И экономико-математических методов

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Учебно - Методическое пособие

для студентов инжинерно-технического

факультета ПГУ им. Т.Г. Шевченко

 

Издательство

Приднестровского

Университета

 

 

Тирасполь, 2008

 

УДК

ББК

В-22

 

Составители:

Л.С. Николаева, ст. преп.

Л.В. Чуйко, канд. Пед. Наук, доц.

 

Рецензенты:

 

 

Курс лекций по алгебре и аналитической геометрии.: Учебно – методическое пособие / Сост.:

Л.С. Николаева, Л.В. Чуйко. – Тирасполь, 2008. – 80 с.

 

УДК

ББК

В-26

Утверждено Научно-методическим советом ПГУ им. Т.Г. Шевченко

 

 

© Николаева Л.С.

Чуйко Л.В.,

 

составление, 2008

Оглавление.

Раздел: Линейная алгебра.

1. Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. (4)
2. Алгебра матриц. Операции над матрицами. Обратная матрица. Матричное уравнение вида AX=B, система линейных уравнений как матричное уравнение(8)
3. Определитель квадратной матрицы.(13)
4. Матричный метод решения систем линейных уравнений.(16)
5. Метод Крамера.(18)
6. Понятие векторного пространства(19)
7. Линейная зависимость и независимость системы векторов(20)
8. Базис и размерность векторного пространства(22)
9. Координатная строка вектора относительно базиса(23)
10. Связь между координатами вектора в разных базисах(24)
11. Подпространство векторного пространства(25)
12. Векторное пространство со скалярным умножением. Определение евклидова пространства(26)
13. Длина вектора.Угол между векторами(26)
14. Ортогональный базис евклидова пространства(27)
15. Ортонормированный базис(28)
16. Линейные отображения (операторы) векторных пространств(29)
17. Матрица линейного оператора(31)
18. Собственные вектора и собственные значения линейного оператора.(33)

Раздел: Аналитическая геометрия.

1. Афинная система координат на плоскости.(33)
2. Полярная система координат. Переход от полярной системы к декартовой и обратно.(36)
3. Уравнение линии на плоскости.Уравнение прямой на плоскости.(37)
4. Угол между прямыми на плоскости.(41)
5. Расстояние от точки до прямой.(42)
6. Кривые второго порядка: окружность(43), эллипс(44), гипербола(46), парабола(48)
7. Афинная система координат в пространстве.(51)
8. Векторное произведение двух векторов.(54)
9. Смешанное произведение трёх векторов.(56)
10. Различные способы задания плоскости. Общее уравнение плоскости.(58)
11. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.(61)
12. Различные способы задания прямой в пространстве.(62)
13. Взаимное расположение прямой и плоскости.(65)
14. Взаимное расположение двух прямых.(66)
15. Угол между плоскостями.(67)
16. Угол между прямыми в пространстве.(68)
17. Угол между прямой и плоскостью.(69)
18. Расстояние от точки до плоскости.(70)
19. Расстояние от точки до прямой.(71)
20. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.(72)
21. Поверхности второго порядка: цилиндрические поверхности(73), поверхности вращения(74)
22. Цилиндрическая и сферическая системы координат(78)

 

АЛГЕБРА.

Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса.

 

1. Линейное уравнение. Вид противоречивого линейного уравнения. Общий вид системы линейных уравнений (СЛУ). Множество решений.
2. Равносильные системы. Следствие системы.
3. Элементарные преобразования системы линейных уравнений.
4. Метод Гаусса решения СЛУ. Распределение неизвестных на главные и свободные.

 

В общем виде линейное уравнение (уравнение первой степени) имеет вид

a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n=b (1)

где a_i, b R, . x₁, x₂, …, x_n– неизвестные переменные, a_i - коэффициенты при неизвестных, b – свободный член. Не исключается случай, когда уравнение имеет вид

0x₁+0x₂+…+0x_n=b (2)

Решением уравнения (1) называется любой упорядоченный набор чисел l₁, l₂, …, l_n (или вектор (l₁, l₂, …, l_n)), таких что при подстановке их вместо соответствующих неизвестных уравнение (1) обращается в верное равенство

a₁l₁+a₂l₂+…+a_nl_n=b

Очевидно, что при b=0 уравнение (2) имеет любой набор значений неизвестных, а при b≠ 0 не удовлетворяет не один набор решений. При b=0 уравнение (2) называют тождественным, а при b≠ 0 противоречивым.

Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

(3),

где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные. Решением системы называется любой упорядоченный набор чисел l₁, l₂, …, l_n (или вектор (l₁, l₂, …, l_n)), таких, что при подстановке их в систему вместо соответствующих переменных они превращают каждое уравнение системы в тождество.

Вычеркнем из записи линейной системы уравнений символы x_i, +, = и отделим коэффициенты при неизвестных от свободных членов вертикальной чертой, получим запись:

Ф такая таблица называется расширенной матрицей системы, матрицей системы назовём таблицу следующего вида

 

Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Для любой системы возможны только три случая:

1. система несовместна;
2. система имеет единственное решение (совместно определённая);
3. система имеет бесчисленное множество решений (совместно неопределённая).

Промежуточный случай, когда решений конечное число, притом больше чем одно, невозможен.

Система S₁ называется следствием системы S₂, если всякое решение системы S₁ является решением системы S₂ или система S₁ несовместна.

Две линейные системы называются равносильными (эквивалентными), если каждая из них является следствием другой, то есть системы равносильны, если множества их решений совпадают.

Элементарными преобразованиями (расширенной) матрицы называют следующие действия над её строками:

1. перестановка i-той и j-той строк. Этому преобразованию соответствует перестановка i-того и j-того уравнения. Обозначим это преобразование .
2. прибавление к каждому элементу i-той строки, стоящего в том же столбце элемента j- той строки. Этому преобразованию соответствует сложение i-того и j-того уравнения. Обозначим это преобразование .
3. умножение каждого уравнения i-той строки на некоторое число . Этому преобразованию соответствует умножение i-того уравнения на число . Обозначим это преобразование .

Если J-это преобразование матрицы А, то J=J(A).

Теорема. Элементарные преобразования расширенной матрицы сохраняют эквивалентность соответствующих систем.

Доказательство. Пусть заданы две системы линейных уравнений: система S₁ в виде(3) и система S₂ в виде ( ) с множествами решений М₁ и М₂ соответственно. Причём известно, что расширенная матрица системы S₂ получена элементарными преобразованиями из расширенной матрицы системы S₁. Докажем, что М₁=М₂, то есть М₁ М₂ и М₂ М₁. Докажем сперва

М₁ М₂.

Допустим решение (l₁, l₂, …, l_n) М₁, докажем что (l₁, l₂, …, l_n) М₂. Рассмотрим следующие случаи:

Пусть J=I_ij, это означает, что система S₂ получена из системы S₁ перестановкой i-того и j-того уравнения. Ясно, что при подстановке чисел l₁, l₂, …, l_n в систему S₂ мы получим m верных равенств, но записанных в другом порядке. Следовательно (l₁, l₂, …, l_n) М₂, то есть М₁ М₂.

Пусть J=II_ij, это означает, что уравнения в системе S₂, кроме j-того, остались неизменными. j-тое уравнение имеет вид

В силу того, что (l₁, l₂, …, l_n) - решение S₁, подстановка чисел l_k в её i-тое и j-тое уравнения даёт следующих два верных равенства:

 

Сложим их почленно и приведём подобные при членах l_k. Получим верное равенство

Легко видеть, что это и есть результат подстановки чисел l_k в j-тое уравнение системы S₂.

Пусть J= , это означает, что уравнения в системе S₂, кроме j-того, остались неизменными, а j-тое уравнение почленно умножается на число и имеет вид

В силу того, что (l₁, l₂, …, l_n) М₁, верно равенство

а значит, и равенство , которое и есть результат подстановки чисел l_k в i-тое уравнение системы S₂. Итак, М₁ М₂.

Прежде чем доказывать обратное включение, заметим, что матрица системы S₁ может быть получена элементарными преобразованиями из матрицы системы S₂. (В самом деле, если две строки переставлены, их можно снова переставить, если к i-той прибавлена j-тая, то i-тую можно умножить на -1, сложить с j-той и потом снова умножить на -1, если строка умножена на , то её можно умножить на . Вот где мы используем то, что .) Тогда, по доказанному, М₂ М₁.

 

Метод Гаусса.

(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик).

 

Универсальным методом решения линейных систем является метод последовательного исключения неизвестных ( метод Гаусса).

Рассмотрим систему (3). Если она содержит уравнение вида (2) и b , то множество решений пусто. Процесс решения на этом закончен. Если в уравнении (2) и b=0, то его можно удалить из системы, не изменяя множества решений. Поэтому можно считать, что в каждом уравнении исходной системы хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля. Пусть а₁₁ ( в противном случае поменяем местами уравнения или перенумеруем неизвестные). Исключим теперь x₁ из всех уравнений, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на , затем к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на , и т.д. к последнему уравнению прибавим первое, умноженное на . В результате серии элементарных преобразований получим систему:

(4)

равносильную исходной. Удалим из системы (4) нулевые уравнения (в связи с этим, в процессе решения системы число уравнений может уменьшиться). Если хотя бы одно из уравнений системы (4) является противоречивым, то эта система и, следовательно, исходная система несовместны.

Далее предположим, что а₂₂ , и продолжим процесс исключения неизвестных. Поскольку число таких шагов не превышает n (числа неизвестных), после конечного числа преобразований получим систему вида:

(5)

(где диагональные коэффициенты d₁₁, d₂₂, d₃₃, …, d_rr, r , отличны от нуля), равносильную исходной системе (3).

Если r=n ( в этом случае говорят, что система (5) имеет треугольный вид), то из последнего уравнения находим значения неизвестной x_n= . Подставив значение x_n в предпоследнее уравнение, получим значение неизвестной x_n-1 и т.д., то есть идя снизу в верх, найдём значения всех неизвестных.

Итак, в случае r=n решение системы (5) ( а значит, и (3) ) единственно.

Если r< n ( в этом случае говорят, что система (5) имеет вид трапеции), то неизвестные x₁, x₂, …, x_n( их называют главными ) можно выразить через неизвестные x_r+1, x_r+2, …, x_n. Неизвестные x_r+1, x_r+2, …, x_n называют свободными, так как, выбрав произвольным образом их значения x_r+1= l_r+1, x_r+2= l_r+2, …, x_n= l_n, однозначно находим значения главных неизвестных x₁= l₁, x₂= l₂, …, x_r= l_r, которые в совокупности дают решение

(l₁, l₂, …, l_r, l_r+1, l_r+2, …, l_n) исходной системы уравнений. Любое решение системы (3) можно получить таким образом.

Систему, в которой главные неизвестные выражены через свободные, можно рассматривать как общее решение исходной системы, т.е. как характеристическое свойство множества её решений.

Таким образом, в случае r< n система имеет бесконечное множество решений.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

 

Составим расширенную матрицу системы.

 

 

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

 

, откуда получаем: x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.

Для самостоятельного решения:

Ответ: {1, 2, 3, 4}.

 

Алгебра матриц. Операции над матрицами. Обратная матрица. Матричное уравнение вида AX=B, система линейных уравнений как матричное уравнение (операции сложения, умножения, транспонирование матриц, умножение матрицы на число, вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований, теоремы о ранге произведения матриц).

Пусть P – некоторое поле (поле скаляров). Матрицы, составленные из элементов этого поля, будем называть матрицами порядка m´ n, где m и n натуральные числа указывающие число строк и столбцов (это таблица чисел, расположенных в определенном порядке). Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

Обозначать матрицу будем так:

 

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной порядка n.

Обозначим i-тую строку матрицы A_i=(a_i1, a_i2, …, a_in), а j-тый столбец .

Две матрицы порядка А=(a_ij)_{m n} и B=(b_ij)_{m n} называются равными, если соответствующие элементы равны, т.е. A=B < => a_ij= b_ij, .

Матрица называется нулевой, если все её элементы равны нулю.

Матрица вида:

,

называется единичной матрицей.

Определение. Если a_ij = a_ji , то матрица называется симметрической .

Пример. - симметрическая матрица

Определение. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.

 

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

c_ij = a_ij ± b_ij

 

С = А + В = В + А.

 

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

 

 

a (А+В) =aА ± aВ

А(a±b) = aА ± bА

 

 

Пример. Даны матрицы ; , найти 2А + В.

, .

 

Операция умножения матриц.

 

Рассмотрим матрицы А порядка m´ n и В порядка n´ k.

Произведением строки A_i на столбец B^r определим следующим образом:

Произведением матрицы А на матрицу В назовём матрицу F порядка m´ k, такую, что f_ij=A_iB^J

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Непосредственный анализ определения операции умножения матриц показывает, что каждый столбец произведения матриц А и В линейно выражается через систему столбцов матрицы А, а каждая строка этого произведения линейно выражается через систему строк матрицы В. Или подробнее: j- тый столбец матрицы АВ есть линейная комбинация всех столбцов матрицы А, а коэффициенты этой комбинации – элементы j- того столбца матрицы В, i- тая строка матрицы АВ есть линейная всех строк матрицы В, а коэффициенты этой линейной комбинации – элементы i- той строки матрицыА. Эти утверждения лежат в основе доказательства первой теоремы о ранге произведения матриц: ранг произведения матриц не превосходит ранга каждого из сомножителей:

r(AB) r(A), r(AB) r(B).

 

Пример. Найти произведение матриц ,

× = = .

Произведение ВА не существует, так как число столбцов матрицы В (=2) не равно числу строк матрицы А (=1).

Пример. Найти произведение матриц А = и В = .

АВ = × = .

ВА = × = (2× 1 + 4× 4 + 1× 3 )= (2 + 16 + 3) = (21).

 

Свойства операций над матриц.

1) Сумма матриц коммутативна и дистрибутивна

А+В=В+А

(А+В)+С=А+(В+С).

 

2) Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

А× Е = Е× А = А

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

A× O = O; O× A = O,

где О – нулевая матрица.

 

3) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

 

4) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

 

5) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение:

a(AB) = (aA)B = A(aB).

 

6) Если определено произведение АВ, то определено произведение В^ТА^Т и выполняется равенство:

(АВ)^Т = В^ТА^Т, где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

 

6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA× detB.

Понятие det (определитель, детерминант) будет рассмотрено ниже..

 

Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А = ; В = А^Т= ;

 

другими словами, b_ji = a_ij.

 

В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:

(ABC)^T = C^TB^TA^T,

при условии, что определено произведение матриц АВС.

 

Пример. Даны матрицы А = , В = , С = и число a = 2. Найти А^ТВ+aС.

A^T = ; A^TB = × = = ;

aC = ; А^ТВ+aС = + = .

 

Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

Метод удобен для решения систем невысокого порядка.

Метод основан на применении свойств умножения матриц.

 

Пусть дана система уравнений:

Составим матрицы: A = ; B = ; X = ,

где А- основная матрица системы, X- одностолбцовая матрица, составленная из неизвестных этой системы, В - одностолбцовая матрица из её свободных членов.

 

Систему уравнений можно записать в матричном виде:

A× X = B.

Система линейных уравнений представляет собой частный случай матричных уравнений вида A× X = B. Уравнение вида YA=B сводятся к этому же типу матричных уравнений, поскольку (YA)^Т=B^Т и в результате A^Т× Y^T = B^T.

Cогласно определению умножения матриц, A× X = B не имеет решений, если матрицы А, В имеют различное число строк. Поэтому имеет смысл рассматривать матричные уравнение, в которых строк у матриц А и В одно и то же.

Если В – k столбцовая матрица, то матричное уравнение A× X = B распадается на систему k матричных уравнений: A× X¹ = B¹, A× X² = B², …, A× X^k = B^k.

Каждое из этих матричных уравнений является системой линейных уравнений, причём все они имеют матрицу А своей основной матрицей, и их решениями будут столбцы неизвестной матрицы X. Обычно, все эти линейные системы решаются одновременно, в виде пакета.

Критерий разрешимости матричных уравнений:

Матричное уравнение A× X = B имеет решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен рангу матрицы ( ), т.е. матрицы полученной из матрицы А присоединением к ней матрицы В.

Квадратную матрицу, ранг которой равен её порядку, называют невырожденной. Если ранг квадратной матрицы меньше её порядка, матрица вырождена. Заметим, что если в матричном уравнении A× X = B матрица А невырожденная, то это уравнение имеет единственное решение, так как каждая из этих систем линейных уравнений, на которые оно распадается, будет совместно определенной.

Известно, что квадратная матрица n порядка вида:

= E,

называется единичной матрицей. Очевидно, что если А – квадратная матрица n порядка, то A× Е_n = E_n× A =A.

Если A× С = Е, то матрицу С называется правой обратной для матрицы А, а матрицу А – левой обратной для матрицы С.

Видно, что матрица С является решением матричного уравнения A× X =Е, причем, если А – невырожденная матрица, это решение единственное. Следовательно, всякая невырожденная матрица имеет единственную правую обратную матрицу. Можно доказать( используя первую теорему о ранге произведения и ассоциативность умножения), что правая обратная матрица является и левой обратной. Итак, всякая невырожденная матрица имеет единственную двустороннюю обратную матрицу, которую обозначают А^-1:

A^-1A=AA^-1=E.

Одним из способов нахождения матрицы, обратной для матрицы А, является решение матричного уравнения A× X =Е.

Согласно первой теореме о ранге произведения матриц, r(AB) r(B).

Если матрица невырожденная, то матрицу В можно записать в виде В=А^-1(АВ), и тогда (по той же теореме) r(AB) r(B). Тем самым доказана вторая теорема о ранге произведения матриц: если матрица А невырожденная, то r(AB)=r(B).

 

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Экономико-математических методов.