Взаимное расположение двух прямых.

Пусть в пространстве относительно аффинной системы координат R={O, (е₁, е₂, е₃)}заданы прямые

₁: (1) и : (2).

(1) =>

(2) =>

Рассмотрим две матрицы:

1) Прямые и - скрещиваются, тогда и только тогда, когда векторы не комплонарны, то есть =( (смешанное произведение этих векторов не равно нулю).

2) Прямые и лежат в одной плоскости, тогда и только тогда, когда .

Пусть .

а) Прямые и пересекаются, когда не коллинеарны, (строки матрицы А, составленные из координат векторов не пропорцианальны, то есть ранг матрицы А равен двум).

б) Прямые и параллельны, тогда и только тогда, когда коллинеарны, (строки матрицы А, составленные из координат векторов пропорцианальны, то есть ранг матрицы А равен одному и выполняется условие ).

в) Прямые и совадают, тогда и только тогда, когда все векторы коллинеарны, (две любые строки матрицы В пропорцианальны).

Угол между плоскостями.

Определение.

Углом между двумя плоскостями назовём угол между их нормальными векторами.

j₁

j 0

Угол между двумя плоскостями в пространстве j связан с углом между нормалями к этим плоскостям j₁ соотношением: j = j₁ или j = 180⁰ - j₁, т.е.

cosj = ±cosj₁.

Определим угол j₁. Пусть в пространстве относительно аффинной системы координат R={O, (е₁, е₂, е₃)} плоскости заданы плоскости своими общими уравнениями

a₁: A₁x+B₁y+C₁z+D₁ =0

a₂: A₂x+B₂y+C₂z+D₂ =0

Тогда (A₁, B₁, C₁), (A₂, B₂, C₂). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения:

. (1)

Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:

(2)

Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.

Условия параллельности и перпендикулярности

Плоскостей.

На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:

Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны: ï ï .Это условие выполняется, если: .

Угол между прямыми в пространстве.

Определение.

Углом между двумя прямыми называется угол между двумя направляющими векторами.

Пусть в пространстве относительно аффинной системы координат R={O, (е₁, е₂, е₃)}заданы прямые

₁: (1) и : (2).

(1)=>

(2)=>

Угол между прямыми j и угол между направляющими векторами j этих прямых связаны соотношением: j = j₁ или j = 180⁰ - j₁. Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом:

Условия параллельности и перпендикулярности

Прямых в пространстве.

Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.

Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.

Угол между прямой и плоскостью.

Определение.

Углом между прямой и плоскостьюназывается любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Пусть в пространстве относительно аффинной системы координат R={O, (е₁, е₂, е₃)}заданы прямая и плоскость

: (1) и : Ax+By+Cz+D=0

Из геометрических соображений (см. рис.) видно, что искомый угол a = 90⁰ - j, где a - угол между векторами и . Этот угол может быть найден по формуле:

В координатной форме:

Условия параллельности и перпендикулярности

Прямой и плоскости в пространстве.

Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарны. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89