Понятие множества и элемента множества

Введение

Изучая математику в школе, колледже, вузе, необходимо усвоить определенную систему понятий, предложений и доказательств, но чтобы овладеть этой системой и затем успешно применять приобретенные знания и умения, обучая младших школьников и решая задачу их развития средствами математики, необходимо сначала понять, каковы особенности математических понятий, как устроены их определения, предложения, выражающие свойства понятий, и доказательства. Такие знания нужны учителю начальных классов еще и потому, что он первым вводит детей в мир математических знаний, и от того, как грамотно и успешно он это делает, зависит и отношение ребенка к изучению математики в дальнейшем.

Изучение этого материала связано с овладением теоретико-множественным языком, который будет использоваться не только при рассмотрении логической структуры математических понятий, предложений и доказательств, но и при построении всего курса.

В конце XIX века в математической науке возникла необходимость уточнить смысл таких ведущих понятий, как функция, непрерывность и т.д. Для этого нужно было строго определить, что такое натуральное число. Поиски ответа на эти сложные вопросы способствовали развитию новых математических идей, поэтому в конце XIX - начале XX столетий происходил пересмотр старых представлений буквально во всех областях математических знаний. В результате в конце XIX века возникла новая область математики - теория множеств, одним из создателей которой был немецкий математик Георг Кантор. За небольшой срок теория множеств стала фундаментом всей математики.

В предлагаемом курсе мы познакомимся с некоторыми основными понятиями теории множеств. Знания в этой области нужны учителю начальных классов, во-первых, для понимания содержания начального курса математики, независимо от того, явно или неявно в нем используются теоретико-множественные понятия; во-вторых, для освоения таких важных с профессиональной точки зрения понятий, как взаимно однозначное соответствие, отношение, число, геометрическая фигура.

Отношения между множествами

В математике изучают не только те или иные множества, но и отношения, взаимосвязи между ними. Например, нам известно, что все натуральные числа являются целыми. Понятие множества позволяет обобщить конкретные случаи взаимосвязи между различными совокупностями, позволяет посмотреть на них с единой точки зрения.

Если множества А я В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются.

Например, если А = {а, b, с, d, е}, В = {b, d, k, m), С = {х, у, z}, то можно утверждать, что множества А и В пересекаются, так как имеют общие элементы b и d, а множества А и С, В и С не пересекаются, поскольку не имеют общих элементов.

Рассмотрим теперь множества А = {а, b, с, d, е} и В = {с, d, e). Они пересекаются, и, кроме того, каждый элемент множества В является элементом множества А. В этом случае говорят, что множество В включается в множество А или что множество В является подмножеством множества А и пишут B A.

Определение. Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Пустое множество считают подмножеством любого множества. Любое множество является подмножеством самого себя.

Из определения следует, что если В А, то множество В может быть пустым, и тогда Ø А, и, кроме того, множество В может совпадать с А, и тогда А А. Поэтому среди всех подмножеств заданного множества А должно быть обязательно пустое множество и само множество А.

Образуем, например, все подмножества множества А = {2, 3, 4}. Среди них будут одноэлементные подмножества: {2}, {3}, {4}, двухэлементные: {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, а также само множество А и пустое множество 0. Таким образом, данное трехэлементное множество А имеет 8 подмножеств.

Доказано, что если множество А содержит и элементов, то у него 2ⁿ различных подмножеств.

Рассмотрим теперь множества А = {а, b, с, d, e} и В = {с, а, d, b, e}. Они пересекаются, и каждый элемент множества А является элементом множества В, т.е. А с В, и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А, т.е. В с. А. В этом случае говорят, что множества А и В равны и пишут А-В.

Определение. Множества А и В называются равными, если А В и В А.

Из определения следует, что равные множества состоят из одних и тех же элементов и что порядок записи элементов множества не существен.

Отношения между множествами наглядно представляют при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера.

Для этого множества представляют в виде кругов, овалов или любых других геометрических фигур. В том случае, если множества А и В имеют общие элементы, но ни одно из них не является подмножеством другого, их изображают так, как

показано на рис. 4а. Если множество В является подмножеством А, то круг, изображающий множество В, целиком находится в круге, изображающем множество А (рис. 46). Если А с В, то множества А и В изображают так, как на рисунке 4в. Равные множества представляют в виде одного круга (рис. 4г).

Если множества А и В не пересекаются, то их изображают в виде двух фигур, не имеющих общих точек (рис. 5).

Понятие подмножества является обобщением понятия части и целого, которые осваивают младшие школьники, выполняя разные задания. Например: «Назови среди данных чисел четные», «Среди данных четырехугольников найди прямоугольники».

Пересечение множеств

Из элементов двух и более множеств можно образовывать новые множества. Пусть даны два множества: А = {2, 4, 6, 8} и В = {5, 6, 7, 8, 9}. Образуем множество С, в которое включим общие элементы множеств А и В, т.е. С = {6, 8}. Так полученное множество С называют пересечением множеств А и В.

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.

Пересечение множеств А и В обозначают А В. Таким образом, по определению, А В = {х|х А и х В).

Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то пересечением данных множеств является заштрихованная область (рис. 7).

В том случае, когда множества А и В не имеют общих элементов, говорят, что их пересечение пусто и пишут: А В = Ø.

Выясним, как находить пересечение множеств в конкретных случаях.

Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти А В, достаточно перечислить элементы, которые одновременно принадлежат множеству А и множеству В, т.е. их общие элементы.

А как быть, если множества заданы характеристическими свойствами своих элементов?

Из определения пересечения следует, что характеристическое свойство множества А В составляется из характеристических свойств пересекаемых множеств с помощью союза «и».

Найдем, например, пересечение множества А - четных натуральных чисел и множества В - двузначных чисел. Характеристическое свойство элементов множества А - «быть четным натуральным числом», а характеристическое свойство элементов множества В - «быть двузначным числом». Тогда, согласно определению, элементы пересечения данных множеств должны обладать свойством «быть четными натуральными и двузначными числами». Таким образом, множество А В состоит из четных двузначных чисел (союз «и» в данном случае можно опустить). Полученное множество не пусто. Например, 24 А В, поскольку число 24 четное и двузначное.

Рассмотрим теперь случай, когда находят пересечение множества А и его подмножества В. Легко видеть, что тогда А В - В и, следовательно, характеристическое свойство элементов множества А В будет таким, как и свойство элементов множества В.

Объединение множеств

Пусть даны два множества: А = {2, 4, 6, 8} и В = {5, 6, 7, 8, 9}. Образуем множество D, в которое включим элементы, принадлежащие хотя бы одному из данных множеств, т.е. множеству А или множеству В. D = {2, 4, 6, 8, 5, 7, 9}. Так полученное множество D называют объединением множеств А я В.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

Объединение множеств А и В обозначают А В. Таким образом, по определению, А В = {x|x А или х В}.

Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то объединение данных множеств изобразится заштрихованной областью (рис. 8).

Выясним, как находить объединение множеств в конкретных случаях.

Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти А В,

достаточно перечислить элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

А как быть, если множества заданы характеристическими свойствами их элементов? Из определения объединения следует, что характеристическое свойство элементов множества А В составляется из характеристических свойств элементов множеств А и В с помощью союза «или». Найдем, например, объединение множества А - четных натуральных чисел и множества В - двузначных чисел. Так как свойство элементов множества А - «быть четным натуральным числом», а свойство элементов множества В - «быть двузначным числом», то в объединение данных множеств войдут числа, характеристическое свойство которых - «быть четным натуральным или двузначным числом». Такие числа образуют бесконечное множество, но сформулированное характеристическое свойство позволяет однозначно определять, содержится тот или иной элемент в объединении множеств А и В или не содержится. Например, в A B есть число 8, поскольку оно четное; есть число 36 - оно четное и двузначное.

Рассмотрим теперь случай, когда находят объединение множества А и его подмножества В. Легко видеть, что тогда А В = А и, следовательно, характеристическое свойство элементов множества A В будет таким, как и свойство элементов множества А.

Декартово произведение

Используя две цифры, например, 3 и 5, можно записать четыре двузначных числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотря на то что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные. В том случае, когда важен порядок следования элементов, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В рассмотренном примере мы имели дело с упорядоченными парами.

Упорядоченную пару, образованную из элементов а и b, принято записывать, используя круглые скобки: (а; b). Элемент а называют первой координатой (компонентой) пары, а элемент b - второй координатой (компонентой) пары.

Пары (а; b) и (с; d) равны в том и только в том случае, когда a =c и b = d.

В упорядоченной паре (а; b) может быть, что а = b. Так, запись чисел 33 и 55 можно рассматривать как упорядоченные пары (3; 3) и (5; 5).

Упорядоченные пары можно образовывать как из элементов одного множества, так и двух множеств. Пусть, например, 4 = {1, 2, 3}, В = {3, 5}. Образуем упорядоченные пары так, чтобы первая компонента принадлежала множеству А, а вторая- множеству В. Если мы перечислим все такие пары, то получим множество:

{(1; 3), (1; 5), (2; 5), (3; 3), (3; 5)}.

Видим, что имея два множества А и В, мы получили новое множество, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это множество называют декартовым произведением множеств Аи В.

Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.

Декартово произведение множеств А и В обозначают Ах В. Используя это обозначение, определение декартова произведения можно записать так:

А х В= {(х; у) |х А и у В}.

З а д а ч а 1. Найдите декартово произведение множеств А и В, если:

a)A = {m; p}, B={e, f, k};

б)А=В={3, 5}.

Решение. а) Действуем согласно определению- образуем все пары, первая компонента которых выбирается из А, а вторая - из В:

А х В= {( m; е), (m; f), (m; k), (p; e), (p; f), (p; к)}.

б) Декартово произведение равных множеств находят, образуя всевозможные пары из элементов данного множества:

А х А={(3; 3), (3; 5), (5; 3), (5; 5)}

Операцию нахождения декартова произведения множеств называют декартовым умножением. Выясним, какими свойствами обладает эта операция. Так как декартовы произведения А х В и В х А состоят из различных элементов, то декартово умножение множеств А и В свойством коммутативности не обладает. Можно доказать, что для декартова умножения не выполняется и свойство ассоциативности. Но декартово произведение дистрибутивно относительно объединения и вычитания множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняются равенства:

(А В) х С = (А х С) (В х С),

(А \ В) х С = (А х В) \ (В х С).

З а д а ч а 2. Проверьте справедливость свойства дистрибутивности декартова умножения относительно объединения, если:

А = {3; 4; 5}, В ={5; 7}, С ={7; 8}.

Решение. Найдем объединение множеств А и В: А В = {3, 4, 5, 7}. Далее перечислим элементы множества (А В) х С, используя определение декартова произведения: (А В) х С = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.

Чтобы найти элементы множества (А х С) (В х С), перечислим сначала элементы множеств А х С и В х С:

А х С = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8)}

В х С={(5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.

Найдем объединение полученных декартовых произведений: (А х С) (В х С) = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.

Видим, что множества (А В) х С и (А х С) (В х С) состоят из одних и тех же элементов, следовательно, для данных множеств А, В и С справедливо равенство (А В) х С = = (А х С) (В х С).

Выясним теперь, как можно наглядно представлять декартово произведение множеств.

Если множества А и В конечны и содержат небольшое число элементов, то можно изобразить декартово произведение этих множеств при помощи графа или таблицы. Например, декартово произведение множеств А = {1, 2, 3} и В = {3, 5} можно представить так, как показано на рисунке 17(а, б).

В А

(1, 3) (1, 5)

(2, 3) (2, 3)

(3, 3) (3, 3)

б) Рис. 17

Декартово произведение двух числовых множеств (конечных и бесконечных) можно изображать на координатной плоскости, так как каждая пара чисел может быть единственным образом изображена точкой на этой плоскости. Например, декартово произведение А хВ множеств А = {1, 2, 3} и В = = (3, 5} на координатной плоскости будет выглядеть так, как показано на рисунке 18.

у

5

3

0 1 2 3 х Рис.18

Заметим, что элементы множества А мы изобразили на оси Ох, а элементы множества В - на оси Оу.

Такой способ наглядного представления декартова произведения двух числовых множеств удобно использовать в случае, когда хотя бы одно из них бесконечное.

Задача 3. Изобразить на координатной плоскости декартово произведение Ах В, если:

а) А = {1, 2, 3}, В = [3, 5];

б) А = [1, 3], В = [3, 5];

в) A = R, В = [3, 5];

г) А = R, В = R.

Р е ш е н и е, а) Так как множество А состоит из трех элементов, а множество В содержит все действительные числа от 3 до 5, включая и сами эти числа, то декартово произведение А х В будет состоять из бесконечного множества нар, первая компонента которых либо 1, либо 2, либо 3, а вторая-любое действительное число из промежутка [3, 5]. Такое множество пар действительных чисел на координатной плоскости изобразится тремя отрезками (рис. 19).

у

5

3

0 1 2 3 х Рис. 19

б) В этом случае бесконечны оба множества А и В. Поэтому первой координатой пары, принадлежащей множеству Ах В, может быть любое число из промежутка [1, 3], и, следовательно, точки, изображающие элементы декартова произведения данных множеств А и В, образуют квадрат (рис. 20).

у

5

3

0 1 2 3 х Рис. 20

Чтобы подчеркнуть, что элементы декартова произведения изображаются и точками, лежащими внутри квадрата, этот квадрат можно заштриховать.

в) Этот случай отличается от предыдущего тем, что множество А состоит из всех действительных чисел, т.е. абсцисса точек, изображающих элементы множества А х В, принимает все действительные значения, в то время как ордината выбирается из промежутка [3, 5]. Множество таких точек образует полосу (рис. 21).

у

5

0 х Рис. 21

г) Декартово произведение R x R состоит из всевозможных действительных чисел. Точки, изображающие эти пары, сплошь заполняют координатную плоскость. Таким образом, декартово произведение R x R содержит столько же элементов, сколько точек находится на координатной плоскости.

В математике и других науках рассматривают не только упорядоченные пары, но и упорядоченные наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Например, запись числа 367- это упорядоченный набор из трех элементов, а запись слова «математика» - это упорядоченный набор из 10 элементов.

Упорядоченные наборы часто называют кортежами и различают по длине. Длина кортежа - это число элементов, из которых он состоит. Например, (3; 6; 7) - это кортеж длины 3, (м, а, т, е, м, а, т, и, к, а) - это кортеж длины 10.

Рассматривают в математике и декартово произведение трех, четырех и вообще и множеств.

Определение. Декартовым произведением множеств A₁, А₂,..., А_n называется множество всех кортежей длины n, первая компонента которых принадлежит множеству A₁, вторая - множеству А₂,..., n-я - множеству An.

Декартово произведение множеств A₁, А₂,..., А_nобозначают так: A₁ х А₂ х... х А_n.

З а д а ч а 4. Даны множества: A₁ = {2, b), А₂ = {3, 4, 5}, А₃ = {6, 7}. Найти A₁х А₂х А₃.

Ре ш е н и е. Элементами множества A₁х А₂х А₃будут кортежи длины 3 такие, что первая их компонента принадлежит множеству A1, вторая - множеству А₂, третья - множеству А₃.

A₁х А₂х А₃= {(2, 3, 6), (2, 3, 7), (2, 4, 6), (2, 4, 7),

(2, 5, 6), (2, 5, 7), (3, 3, 6), (3, 3, 7),

(3, 4, 6), (3, 4, 7), (3, 5, 6), (3, 5, 7)}.

Введение

Понятие множества и элемента множества

В математике часто рассматриваются те или иные группы объектов как единое целое: натуральные числа, треугольники, квадраты и т.д. Все эти различные совокупности называют множествами.

Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие. Его можно пояснить на примерах. Так, можно говорить о множестве гласных букв русского алфавита, о множестве натуральных чисел, о множестве треугольников.

Математический смысл слова «множество» отличается от того, как оно используется в обыденной речи, где его связывают с большим числом предметов. В математике этого не требуется. Здесь можно рассматривать множество, состоящее из одного объекта, и множество, не содержащее ни одного объекта.

Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С,..., Z.

Множество, не содержащее ни одного объекта, называется пустым и обозначается символом Ø.

Объекты, из которых образовано множество, называются элементами.

Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, с,.... z.

В математике нередко приходится выяснять, принадлежит какой-либо объект рассматриваемому множеству или не принадлежит. Например, мы говорим, что 5 - число натуральное, а 0, 75 не является натуральным числом. Другими словами, мы утверждаем, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел, а число 0, 75 ему не принадлежит. Чтобы записать эти утверждения, вводятся символы и . Предложение «Объект а принадлежит множеству А» можно записать, используя символы – а А. Предложение «Объект а не принадлежит множеству А» можно записать так: а А.

Например, если А - множество однозначных чисел, то утверждение «Число 3 - однозначное» можно записать в таком виде: 3 А. Запись 12 А означает, что «Число 12 не является однозначным», или «Число 12 не принадлежит множеству А», или «Множество А не содержит числа 12».

Заметим, что в геометрии, которая возникла значительно раньше теории множеств, если точка является элементом какого-либо множества, то ее обозначают заглавной буквой. Например, если Х - множество точек отрезка АВ, то предложение «Точка Р лежит на отрезке АВ» можно записать: Р X или Р АВ.

Множества бывают конечные и бесконечные. Эти понятия мы принимаем без определения. Поясним их на примерах. Так, конечными являются множество дней недели, множество месяцев в году, а бесконечными - множество точек на прямой, множество натуральных чисел.

Для ряда числовых множеств в математике приняты стандартные обозначения:

N - множество натуральных чисел;

Z - множество целых чисел;

Q - множество рациональных чисел;

R - множество действительных чисел.

3. Способы задания множеств

Понятие множества мы используем без определения. Но как узнать, является та или иная совокупность множеством или не является?

Считают, что множество определяется своими элементами, т.е. множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.

Множество можно задать, перечислив все его элементы. Например, если мы скажем, что множество А состоит из чисел 3, 4, 5 и 6, то мы зададим это множество, поскольку все его элементы окажутся перечисленными. При этом возможна запись, в которой перечисляемые элементы заключаются в фигурные скобки: А = {3, 4, 5, 6}.

Однако если множество бесконечно, то его элементы перечислить нельзя. Трудно задать таким способом и конечное множество с большим числом элементов. В таких случаях применяют другой способ задания множества: указывают характеристическое свойство его элементов.

Характеристическое свойство- это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

Рассмотрим, например, множество А двузначных чисел: свойство, которым обладает каждый элемент данного множества, - «быть двузначным числом». Это характеристическое свойство дает возможность решать вопрос о том, принадлежит какой-либо объект множеству А или не принадлежит. Так, число 45 содержится в множестве А, поскольку оно двузначное, а число 145 множеству А не принадлежит, так как оно не является двузначным.

Случается, что одно и то же множество можно задать, указав различные характеристические свойства его элементов. Например, множество квадратов можно задать как множество прямоугольников с равными смежными сторонами и как множество ромбов с прямым углом.

В тех случаях, когда характеристическое свойство элементов множества можно представить в символической форме, возможна соответствующая запись множества. Например, множество А натуральных чисел, меньших 7, можно задать так: А = {х | х N и х< 7}.

При такой записи буквой х обозначается элемент множества А. Для этих целей можно использовать и другие буквы латинского алфавита.

Итак, для того чтобы задать некоторое множество, достаточно либо перечислить все его элементы, либо указать их характеристическое свойство. Второй способ более общий: он позволяет задавать и конечные, и бесконечные множества.

Очень важно умение переходить от одного способа задания множества к другому. Этому обучаются уже младшие школьники, выполняя упражнения такого характера.

З а д а ч а 1. Запишите числа, которые больше, чем 65 и меньше, чем 75.

Р е ш е н и е. Множество чисел задано при помощи характеристического свойства «быть больше 65 и меньше 75». Требу-

ется перечислить элементы этого множества: 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74.

З а д а ч а 2. Укажите характеристическое свойство элементов множества А = {12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92}.

Р е ш е н и е. Перечислены все элементы множества А. Их характеристическое свойство: «быть двузначным и оканчиваться цифрой 2».

Отношения между множествами

Пересечение множеств

Пересечение множеств А и В обозначают А В. Таким образом, по определению, А В = {х|х А и х В).

Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то пересечением данных множеств является заштрихованная область (рис. 7).

В том случае, когда множества А и В не имеют общих элементов, говорят, что их пересечение пусто и пишут: А В = Ø.

Выясним, как находить пересечение множеств в конкретных случаях.

Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти А В, достаточно перечислить элементы, которые одновременно принадлежат множеству А и множеству В, т.е. их общие элементы.

А как быть, если множества заданы характеристическими свойствами своих элементов?

Из определения пересечения следует, что характеристическое свойство множества А В составляется из характеристических свойств пересекаемых множеств с помощью союза «и».

12 3 Следующая ⇒
Поделиться:

Популярное:
I. Понятие как форма мышления
А15. Вычисления массовой доли химического элемента в веществе.
Административно-правовые нормы: понятие, структура, виды. Дискуссионность по понятию структуры правовой нормы.
АДМИНИСТРАТИВНО-ЮРИСДИКЦИОННОЕ ПРОИЗВОДСТВО: ПОНЯТИЕ, ЧЕРТЫ, ВИДЫ.
Административные запреты и ограничения в структуре правового статуса государственных гражданских служащих в Российской Федерации: понятие и содержательная характеристика.
АДМИНИСТРАТИВНЫЙ НАДЗОР: ПОНЯТИЕ, ОСОБЕННОСТИ, МЕТОДЫ, СУБЪЕКТЫ, ПОЛНОМОЧИЯ.
Акты применения права:понятие,признаки,виды.Н,П,А.и акты примен.права:сходство,различия.
Аминоспирты 2-аминоэтанол(коламин), холин, ацетилхолин. Аминофенолы: дофамин, норадреналин,адренлин.Аминотиолы ( 2 аминоэтантиол). Понятие о биологич-ой роли
Амнистия и помилования. Понятие. Их правовое значение. (Статьи 84 —85).
Антикоррупционная экспертиза нормативных правовых актов: понятие и основания проведения. Субъекты проведения антикоррупционной экспертизы.
Бюджетная классификация (понятие, принципы, виды). Бюджетный кодекс РФ.
Бюджетные правоотношения: понятие и виды

Последнее изменение этой страницы: 2017-03-08; Просмотров: 3013; Нарушение авторского права страницы