Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Взаимное расположение двух прямых.



Пусть в пространстве относительно аффинной системы координат R={O, (е1, е2, е3)}заданы прямые

1 : (1) и : (2).

(1) =>

(2) =>

Рассмотрим две матрицы:

,

 

1) Прямые и - скрещиваются, тогда и только тогда, когда векторы не комплонарны, то есть =( (смешанное произведение этих векторов не равно нулю).

2) Прямые и лежат в одной плоскости, тогда и только тогда, когда .

Пусть .

а) Прямые и пересекаются, когда не коллинеарны, (строки матрицы А, составленные из координат векторов не пропорцианальны, то есть ранг матрицы А равен двум).

б) Прямые и параллельны, тогда и только тогда, когда коллинеарны, (строки матрицы А, составленные из координат векторов пропорцианальны, то есть ранг матрицы А равен одному и выполняется условие ).

в) Прямые и совадают, тогда и только тогда, когда все векторы коллинеарны, (две любые строки матрицы В пропорцианальны).

 

Угол между плоскостями.

Определение.

Углом между двумя плоскостями назовём угол между их нормальными векторами.

 
 

 

 


j1

j 0

 

 

Угол между двумя плоскостями в пространстве j связан с углом между нормалями к этим плоскостям j1 соотношением: j = j1 или j = 1800 - j1, т.е.

cosj = ±cosj1.

Определим угол j1. Пусть в пространстве относительно аффинной системы координат R={O, (е1, е2, е3)} плоскости заданы плоскости своими общими уравнениями

a1: A1x+B1y+C1z+D1 =0

a2: A2x+B2y+C2z+D2 =0

Тогда (A1, B1, C1), (A2, B2, C2). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения:

. (1)

Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:

(2)

 

 

Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.

 

 

Условия параллельности и перпендикулярности

Плоскостей.

 

На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

 

Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:

 

.

 

Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны: ï ï .Это условие выполняется, если: .

Угол между прямыми в пространстве.

Определение.

Углом между двумя прямыми называется угол между двумя направляющими векторами.

 

Пусть в пространстве относительно аффинной системы координат R={O, (е1, е2, е3)}заданы прямые

1 : (1) и : (2).

(1)=>

(2)=>

 

Угол между прямыми j и угол между направляющими векторами j этих прямых связаны соотношением: j = j1 или j = 1800 - j1. Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом:

.

 

 

Условия параллельности и перпендикулярности

Прямых в пространстве.

 

Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.

 

Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.

 

.

 

 

Угол между прямой и плоскостью.

 

Определение.

Углом между прямой и плоскостьюназывается любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Пусть в пространстве относительно аффинной системы координат R={O, (е1, е2, е3)}заданы прямая и плоскость

: (1) и : Ax+By+Cz+D=0

 

 

a

 

a

j

 

Из геометрических соображений (см. рис.) видно, что искомый угол a = 900 - j, где a - угол между векторами и . Этот угол может быть найден по формуле:

В координатной форме:

 

Условия параллельности и перпендикулярности

Прямой и плоскости в пространстве.

 

Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

 

 

Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарны. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.

 

 


Поделиться:



Популярное:

Последнее изменение этой страницы: 2017-03-09; Просмотров: 890; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.032 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь