», причем бросок был сделан без упреждения. Т.е. в момент броска скорость камня v была направлена как раз на утку под углом a к горизонту. На какой высоте летела утка, если камень все же попал в нее? [ ]

Средняя скорость

72. Половину пути до места назначения автомобиль проехал с постоянной скоростью 40 км/ч. С какой постоянной скоростью он должен двигаться вторую половину пути с тем, чтобы средняя скорость была равна 50 км/ч?

73. Всадник проехал за первые 40 мин 5 км; следующий час он передвигался со скоростью 10 км/ч, а оставшиеся 6 км пути – со скоростью 12 км/ч. Определите среднюю скорость всадника за все время движения, за 1-й час движения и на 1-й половине пути.

74. Первую половину пути машина шла со скоростью 40 км/ч. Затем она стала двигаться под углом 180⁰(30⁰) к своему начальному направлению движения со скоростью 60 км/ч. Чему равна средняя скорость движения и средняя скорость перемещения машины?

75. Поезд первую половину пути прошел со скоростью в n раз большей, чем вторую половину пути. Средняя скорость на всем пути V_ср. Какова скорость поезда на каждой половине пути?

76. Велосипедист ехал из одного города в другой. Половину пути он ехал со скоростью 12 км/ч. Далее половину оставшегося времени движения ехал со скоростью V₂=6 км/ч, а затем до конца пути шел пешком со скоростью V₃=4 км/ч. Определить среднюю скорость на всем пути.

77. Велосипедист начал свое движение из состояния покоя и в течение первых 4 с двигался с ускорением 1 м/с², затем в течение 0, 1 мин он двигался равномерно и последние 20 м равнозамедленно до остановки. Найти среднюю скорость за все время движения. Построить график V(t).

78. Расстояние между двумя станциями поезд прошел со средней скоростью V_ср = 72 км/ч за t= 20 мин. Разгон и торможение вместе длились t₁= 4 мин, а остальное время поезд двигался равномерно. Какой была скорость поезда V при равномерном движении.

79. Тело соскальзывает без трения с наклонной плоскости. Определить угол a наклона плоскости к горизонту, если средняя скорость тела V₁ за первые t₁= 0, 5 с на 2, 45 м/с меньше, чем средняя скорость V₂ за первые t₂ = 1, 5 с.

80. Тело падает без начальной скорости с высоты H. Определить скорость на половине пути (V₁), в конце пути (V₂), а также среднюю скорость падения на нижней половине пути (V_ср). Сопротивлением воздуха пренебречь.

81. Тело падает вертикально вниз с высоты h= 20 м без начальной скорости. Определить: 1) путь, пройденный телом за последнюю секунду h₁; 2) среднюю скорость на всем пути V_1ср; 3) среднюю скорость на второй половине пути V_2ср.

82. Первые t₁ секунд поезд движется равноускоренно без начальной скорости, затем некоторое время его скорость не меняется. На замедление до полной остановки уходит время t₂. При этом весь путь длиной L поезд проходит со средней скоростью v_ср. Найти максимальную скорость поезда.

83. Брошенный вверх камень поднимается на высоту 10 м и падает обратно. Какова средняя скорость камня за время движения. [0]

Относительность движения

84. Определить скорость человека по отношению к берегу, если он идет вдоль катера с носа на корму со скоростью 1, 25 м/с. Скорость катера относительно воды равна 5 м/с, скорость реки равна 9 км/ч. [1, 25 м/с] (рис.)

85. Катер движется из пункта А к пункту В, держа курс b. Скорость течения реки 2 м/с. Определить скорость катера относительно берега и относительно реки, если a=45⁰ и b= 30⁰. (рис.)

86. Из пункта А по взаимно перпендикулярным дорогам выехали два автомобиля: один со скоростью 30 км/ч, другой – со скоростью 40 км/ч. С какой относительной скоростью они удаляются друг от друга?

87. *С одного и того же места с интервалом времени Dt брошены 2 тела с одной и той же начальной скоростью V под углом к горизонту. Как движется 1-е тело относительно 2-го? Почему относительная скорость зависит только от t?

88. При скорости ветра 10 м/с капли дождя падают под углом 30⁰ к вертикали. При какой скорости ветра капли будут падать под углом 45⁰?

89. Какой будет продолжительность полета по трассе длины L, если в течение всего полета ветер дует под углом b к трассе со скоростью U, а скорость самолета относительно воздуха V. При каком направлении ветра продолжительность полета максимальна?

90. Мальчик может плавать со скоростью в 2 раза меньше скорости реки; он хочет переплыть эту реку так, чтобы его как можно меньше снесло вниз по течению. Под каким углом к берегу он должен плыть? На какое расстояние его снесет, если ширина реки 200 м?

91. Катер двигаясь по течению реки, затратил время в n=3 раза меньше, чем на обратный путь. Определить с какими скоростями относительно берега двигался катер, если средний модуль скорости на всем пути V_ср=3 км/ч. Найти скорость катера в стоячей воде и скорость течения.

92. Из пункта выехали 3 автомобиля: первый со скоростью V₁= 30 км/ч, второй – со скоростью V₂= 40 км/ч в том же направлении, что и первый; третий – со скоростью V₃= 40 км/ч в направлении, перпендикулярном движению первых двух. С какой относительной скоростью они удаляются друг от друга?

93. Катер переплывает через реку, движется перпендикулярно течению реки со скоростью 4 м/с в системе отсчета, связанной с водой. На сколько будет снесен катер течением, если ширина реки 800 м, а скорость течения 1 м/с.

94. Моторная лодка, движущаяся относительно воды со скоростью 6 м/с, должна переправиться через реку по кратчайшему пути. Какой курс относительно берега необходимо держать при переправе, если скорость течения реки 2 м/с?

95. **Клин К движется вправо с постоянной скоростью V₀ относительно стола. С какой скоростью V₁ движется шайба 1 относительно клина? Какова по модулю скорость шайбы U относительно стола, если угол клина a известен?

96. Эскалатор метро поднимает неподвижно стоящего на нем человека в течение 1 мин. По неподвижному эскалатору человек поднимается за 3 мин. Сколько времени будет подниматься пассажир по движущемуся эскалатору?

97. Эскалатор метро спускает идущего по нему вниз человека за 2 мин. Если человек будет идти вдвое быстрее, то он спустится за 45 с. Сколько времени будет спускаться человек, стоящий на эскалаторе?

98. Капли дождя на окне неподвижного трамвая оставляют полосы, наклоненные под углом a=30⁰ к вертикали. При движении трамвая со скоростью V₁=18 км/ч полосы от дождя вертикальны. Определить скорость V₂ капель в безветренную погоду и скорость ветра V₃. [8, 66 м/с, 5 м/с]

99. Какова скорость капель отвесно падающего дождя, если шофер легкового автомобиля заметил, что капли дождя не оставляют следа на заднем стекле, наклоненном вперед под углом 60⁰ к горизонту, когда скорость автомобиля V_a больше 31 км/ч.

100. Лодочник перевозит пассажиров с одного берега на другой за 10 мин, при этом лодка движется перпендикулярно берегу. С какой скоростью относительно воды и под каким углом к берегу должна двигаться лодка, чтобы достичь берега за указанное время? Скорость течения V₁=0, 3 м/с, ширина реки 240 м.

101. На тележке установлена труба, которая может поворачиваться в вертикальной плоскости. тележка равномерно движется по горизонтальному пути со скоростью V₁ =2 м/с. Под каким углом a к горизонту следует установить трубу, чтобы капли дождя, падающие отвесно со скоростью V₂ = 6 м/с, двигались относительно трубы параллельно ее стенкам, не задевая их? Скорость капель вследствие сопротивления воздуха можно считать постоянной.

102. Человек в лодке переплывает реку, отправляясь из точки А. Если он будет держать курс перпендикулярно берегу, то через 10 мин после отправления он попадет в точку С, лежащую на расстоянии 120 м ниже точки В по течению реки. Если он будет держать курс под некоторым углом a к прямой АВ (АВ перпендикулярна берегам) против течения, то через 12, 5 мин попадет в точку В. Определить ширину реки, скорость лодки относительно воды, скорость течения реки и угол a, под которым плыл лодочник во втором случае. Скорость движения лодки относительно воды постоянна и одинакова по величине в обоих случаях.

103. Корабль длиной L движется в стоячей воде равномерно и прямолинейно. Катер, двигаясь со скоростью v относительно воды, проходит расстояние от кормы движущегося корабля до его носа и обратно за время t. Найти скорость корабля относительно воды.

104. *Лента транспортера имеет скорость w. Над лентой движется автомат, выбрасывающий v шариков в единицу времени. Шарики прилипают к ленте. Счетчик шариков с фотоэлементом считает только шарики, непосредственно прошедшие под ним. Сколько шариков сосчитает счетчик за единицу времени, если скорость автомата v< w? Скорость счетчика u< w? [v’=v(w-u)/(w-v)]

105. Круглое ядро радиуса R, движущееся со скоростью v, пролетает сквозь рой мух, движущихся со скоростью u перпендикулярно направлению полета ядра. Толщина роя равна d, в единице его объема в среднем находится n мух. Сколько мух убьет ядро? Влиянием силы тяжести пренебречь. [ ]

Движение по окружности

106. Волчок, вращаясь равномерно с угловой скоростью 251, 2 рад/с, свободно падает с высоты 5 м. Сколько оборотов успеет сделать волчок за время падения?

107. Мальчик вращает камень, привязанный к веревке длиной 0, 5 м, в вертикальной плоскости с частотой 3 с^-1. На какую высоту взлетел камень, если веревка оборвалась в тот момент, когда скорость была направлена вверх?

108. Гладкий диск радиусом R, плоскость которого расположена горизонтально, вращается вокруг своей оси с частотой 40 об/мин. От поверхности диска на расстоянии R/2 от оси вращения отрывается небольшое тело, которое без трения скользит по диску. Через какое время оно соскользнет с диска?

109. Две материальные точки движутся по окружностям радиусами R₁ и R₂, причем R₁ = 2R₂. Сравнить их центростремительные ускорения в случаях: а) равенства их линейных скоростей; б) равенства их периодов.

110. **Цилиндр радиусом R = 20 см вращается вокруг своей оси с частотой n=20 об/мин. Вдоль образующей цилиндра движется тело с постоянной скоростью V=30 см/с относительно поверхности, одновременно вращаясь вместе с ним. Определить скорость тела относительно земли и ускорение этого тела.

111. Лента перематывается с одной катушки на другую. Угловая скорость вращения мотка постоянна и равна , начальный радиус мотка R, толщина ленты h. Какова будет скорость подачи ленты спустя время t после начала вращения?

112. *Точка движется по окружности радиусом 20 см с постоянным тангенсальным ускорением 5, 6 м/с². Через сколько времени после начала движения нормальная проекция полного ускорения будет равна касательной проекции? будет вдвое больше касательной?

113. *Планета представляет собой однородный шар плотностью 5650 кг/м³. Каков период обращения искусственного спутника, движущегося вблизи поверхности? Гравитационную постоянную принять равной 6, 67× 10¹¹ м³/(кг× с²).

114. *Небольшое тело движется по окружности радиуса R со скоростью, которая линейно увеличивается по закону V=kt. Найдите зависимость полного ускорения тела от времени.

115. ** Человек находится на расстоянии 2 м от центра круглой горизонтальной площадки, вращающейся вокруг вертикальной оси, проходящей через центр. Какое минимальное число оборотов в минуту должна делать площадка, чтобы человек не смог удержаться на ней? Коэффициент трения между человеком и площадкой 0, 2.

116. *Какую работу надо совершить, чтобы раскрутить до частоты вращения 300 об/мин велосипедное колесо массой 3 кг и радиусом 30 см? Считать, что вся масса колеса сосредоточена на ободе.

117. *Диск радиуса R начинает вращаться с угловым ускорением 3 рад/с². Через сколько времени точка, лежащая на его краю, будет иметь ускорение 75 см/с²?

118. *Тело начинает движение из состояния покоя и вращается с постоянным угловым ускорением 0, 04 рад/с². Через сколько времени тело будет иметь ускорение, направленное под углом 45⁰к ее скорости?

119. *Поезд въезжает на закругленный участок пути с начальной скоростью 54 км/ч и проходит путь 600 м за время 30 с, двигаясь равноускоренно. Радиус закругления 1 км. Определить скорость и ускорение в конце этого пути. [25 м/с, 0, 708 м/с²]

120. Шкив радиусом R = 20 см приводится во вращение грузом, подвешенным на нити, постепенно сматывающейся со шкива. В начальный момент груз был неподвижен, а затем стал опускаться с ускорением 2 см/с². Определить угловую скорость шкива в тот момент, когда груз пройдет путь 1 м. Определить величину и направление ускорения точки на ободе шкива в этот момент.

Часть вторая: Динамика материальной точки

Основные понятия и законы

Материальные тела участвуют в различных взаимодействиях, т.е. одни из них действуют на другие и наоборот. В природе нет тел, которые бы не принимали участия хотя бы в одном виде взаимодействий, обусловленных его свойствами. Выделим несколько видов взаимодействий: гравитационное (обусловленное наличием массы), упругое (обусловленное взаимодействием микрочастиц, из которых состоит данное тело), электростатическое (обусловлено наличием у тела электрического заряда) и магнитное (обусловленное движением зарядов). Такая классификация имеет целью подтвердить данное ниже определение основной в динамике физической величины.

Сила – мера взаимодействия; векторная величина, имеющая модуль и направление. Сила всегда действует со стороны одного тела (или системы тел) на другое тело (или систему). Например, сила тяжести – это сила со стороны «Земли» на «данное тело, имеющее массу». В связи с этим будем говорить о всякой силе по следующей схеме:

кто действует – на кого действует – как направлена – чему равна.

Основные силы, рассматриваемые при решении задач, будут описаны ниже, после изучения законов Ньютона, т.к. взаимосвязи между некоторыми из них вытекают из третьего закона Ньютона.

Динамика Ньютона основана на утверждении, что причиной изменения движения тела служит некоторая сила (или несколько сил), подействовавшая на него. Иначе, тело не меняет своего движения при отсутствии внешней действующей на него силы. Если сил несколько, то имеется в виду результирующая сила – векторная сумма всех действующих на тело внешних сил. Причем при отсутствии сил тело не обязано покоится, оно может двигаться, но с постоянной скоростью, т.е. равномерно (а, как известно, равномерное движение всегда прямолинейно! ). Это явление равномерного и прямолинейного движения тела при отсутствии внешних воздействий называется инерцией.

Но для изменения движения материального тела не достаточно только наличия внешней действующей силы! Нужно еще некоторое время ее действия, чтобы это изменение произошло. Т.е. материальное тело изменяет свое движение не мгновенно. Иначе, оно оказывает некоторое сопротивление изменению своего движения. Свойство тел оказывать сопротивление изменению своего движения называется инертностью. Для характеристики инертных свойств тел потребовалось ввести новую величину: инертную массу как меру податливости тела внешнему воздействию. Итак, масса – мера инертности тела; скалярная аддитивная положительная величина, зависящая от количества вещества.

Как выяснилось, свойство инерции проявляется не во всех системах отсчета! Например, относительно ускоряющегося поезда пенек на поляне движется ускоренно при отсутствии внешних сил в горизонтальном направлении. Поэтому все системы отсчета делят на инерциальные (относительно которых инерция имеет место) и неинерциальные (в противном случае). Приходим к следующему определению:

Инерциальной системой отсчета называется такая система отсчета, относительно которой тело сохраняет свое состояние покоя или равномерного движения, если на него не действуют внешние силы или их действие скомпенсировано (т.е. результирующая этих сил равна нулю). Такими системами являются системы отсчета, связанные с Землей (в пределах земной поверхности) или с Солнцем (в более широких пределах) и т.д. Кроме того, любая система отсчета, неподвижная или движущаяся равномерно относительно инерциальной, также является инерциальной. Например, перрон или поезд, движущийся с постоянной скоростью. Неинерциальные системы отсчета связанны с телами, которые движутся с ускорением (прямолинейно или по окружности, или по любой кривой линии).

Теперь переходим к формулировке трех законов классической динамики Исаака Ньютона.

Первый закон Ньютона: существуют инерциальные системы отсчета.

Второй закон Ньютона – основной закон поступательного движения – отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение тела под действием приложенной силы: (2.1).

Т.е. ускорение, приобретаемое телом под действием силы F прямо пропорционально величине этой силы. Коэффициент пропорциональности при этом есть величина обратная массе тела, а значит ускорение обратно пропорционально массе этого тела.

При решении задач используется более простая форма записи этого закона: (2.2).

Замечание. Однако формулировать закон необходимо в форме (2.1)!

Методические указания. На практике возможны следующие случаи использования этого закона (формы применения второго закона Ньютона):

1) ускорение, с которым движется тело, вызвано только одной силой F, тогда формула (2.2) запишется только для этой силы. При этом справа и слева будут только по одному вектору, поэтому значок вектора можно опустить и переписать формулу сразу в скалярной форме: F = m× а, где а – величина ускорения тела, вызванного силой, численно равной F.

2) Ускорение вызвано несколькими силами, направленными вдоль направления ускорения (или имеющими составляющие вдоль этого направления), тогда справа в формуле (2.2) будет записана векторная сумма этих сил (сумма проекций этих сил на направление ускорения). Помимо них могут действовать и еще какие-то силы, которые перпендикулярны рассматриваемому ускорению, а потому не дают вклада в его величину и не учитываются. Затем для получения скалярной записи это равенство проектируется на направление ускорения.

3) Затруднительно или малоэффективно разделение всех действующих сил на те, что привносят вклад в изменение движения, и те, которые компенсируются и потому не изменяют движения. Тогда формула (2.2) запишется в самом общем случае для результирующей всех действующих сил. Т.е. справа надо записывать векторную сумму всех указанных сил (при этом важно не упустить из виду ни одной силы). Далее полученное векторное равенство проектируется на несколько взаимноперпендикулярных направлений (оси координат). Тем самым будет получено более одного скалярного равенства, что важно в случае нескольких неизвестных.

Третий закон Ньютона: Р ассматривается взаимодействие двух тел в форме материальных точек. Пусть – сила, действующая на первое тело со стороны второго, и – сила, действующая на второе тело со стороны первого. Тогда: 1) если одно тело действует на второе с некоторой силой, то и второе тело действует на первое с какой-то силой; 2) обе силы взаимодействия направлены вдоль линии, проходящей через данные материальные точки; 3) верно векторное равенство (2.3), т.е. эти силы равны по величине и противоположно направлены.

Методические указания. Иногда кратко этот закон формулируют в виде: сила действия равна силе противодействия. Заметим, что учитывая векторность силы, это совершенно не верно: силы действия и противодействия различны по направлению. Возможно в слове «противо-действие» этот момент и учитывается!? Однако суть закона далеко этим не ограничивается. Основной смыл состоит в том, что действие всегда вызывает противодействие, т.е. является одной из сторон взаимо- действия. Отсюда требование: говоря о силе надо указать о какой стороне взаимодействия идет речь, т.е. действие на какое именно тело нас интересует в данный момент!

В заключение рассмотрения трех основных законом ньютоновской динамики обратим особое внимание на следующее: законы Ньютона справедливы только в инерциальных системах отсчета!

Отсюда важное методическое требование: при решении задач по динамике всегда указывать относительно какой ИСО рассматривается движение или изменение движения (т.е. состояние) тела. Все величины, входящие в формулу (2.2) или (2.1), должны быть заданы относительно ОДНОЙ и ТОЙ ЖЕ системы отсчета.

Теперь рассмотрим основные виды сил, затрагиваемых в задачах по динамике:

1. Сила тяжести . – Земля действует на тело массы m, приложена к центру тяжести и направлена к центру Земли (вдоль радиуса Земли) от данного тела, равна по величине произведению m× g, где g – ускорение свободного падения (постоянная величина, равная у поверхности Земли примерно 9, 8 м/с²).

2. Сила реакции опоры – опора действует на тело, направлена перпендикулярно опоре от опоры. Величина зависит от конкретных условий; часто равна по модулю весу тела (по третьему закону Ньютона).

3. Вес тела – тело действует на опору или подвес, направлена перпендикулярно к опоре в сторону опоры или вдоль подвеса от точки подвеса. Значение зависит от характера движения опоры (или подвеса). Иначе говоря, весом тела называют силу, с которой тело действует на опору или растягивает подвес вследствие притяжения к Земле, и тогда считают, что Р = mg (при этом важно помнить, что опора или подвес должны быть неподвижными). Если опора движется вертикально с ускорением а, направленным вниз или вверх, то модуль веса тела равен Р=m(g-a) или Р=m(g+a). В связи с этим важно отметить, что между весом тела и величиной силы тяжести нет однозначной количественной связи! Кроме того, тело может прижиматься к опоре и какой-либо другой внешней силой (например, брусок можно рукой придавить к столу, а груз, висящий на нити может еще и снизу поддерживаться и т.д.), тогда говорят о силе давления груза на опору или о силе, с которой груз действует на подвес.

4. Сила натяжения нити – нить (подвес) действует на прикрепленное к нему тело, направлена вдоль нити от точки подвеса. Модуль этой силы зависит от конкретных условий задачи; лишь иногда равна по величине весу тела.

5. Сила упругости – пружина или упругий стержень действует на прикрепленное к ней или к нему тело, направлена вдоль оси деформации (вдоль направления сжатия или растяжения) в сторону уменьшения деформации. Величина определяется законом Гука: F_упр. = k× x (2.4), где х – величина продольной деформации (абсолютное удлинение или сжатие относительно недеформированного состояния! ).

6. Сила трения – поверхность действует на находящееся на ней тело, направлена вдоль поверхности в сторону, противоположную относительному движению тела (имеется в виду движение действительное или желаемое). По третьему закону Ньютона тело также действует на поверхность с такой же по величине, но противоположной по направлению силой. Если относительное движение равно нулю (нет скольжения), то силу трения называют силой трения покоя. Ее величина лежит в пределах: 0 £ F_тр. £ F_тр.ск., где F_тр.ск. – величина силы трения скольжения (она постоянна для данных поверхностей) и равна F_тр.ск. = m× N (2.5), где N – величина силы нормального давления (перпендикулярная поверхности сила реакции опоры).

Замечание. Возможность движения по поверхности при наличии силы трения обусловлена ее ограниченностью по величине. Чем меньше коэффициент трения (зависящий от качества покрытия, шероховатости соприкасающихся поверхностей), тем меньшее сопротивление испытывает движение.

Методические указания. Нами рассмотрены естественно не все силы. В задачах могут встретиться просто заданные внешние силы без указания их источников, например, сила тяги, приложенная сила и пр. Сила задана, если известны не только ее направление и величина, но и также точка ее приложения (указано тело, на которое она действует). Если в условии задачи говорится о действующих силах или заданы какие-либо параметры, относящиеся к величине некоторой силы, то значит это – задача на динамику и решать ее надо на основе второго закона Ньютона – единственного равенства, привносящего в формулу силы.

Алгоритм решения задач по динамике.

1. Выбрать тело, о котором идет речь в условии задачи.

2. Указать на рисунке все силы, действующие на это тело (в виде векторов с соответствующими обозначениями).

3. Выяснить есть ли у этого тела ускорение и изобразить (если возможно) его направление на рисунке (по крайней мере должна быть известна линия вдоль которой направлено это ускорение, если нельзя точно заранее сказать в какую именно сторону).

4. Ответить на вопросы: движется ли тело с ускорением? Какая сила (или силы) сообщает телу это ускорение? Выбрать форму записи второго закона Ньютона (1-я, 2-я или 3-я, см. методические указания на с.46).

5. Записать в векторной форме формулу (2.2) второго закона Ньютона.

6. Выбрать и нарисовать оси координат (только их направления), на которые далее спроецировать записанное векторное равенство.

7. Полученные таким образом скалярные равенства дополнить при необходимости формулами кинематических зависимостей и выразить из них искомую величину.

8. Возможно рассмотрение в переделах одной задачи нескольких тел (при недостатке одного равенства для сил), тогда все предыдущие этапы будут повторяться несколько раз.

9. Проверить согласование причин и характера изменения движения рассмотренных тел. Сделать анализ полученных результатов, ответить на поставленный в задаче вопрос.

Примеры решения задач

Задача-пример 1. На тележке массой 20 кг лежит груз массой 5 кг. К грузу приложена сила F, сообщающая тележке с грузом ускорение а. Сила действует под углом 30⁰ к горизонту. Каково максимальное значение этой силы, при котором груз не будет скользить по тележке? Коэффициент трения между грузом и тележкой 0, 20. Трением между тележкой и дорогой пренебречь. С каким ускорением будет двигаться тележка под действием силы F?

Прежде всего, по условию задачи сделаем рисунок, указав на нем некоторые данные и искомые величины.

Далее необходимо проанализировать заданную ситуацию. Ясно, что в задаче рассматривается движение двух тел: груза и тележки. Причем возможны два варианта их движения: 1) оба тела движутся вместе, тогда ускорения их равны ; 2) тела движутся по-разному, т.е. груз скользит по тележке и его ускорение больше по величине, т.е. а₁< а₂. Но в обоих случаях тела движутся с ускорениями. Ответим на вопрос о том, какая сила сообщает каждому из рассматриваемых тел это ускорение.

Для этого необходимо указать все силы, действующие отдельно на груз и на тележку, и выбрать те из них, которые имеют направление (или составляющую) вдоль направления ускорения. Итак, груз приобретает ускорение под действием двух сил (приложенной к нему внешней силы исилы трения ). Второй закон Ньютона для него запишется в форме 2 (см. методические указания на с.46) для проекций сил:

находим эти проекции на направление ускорения и получаем скалярное равенство в виде:

m₂× а₂ = F× cosa – F_тр2 (1).

С другой стороны, в направлении вертикальной оси движение груза не меняется, а значит силы, действующие вдоль него, скомпенсированы, т.е. сумма проекций этих сил на данное направление равна нулю:

или

12 3 4 5 6 7 Следующая ⇒